Меню Закрыть

Средняя арифметическая скорость молекул формула

В этом разделе приводятся некоторые следствия, вытекающие из формул ( 3.29 ) и ( 3.30 ). В качестве примера на рис. 3.3 изображены две кривые, соответствующие распределениям f(v) молекул кислорода O2 по абсолютным величинам скоростей при температурах Т1 = 300 К и Т2 = 1 300 К.

Рис. 3.3. Распределение молекул кислорода по скоростям при разных температурах T1 = 300 К и T2 = 1 300 К

Наиболее вероятная скорость. При бесконечно малых и неограниченно больших значениях скоростей функция распределения стремится к нулю

то есть такие предельные значения скоростей маловероятны в системе. Следовательно, при каком-то значении скорости функция f(v) достигает своего максимума.

Наиболее вероятная скорость vВЕР — это скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения.

Ее можно найти, решая уравнение

откуда следует, что

Иными словами, наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. В этой точке f(v) принимает максимальное значение:

Соотношения (3.31), (3.32) могут быть полезны для анализа изменения функции распределения при изменении температуры газа или при изменении рода газа, то есть массы молекул. Отметим, что как следует из (3.26) – (3.29), распределение Максвелла зависит не отдельно от массы молекул и отдельно от температуры газа, а от их отношения . Поэтому распределение не только «буквенно» но и численно одно и тоже, например, для молекулярного водорода при температуре и для гелия при температуре .

С ростом температуры наиболее вероятная скорость vВЕР (3.31) увеличивается, то есть максимум функции f(v) сдвигается вправо (см. рис. 3.3), Т2 > Т1. При этом f(vВЕР) уменьшается, то есть кривая становится более пологой. Так же деформируется кривая, если температура постоянна, но масса молекул уменьшается. Напомним, что при любых деформациях функции распределения f(v) площадь под кривыми постоянна и равна единице в соответствии с формулой ( 3.30 ).

Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение v, определяется выражением

На графике (см. рис. 3.3) этому интегралу соответствует лежащая справа от v часть площади (отмечена штриховкой), ограниченная кривой f(v) и осью скоростей. Как видно из рис. 3.3, относительное количество молекул, имеющих скорости, превышающие v, растет с повышением температуры.

В заключение этого раздела заметим, что во всех формулах для функции распределения и характерных скоростей входит отношение массы молекулы к постоянной Больцмана

Умножая числитель и знаменатель на число Авогадро NA и учитывая, что

молярная масса газа, a

универсальная газовая постоянная, мы всюду можем использовать это отношение в наиболее удобной для конкретной задачи форме

Распределение молекул по величинам безразмерной скорости. Если при графическом изображении функции распределения Максвелла (3.29) по оси абсцисс откладывать скорости молекул v, то форма кривой и положение максимума будут зависеть от массы молекул и от температуры газа. Но если по горизонтальной оси откладывать отношение скорости к наиболее вероятной скорости, то есть безразмерную скорость

то для всех температур и любых масс молекул (любых газов) получится одна и та же кривая (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Распределение Максвелла по величинам безразмерной скорости

Сделав замену переменной

в ( 3.29 ) и учитывая, что

получим распределение Максвелла в форме

Эта формула и соответствующий ей график (см. рис. 3.4) удобны для решения многих задач.

Пример. Найдем, какая часть общего числа молекул кислорода имеет при температуре 27 °С скорости, отличающиеся от наиболее вероятной не более, чем на 1 %; а также скорости в интервале 562–572 м/с.

Произведем необходимые вычисления. Чтобы ответить на первый вопрос задачи, учтем, что u = 1 при v = vВЕР. Величина интервала du = 0,02. Следовательно,

Читайте также:  Чип main memory и содержимое не соответствует

Вычислим наиболее вероятную скорость:

Найдем отношение v = 562 м/с к vВЕР = 395 м/с

Определим по кривой (см. рис. 3.4) значение функции f(u) при u = 1,42. Получаем f(u) = 0,62. Ширина интервала Dv = 10 м/с (Du = 10/395 = 0,0253). Следовательно, доля молекул в этом интервале

Интересно отметить, что молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,4 км. Но не нужно забывать о соударениях молекул. Из-за них молекула по прямой движется очень недолго, и ее путь представляет собой ломаную линию. Поэтому молекула, двигаясь с огромной скоростью по отдельным звеньям ломаной траектории, передвигается от слоя к слою газа со сравнительно небольшой скоростью.

Средняя арифметическая скорость. Знание функции распределения молекул по скоростям f(v) дает возможность найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например квадрата скорости v 2 или кинетической энергии молекулы mv 2 /2.

Средняя арифметическая скорость — это отношение суммы абсолютных величин скоростей всех молекул в системе к числу этих молекул.

Разобьем интервал всех возможных значений скорости от до бесконечности на малые интервалы Dvi. Каждому интервалу соответствует количество молекул

Так как интервалы Dvi, малы, то можно приближенно считать скорости молекул данного интервала одинаковыми и равными vi. Сумма значений скоростей молекул интервала

Сумма значений скоростей всех молекул

Разделив эту сумму на число молекул, получим выражение для средней арифметической скорости

Переходя от суммы к интегралу, получаем

Вычисляя интеграл, получаем среднюю арифметическую скорость молекул

Среднеквадратичная скорость. Чтобы найти среднее значение произвольной функции L(v) скорости, нужно эту функцию умножить на функцию распределения и проинтегрировать по всем возможным значениям скорости:

В частности, при L(v) = v отсюда находится .

Среднее значение квадрата скорости равно отношению суммы квадратов скоростей всех молекул системы к общему числу молекул. Таким образом,

Среднеквадратичная скорость это корень квадратный из среднего значения квадрата скорости молекул

Следует отметить, что характерные скорости отличаются друг от друга лишь численными множителями, причем

а зависимость от Т и m (или m) у них одинаковая.

Через среднеквадратичную скорость выражается средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

Этот результат находится в согласии с формулой (1.14) кинетической теории идеальных газов и с законом о равнораспределении энергии, который гласит, что на каждую степень свободы молекулы приходится энергия kBТ/2. Три степени свободы поступательного движения молекулы как раз соответствуют полученному здесь результату (3.44). В сущности, именно для того, чтобы получить такое соответствие, мы выбрали должным образом коэффициент α в ( 3.26 ).

Эксперимент по проверке распределения Максвелла. Необходимо еще раз подчеркнуть, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесии.

Закон справедлив для любого числа молекул N, если только это число достаточно велико. Закон Максвелла — статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказанной статистики — флуктуации.

Экспериментальное определение распределения скоростей молекул было осуществлено впервые О. Штерном в 1920 г. Исследовалось распределение по скоростям одноатомных молекул паров металлов (Ag или Pt), из которых была изготовлена нить, расположенная на оси двух цилиндров. Нить нагревалась электрическим током, и металл испарялся (см. рис 3.5).

Рис. 3.5 Схема опыта Штерна: 1 — вид установки сбоку; 2 — вид установки сверху

Молекулы, прошедшие через щель во внутреннем цилиндре, летели по прямой и оседали на стенке холодного внешнего цилиндра. Если привести всю установку во вращение (щель все время против точки В), то молекулы, обладающие большой скоростью v, попадут в некоторую точку вблизи В, а более медленные затратят на путь больше времени и попадут в точки, отстоящие дальше от В. Следует обратить внимание, что вылетающие молекулы движутся по прямой, они не участвуют во вращательном движении. Поскольку молекулы в зависимости от скорости попадают в разные точки внешнего цилиндра, то исследуя толщину слоя металла, осевшего на его стенку, можно составить представление о распределении молекул по скоростям.

Читайте также:  Поставить защиту на ноутбук

Найдем распределение молекул по расстояниям S от точки В до места их попадания на стенку цилиндра. Если R и r радиусы большого и малого цилиндров, соответственно (см. рис.), то время полета от щели до стенки цилиндра

За это время цилиндр повернется на угол

где ω — угловая скорость вращения установки. Соответственно, точка попадания будет смещена относительно В на расстояние

Подставляя сюда время полета, получаем связь скорости молекулы с расстоянием S:

Подставляя, в свою очередь, полученное выражение в распределение Максвелла и учитывая, что

находим распределение молекул по расстояниям S:

(мы опускаем выражение для нормировочной постоянной С).

Опыты Штерна подтвердили справедливость закона, установленного Максвеллом.

Выведем формулу расчёта средней арифметической скорости (v’j. Пусть число молекул газа равно N, из них A N] молекул

имеют скорость в пределах от у/ до у2 = у2 + А у, а А N2 скорости в пределах от у2 до У; = у2 + /1 у и т. д., где А у малый интервал скоростей. Тогда среднее значение скорости молекул равно

где п – общее число интервалов скоростей.

3. Средняя арифметическая скорость

Отсюда следует, что скорости , v в, v кв отличаются друг от друга множителями, имеющих порядок единицы, причём средняя арифметическая скорость теплового движения молекул идеального газа по величине лежит между наиболее вероятной скоростью и средней квадратичной

Все рассмотренные скорости движения молекул вычисляются с помощью распределения Максвелла.

Распределение молекул идеального газа по кинетическим

энергиям определяет долю молекул кинетические энергии

которых заключены в интервале от W кин до W кин + d W кин. Кинетическая энергия W кин молекулы равна

Формула для функции распределения / (у) молекул газа по скоростям имеет вид

Аналогично, функция распределения молекул идеального кинетическим энергиям определяется формулой

подставив в формулу (6.40) значение d v из формулы (6.39) и сократив обе части уравнения на т ? v, получим

Формула (6.41) описывает функцию распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям. Из формулы следует, что распределение молекул по кинетической энергии не зависит от их массы и определяется только температурой газа Т. Поэтому формула (6.41) применима, как к газу, состоящему из одинаковых молекул, так и к смеси газов.

Средняя кинетическая энергия й)поступательного движения одной молекулы идеального газа равна

Решение задач, контрольных работ по физике.

Найти среднюю квадратичную, среднюю арифметическую и наиболее вероятную скорости молекул водорода. Вычисления выполнять для температуры 300 К.

Найти: , , Vв.

Средняя арифметическая скорость молекул выражается формулой

= (1)

где Т- температура газа ; R- молярная газовая постоянная [R=8,31 Дж/(моль К)] ; M- моляр- ная масса газа (для водорода М=0,002 кг/моль).

Средняя квадратическая скорость молекулы газа выражается формулой:

= (2)

Наиболее вероятная скорость молекул газа:

Vв = (3)
Находим:
=1781,6 м/с;
=1933,8 м/с;
Vв=1578,9 м/с.

Определить молярную массу газа, если при температуре Т=300 К и давлении p=0,2 МПа он имеет плотность ρ=2,41 кг/м 3 .

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, записанного в виде:

Читайте также:  Как зарегистрировать доменную зону

P= (1) , где ρ – плотность газа; R – молярная газовая постоянная (R =8.31 Дж/(моль∙К)) ; T – температура газа ; P – давление газа ; μ – молярная масса газа.

Выражая из (1) молярную массу μ, получим :

= (3)

Подставляя, заданные числовые значения физических величин в формулу (3) и вычисляя, получим :

==0,03 кг/моль

Ответ : =0,03 кг/моль.

Найти отношения теплоёмкостей Cp/Cv для газовой смеси, состоящей из 10 г гелия и 25 г водорода?

Молярную теплоёмкость смеси Cv при постоянном объёме найдём следующим. Теплоты, необходимую для нагревания смеси на ΔТ, выразим двумя способами :

где Cv1 – молярная теплоёмкость гелия ; Cv2 – молярная теплоёмкость кислорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ΔТ, получим :

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления молярной теплоёмкости при постоянном давлении :

Вычислим отношение формул (4) и (3), получим :

Молярные теплоёмкости газа при постоянном объёме и давлении выражаются соответственно :

Используя эти выражения запишем формулы для молярных теплоёмкостей гелия и кислорода. Помощь на экзамене онлайн .

Подставляя, полученные выражения (6), (7), (8) и (9) в формулу (5), получим :

Произведя вычисления, получим :

Найти среднюю длину свободного пробега молекулы азота в сосуде объемом 6 л. Масса газа 0,5 г.

Дано : d=3×10 -8 см=3×10 -11 см

Найти :

Средняя длина свободного пробега молекул газа выражается формулой :

=1/πd 2 n (1)

где d – диаметр молекулы ; n – концентрация молекул.

Концентрация молекул связана с давлением и температурой газа выражением:

где к – постоянная Больцмана (к=1.38×10 -23 Дж/К)

Из уравнения Менделеева-Клайперона можем записать:

(3)

, где V – объем газа, R – молярная газовая постоянная, m и M – масса и молярная масса газа соответственно.

Подставляя (3) в (2), а затем в выражение (1), получим:

= (4)

Вычисления по формуле (4) дают

== 1,9336×10 -3 м

Ответ: =1,9336×10 -3 м.

Газ, для которого γ=Cp/Cv=4/3, находится под давлением P=2×10 5 Па и занимает объём V=3 дм 3 . В результате изобарического нагревания объём увеличился в 3 раза. Определить количество теплоты, переданное газу.

V=3 дм 3 =3×10 -3 м 3

Количество теплоты, участвующее в изобарном процессе выражается формулой :

Q= (1) , где m – масса газа ; M – молярная масса газа ; Cp – молярная теплоёмкость при p=const ; ΔT – изменение температуры газа.

Изменение температуры газа :

Начальную Т1 и конечную Т2 температуры газа найдём из уравнения Менделеева-Клапейрона :

T1= (3) ; T2= (4)

где V и V2 – объёмы газа до нагревания и после, соответственно.

С учётом выражений (3) и (4), формула (2) примет вид :

ΔT= (5)

Подставляя полученное выражение для ΔТ согласно (5) в уравнение (1), получим :

Q= (6)

С учётом уравнения : R=Cp-Cv выражение (6) примет вид :

Q=

Разделив числитель и знаменатель последнего выражения на Cv и, учитывая, что V2=3V, получим :

Q= (7)

Произведя вычисления по формуле (7), найдём количество теплоты, подведённое к газу :

Q==4800 Дж=4.8 кДж

Во сколько раз необходимо увеличить объём ν=5 моль идеального газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на ΔS=57.6 Дж/К?

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой :

ΔS=S2-S1= (1)

При вычислении по формуле (1) вынесем температуру Т за знак интеграла (при изотермическом процесс T=const). Помощь на экзамене онлайн . Вычислив интеграл, найдём :

ΔS= (2)

где Q – количество теплоты.

Количество теплоты при изотермическом процессе выражается формулой :

С учётом (2) уравнение (3) примет вид :

ΔS=

Отсюда изменение объёма газа :

V2/V1= (4)

Вычисления по формуле (4) дают :

V2/V1==4

Ответ : объём газа необходимо увеличить в 4 раза.

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code

Adblock detector