Условие задачи:
Найти количество теплоты, выделившейся при абсолютно неупругом ударе свинцового шара массой 1 кг об очень тяжелую стенку, движущуюся со скоростью 5 см/с. Шар до удара двигался не вращаясь перпендикулярно стенке, навстречу ей со скоростью 10 см/с.
Задача №2.10.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
(m=1) кг, (u=5) см/с, (upsilon=10) см/с, (M gg m), (Q-?)
Решение задачи:
Эту задачу можно решать двумя способами.
Первый способ. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось (x) и закон сохранения энергии для системы тел «шар — стенка» в системе отсчета (СО) Земли. Замечу, что этот способ достаточно трудоёмкий, по сравнению со вторым.
Из равенства (1) выразим скорость стенки с шаром (u_1) после удара:
Полученное выражение для скорости (u_1) подставим в (2).
Оставим искомое количество теплоты (Q) в одной стороне, все остальные члены перенесем в другую, где приведем их под общий знаменатель.
Раскроем в числителе скобки и квадрат разности:
Вынесем в числителе общий множитель (mM) за скобки:
Воспользуемся основным свойством дроби и поделим и числитель и знаменатель на (M).
Так как по условию стенка очень тяжелая, то есть (M gg m), то отношение (<frac
Второй способ. Перейдем в систему отсчета (СО), связанную с массивной стенкой. В этой СО скорость свинцового шарика равна (upsilon + u) и направлена к стенке. После удара скорость шарика станет такой же, как и у стенки, то есть в этой СО станет равной нулю. Получается, что вся кинетическая энергия шарика в этой СО перейдет в теплоту:
Как Вы видите, второй способ решения этой задачи существенно короче.
Переведем скорости в систему СИ, а уже потом будет считать ответ:
Ответ: 11,25 мДж.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Вследствие изменения полной механической энергии системы может выделяться теплота.
Наличие сил трения (сопротивления) между телами замкнутой системы приводит к выделению энергии в виде теплоты:
где E 1 — полная механическая энергия системы в начальном состоянии; E 2 — полная механическая энергия системы в конечном состоянии.
Если теплота в механической системе выделяется в результате совершения работы силами трения, то количество выделившейся при этом теплоты может быть рассчитано по формуле
где A тр — работа, совершенная силами трения.
Превращение части механической энергии в теплоту происходит при абсолютно неупругом столкновении (ударе) двух и более тел.
Абсолютно неупругий удар — это столкновение тел, в результате которого тела объединяются и продолжают двигаться как единое целое.
Для абсолютно неупругого удара двух тел:
- выполняется закон сохранения импульса:
m 1 v → 1 + m 2 v → 2 = ( m 1 + m 2 ) u → ;
- не выполняется закон сохранения полной механической (кинетической) энергии:
m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 ≠ ( m 1 + m 2 ) u 2 2 ,
где m 1 и m 2 — массы соударяющихся тел; v → 1 и v → 2 — скорости тел до столкновения; ( m 1 + m 2 ) — масса тела, образовавшегося в результате удара; u → — скорость тела, образовавшегося в результате удара.
Разность энергий до и после столкновения равна теплоте, выделившейся в процессе столкновения:
Q = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 − ( m 1 + m 2 ) u 2 2 .
Пример 36. Какая доля энергии двух движущихся с равными по модулю скоростями тел, направленными под прямым углом друг к другу, перейдет в теплоту при абсолютно неупругом ударе? Массы тел относятся как 1:2.
Решение. На рисунке показаны два положения системы тел: до удара и сразу после удара. До удара тела движутся: первое — в положительном направлении оси Ox , второе — в положительном направлении оси Oy . Столкновение тел (абсолютно неупругий удар) происходит в начале системы координат. В результате абсолютно неупругого удара тела объединяются и движутся как единое целое со скоростью u → .
Полная механическая энергия системы является кинетической энергией:
E 1 = W k 1 + W k 2 ;
где W k 1 = m 1 v 1 2 2 — кинетическая энергия первого тела до удара; W k 2 = m 2 v 2 2 2 — кинетическая энергия второго тела до удара; m 1 — масса первого тела; m 2 — масса второго тела; v 1 — модуль скорости первого тела до удара; v 2 — модуль скорости второго тела до удара; W k = ( m 1 + m 2 ) u 2 2 — кинетическая энергия объединенного тела после удара; ( m 1 + m 2 ) — масса объединенного тела после удара; u — модуль скорости объединенного тела после удара.
Теплота, выделившаяся в результате абсолютно неупругого удара, определяется разностью полных механических энергий системы до удара и после него:
Для ее вычисления необходимо определить скорость объединенного тела.
Воспользуемся законом сохранения импульса, записав его в виде:
m 1 v → 1 + m 2 v → 2 = ( m 1 + m 2 ) u → ,
или в проекциях на координатные оси,
O x : m 1 v 1 = ( m 1 + m 2 ) u x ; O y : m 2 v 2 = ( m 1 + m 2 ) u y . >
Выразим отсюда проекции скорости объединенного тела:
u x = m 1 v 1 m 1 + m 2 u y = m 2 v 2 m 1 + m 2 >
и подставим их в формулу, определяющую квадрат скорости объединенного тела:
u 2 = u x 2 + u y 2 = ( m 1 v 1 m 1 + m 2 ) 2 + ( m 2 v 2 m 1 + m 2 ) 2 .
Полная механическая энергия объединенного тела, таким образом, определяется формулой
E 2 = ( m 1 + m 2 ) u 2 2 = ( m 1 + m 2 ) 2 [ ( m 1 v 1 m 1 + m 2 ) 2 + ( m 2 v 2 m 1 + m 2 ) 2 ] .
- равенства модулей скоростей тел до удара:
- соотношения между массами тел:
запишем полные механические энергии системы:
E 1 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 = m v 2 2 + 2 m v 2 2 = 3 2 m v 2 ;
E 2 = ( m 1 + m 2 ) 2 [ ( m 1 v 1 m 1 + m 2 ) 2 + ( m 2 v 2 m 1 + m 2 ) 2 ] = 5 6 m v 2 .
Количество теплоты, выделившейся после абсолютно неупругого удара, определяется формулой
Q = E 1 − E 2 = 3 2 m v 2 − 5 6 m v 2 = 2 3 m v 2 .
Доля механической энергии, превратившейся в теплоту в результате абсолютно неупругого удара,
η = Q E 1 = 2 m v 2 3 2 3 m v 2 = 4 9 ≈ 0,44 .
При абсолютно неупругом ударе двух тел с заданными соотношениями масс и скоростей в теплоту перешло около 44 % механической энергии системы.
Пример 37. Два пластилиновых шарика, массы которых соотносятся как 1:5, подвешены на нитях одинаковой длины. Шарики симметрично разводят в противоположные стороны и отпускают. Какая часть механической энергии перейдет в теплоту при абсолютно неупругом ударе?
Решение. На рисунке показаны четыре состояния системы тел:
1) шарики симметрично разведены в стороны, при этом они подняты на высоту h над нулевым уровнем потенциальной энергии; полная механическая энергия системы является потенциальной:
E 1 = m 1 gh + m 2 gh ,
или с учетом соотношения масс ( m 1 = m , m 2 = 5 m ):
где g — модуль ускорения свободного падения; h — первоначальная высота шариков над нулевым уровнем потенциальной энергии;
2) шарики подлетают друг к другу (но соударения еще не происходит); полная механическая энергия системы является кинетической:
E 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 ,
или с учетом соотношения масс ( m 1 = m , m 2 = 5 m ):
E 2 = m 2 ( v 1 2 + 5 v 2 2 ) ,
где v 1 — модуль скорости первого шарика; v 2 — модуль скорости второго шарика;
3) шарики после абсолютно неупругого удара объединяются и движутся как единое целое с некоторой скоростью; полная механическая энергия системы является кинетической:
E 3 = ( m 1 + m 2 ) u 2 2 ,
или с учетом соотношения масс ( m 1 = m , m 2 = 5 m ):
где u — модуль скорости объединенного тела непосредственно после удара;
4) объединенное тело поднимается на некоторую высоту, полная механическая энергия системы является потенциальной:
E 4 = ( m 1 + m 2 ) gH ,
или с учетом соотношения масс ( m 1 = m , m 2 = 5 m ):
где H — максимальная высота, на которую может подняться объединенное тело.
При переходе системы из первого состояния во второе полная механическая энергия сохраняется как для всей системы, так и для каждого шарика в отдельности:
m 1 g h = m 1 v 1 2 2 ; m 2 g h = m 2 v 2 2 2 . >
Отсюда следует равенство модулей скоростей шариков перед абсолютно неупругим ударом:
v = v 1 = v 2 = 2 g h .
С учетом этого равенства полная механическая энергия системы перед ударом определяется формулой
При переходе системы из второго состояния в третье полная механическая энергия системы не сохраняется (при абсолютно неупругом ударе часть энергии переходит в теплоту), однако импульс системы сохраняется:
m 1 v → 1 + m 2 v → 2 = ( m 1 + m 2 ) u → ,
в проекции на направление скорости объединенного тела
− m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2 ) u ,
или с учетом соотношения масс ( m 1 = m , m 2 = 5 m ) и равенства модулей скоростей ( v = v 1 = v 2 ):
Отсюда найдем отношение модулей скоростей шариков до и после удара:
Искомой величиной является доля механической энергии, которая перейдет в результате абсолютно неупругого удара в теплоту, т.е.
η = Q E 2 = E 2 − E 3 E 2 = 1 − E 3 E 2 ,
где E 2 — полная механическая энергия системы до удара (состояние 2); E 3 — полная механическая энергия системы после удара (состояние 3).
Подстановка в формулу соответствующих энергий и отношения скоростей ( u / v ) дает искомую долю:
η = 1 − 3 m u 2 3 m v 2 = 1 − u 2 v 2 = 1 − ( u v ) 2 = 1 − ( 2 3 ) 2 = 5 9 ≈ 0,56 .
Таким образом, при абсолютно неупругом ударе шариков с заданным соотношением масс в теплоту превращается около 56 % их суммарной механической энергии.
Пример 38. Тело массой 2,0 кг влетает в вязкую среду со скоростью 10 м/c. Определить кинетическую энергию тела при вылете из среды, если 30 % его механической энергии в среде превращается в теплоту.
Решение. На рисунке показаны два положения тела:
1) перед попаданием в вязкую среду; тело имеет полную механическую (кинетическую) энергию E 1 ;
2) после вылета из вязкой среды; тело имеет полную механическую (кинетическую) энергию E 2 .
Теплота, которая выделяется при движении тела в вязкой среде, определяется разностью
где Q = 0,3 E 1 — по условию задачи.
Выразим искомую кинетическую энергию тела при вылете из вязкой среды:
Замена Q = 0,3 E 1 преобразует формулу к виду:
E 2 = E 1 − 0,3 E 1 = 0,7 E 1 ,
где E 1 = m v 1 2 2 — кинетическая энергия тела перед его попаданием в вязкую среду; m — масса тела; v 1 — модуль первоначальной скорости тела.
Окончательная формула для расчета искомой кинетической энергии имеет следующий вид:
Скорость брошенного мяча непосредственно перед ударом об абсолютно гладкую стену была вдвое больше его скорости сразу после удара. Какое количество теплоты выделилось при ударе, если перед ударом кинетическая энергия мяча была равна 20 Дж? (Ответ дайте в джоулях.)
Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости. Поскольку скорость после удара уменьшилась в 2 раза, кинетическая энергия мяча уменьшилась в 4 раза и стала равна 5 Дж. По закону сохранения, количество теплоты, выделившееся после удара равняется убыли кинетической энергии:
Для приведенного здесь решения задачи существенно, что стенка, о которую ударяется мяч, абсолютно гладкая. Действительно, в противном случае на мяч во время удара может дейстовать еще и сила трения со стороны стенки, которая приведет к тому, что мяч после удара будет вращаться поэтому кинетическая энергия шара после удара будет состоять из энергии поступательного и вращательного движений. Следовательно, судить о величине выделившегося тепла будет невозможно.