Содержание
Главное меню
Задачи
Помогите решить
Вход на сайт
Кто на сайте?
Сейчас 53 гостей и ни одного зарегистрированного пользователя на сайте
Найти ядро линейного оператора
Найти ядро линейного оператора f векторного пространства V, заданного в базисе e1,e2,e3,e4 матрицей
1 1 1 -5
1 1 1 1
1 1 -1 -2
1 1 -3 1
У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте
Все права защищены 2019
Перепечатка информации возможна только при наличии
согласия администратора и активной ссылки на источник!
Дано четырехмерное пространство (как я понимаю, в нём находится базис, состоящий из четырех векторов). Нужно найти матрицу оператора в четырехмерном пространстве (получается, самим придумать и составить; как я понимаю, она будет состоять из 4 строк и 4 столбцов?), причём размерность ядра Ker равно размерности образа Im и равно 2. Далее необходимо найти исходя из составленной матрицы базис ядра и образа.
Прошу помочь разобраться в этом задании. С этими линейными операторами, ядрами, образами прям совсем туго((
задан 10 Янв 20:35
Достаточно взять любую матрицу 4×4 ранга 2. Для этого пишем первые две строки наугад, чтобы они не были пропорциональными. Скажем, 1 0 -2 3 и 0 1 4 -1. В качестве третьей строки берём любые, которые выражаются через первые две. Можно брать значения a+b, 2a-b, 3a+2b и т.п.
Базис ядра — это базис в пространстве решений однородной системы. Решаем её методом Гаусса, находя два базисных вектора. В качестве базиса образа можно взять любые два столбца, которые не пропорциональны.
Все эти абстрактные понятия на самом деле легко освоить на конкретных примерах.
@falcao вы сделали вывод о том, что ранг матрицы будет равен 2 исходя из размерности образа? Всегда такое правило действует?
@Yu_Ko: здесь оба числа равны 2, поэтому разницы нет. А общее правило такое: если матрица имеет размер nxn и ранг r, то образ имеет размерность r, а размерность ядра равна n-r. Это более или менее очевидно — особенно для образа. Ведь он состоит из столбцов матрицы и всех их линейных комбинаций. А линейно независимых столбцов, дающих базис образа, будет в точности r. Сумма же размерностей образа и ядра равна размерности всего пространства, то есть n.
@falcao как же вы выручаете! Спасибо огромное! Благодаря вам всё прояснилось, чего не добьёшься от нынешних преподавателей в вузе(
@Yu_Ko: форму для того и существует, чтобы смысл разных понятий прояснять. Преподаватели так поступают не от хорошей жизни. Дело в том, что когда в короткий по времени курс надо уложить много разных методов решения задач (включая дифференциальные уравнения, или ряды Фурье), то там поневоле приходится ограничиваться изложением типовых "рецептов". Типа, капусты вот столько, а морковки в 3 раза меньше 🙂 Тут как бы уже не до кулинарных "изысков" 🙂
Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.
Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора.
Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; вто-
рой как образец оформления. Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств. Рекомендуется рассматривать эти утверждения как хорошие теоретические задачи для самостоятельного решения. Полный список теоретических задач приведён в конце.
Пусть L векторное пространство, A линейный оператор в L. Ядро (=нуль-пространство) линейного оператора полный прооб-
раз множества <0>, т. е. множество всех векторов, которые переводятся линейным оператором в 0:
Образ (=множество значений) линейного оператора множество всех векторов, у которых есть прообразы относительно A:
Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами . Например, если L координатная плоскость (двумерное векторное
пространство с базисом e 1 , e 2 ) и оператор A проектирует радиус-векторы на ось абсцисс (=на линейную оболочку вектора e 1 ) параллельно оси ординат (=параллельно линейной оболочке вектора e 2 ), то ker A ось ординат (линейная оболочка вектора e 2 ), im A ось абсцисс (линейная оболочка вектора e 1 ):
ker A = `(e 2 ), im A = `(e 1 ).
Рассмотрим на примере, как находить базисы ядра и образа линейного оператора, заданного матрицей в некотором базисе.
Пример 1. Дана матрица линейного оператора A в базисе e = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ):