Содержание
Спиралью называется плоская кривая, описываемая точкой, удаляющейся от центра при совершении кругового движения в плоскости чертежа вокруг центра спирали. На практике различают спирали с постоянным и постепенно возрастающим расстоянием между завитками. Обычно спирали строят по точкам и вычерчивают с помощью лекала.
Для того чтобы расчертить спираль, необходимо наметить не менее двух ее центров. Если вычерчивают спираль из трех или более центров, то обычно центрами спирали являются вершины правильного треугольника или правильного многоугольника. Каждую дугу проводят из последующей вершины до пересечения с лучом из угла треугольника или многоугольника. Радиус при этом каждый раз увеличивается на длину, равную длине стороны треугольника или многоугольника.
Рассмотрим, например, как начертить так называемую «архимедову спираль» (рис. 17, а ). Для этого нужно провести горизонтальную линию и отметить на ней две точки О 1 и О 2, отстоящие одна от другой примерно на 3 мм. Поставив ножку циркуля в одну из этих точек (О 1), проведите дугу радиусом 3 мм (R 1), равную половине окружности. Концы этой дуги должны опираться на горизонтальную ось (в данном примере – сверху).
Затем перенесите ножку циркуля во вторую из отмеченных точек и увеличьте его раствор так, чтобы карандаш попал в конец первой дуги. Снова проведите половину окружности радиусом R 2, опирающуюся на горизонтальную линию, но уже с противоположной стороны (снизу). Таким же образом, переставляя ножку циркуля то в первую, то во вторую точку и каждый раз увеличивая его раствор, продолжайте разворачивать спираль. На рис. 17, а , изображено четыре полных оборота.
Для построения спирали, имеющей три центра (рис. 17, б), находящихся на равных расстояниях один от другого, необходимо предварительно построить равносторонний треугольник 1–2–3 (заштрихован) и продолжить его стороны так, как это показано на рисунке (линии 1–1’, 2–2’ и 3–3’ ).
Из центра 1 проводим дугу 3–1’ радиусом R 1, равным длине стороны треугольника, до пересечения с продолжением стороны 1–1’ . Затем из центра 2 описываем дугу радиусом R 2 = 2R 1 до пересечения с продолжением стороны 2 (линия 2–2’ ). После этого из центра 3 проводим дугу радиусом R 3 = 3R 1 до пересечения с продолжением стороны 3 (линия 3–3’ ) в точке 3’ . После этого возвращаемся в центр 1 и продолжаем построение в такой же последовательности, каждый раз увеличивая радиус дуги на величину стороны треугольника.
Рис. 17. Построение спиралей: а – «архимедова спираль» с двумя центрами; б – трехцентровая спираль; в – эвольвента круга; г, д – ломаные (хордовые) спирали.
Аналогично выполняют спирали с четырьмя, пятью и т. д. центрами.
Эвольвента круга (рис. 17, в ) – это плоская кривая, образуемая точкой на прямой, которая перемещается без скольжения по неподвижной окружности заданного радиуса. Эта кривая иногда называется разверткой окружности. Построение эвольвенты начинается с деления заданной окружности на произвольное число равных частей, например 12. В каждой точке деления проводим касательные к окружности. На каждой из этих касательных последовательно откладываем длину окружности, равную πd /12: в точке 1 – πd /12, в точке 2 – 2πd /12, в точке 3 – 3πd /12 и т. д. На касательной к точке 12 откладываем длину окружности, равную πd . Соединяя последовательно плавной кривой по лекалу полученные на касательных точки 1’, 2’, 3’ и т. д., получим кривую, называемую эвольвентой.
Схема построения ломаных спиралей показана на рис. 17, г, д . Они строятся так же, как и циркульные, но дуги заменяются соответствующими хордами.
Золотая спираль или спираль Фибоначчи — логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ 4 , где φ — золотое сечение. Коэффициент роста логарифмической спирали показывает во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360°. [1] Свое название эта спираль получила из-за связи с последовательностью вложенных друг в друга прямоугольников с отношением сторон, равным φ , которые принято называть золотыми. Золотую спираль можно как вписать в систему таких прямоугольников, так и описать вокруг нее. Популярность золотая спираль приобрела из-за того, что известная с начала XVI века и применяющаяся в искусстве [2] спираль, построенная по методу Дюрера [3] [4] , оказалась хорошей аппроксимацией для золотой спирали (см. рисунок)
Содержание
Формула [ править | править код ]
Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значением коэффициента роста — φ 4 :
r = a φ ± 2 θ π <displaystyle r=avarphi ^<pm <frac <2 heta ><pi >>>> 
где a — произвольная положительная вещественная константа, а φ = 5 + 1 2 <displaystyle varphi =<frac <<sqrt <5>>+1><2>>>
Основное свойство логарифмической спирали: угол между радиус-вектором, исходящим из полюса, и касательной к спирали — μ — постоянен, и для золотой спирали определяется формулой:
tg μ = r r ′ = π 2 ln φ <displaystyle operatorname
Откуда μ ≈ 73 ∘ <displaystyle mu approx 73^<circ >>
Приближения золотой спирали [ править | править код ]
Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью [5] , с которой их часто путают.
Как уже было написано выше, при вписывании золотой спирали в последовательность вложенных друг в друга золотых прямоугольников, она аппроксимируется спиралью, построенной по методу Дюрера. Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный ему прямоугольник, его, в свою очередь, разделить тем же образом, и продолжать этот процесс произвольное число раз. Если в эти квадраты вписать соединенные между собой четвертинки окружностей, то получается спираль, изображенная на первом рисунке.
Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи, которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов (см. второй рисунок).
Спирали в природе [ править | править код ]
В природе встречаются приближения к логарифмическим спиралям с коэффициентом роста равным φ k . Так раковины моллюсков Nautilus pompilius и окаменелых аммонитов хорошо описываются при k = 2, а раковины некоторых улиток при k = 1. [6] Отношение длин трех витков спирали уха у человека равно φ [7] , что соответствует спирали с k = 1. Рукава спиральных галактик, несмотря на существующие утверждения [8] , если и описываются логарифмической, то не золотой спиралью. В данном случае, описание ею является проявлением случайной близости. Недавний анализ спиралей, встречающихся в роговичном эпителии мышей, показал, что там встречаются как золотая, так и другие логарифмические спирали. [9]
Построение спирали Архимеда.
Спираль Архимеда — это траектория точки, движущейся с постоянной скоростью от центра окружности по
радиусу, вращающемуся также с постоянной угловой скоростью.
1. Делим радиус окружности на одинаковое число равных частей (в примере на 8).
2. Делим окружность на такое же число равных частей.
3. Проводим лучи из центра через точки деления окружности.
4. На первом луче откладываем одно деление радиуса.
5. На втором луче откладываем два деления радиуса и т. д.
6. Если строить спираль дальше, то на луче 1 откладываем 8+1 деление радиуса (получаем точку IX ).
7. На втором луче откладываем 8+2 деления радиуса (получаем точку X) .
8. На третьем луче откладываем 8+3 деления радиуса (получаем точку XI) и т. д.
Соединяем точки по лекалу.
Спираль. Спираль Архимеда. Построение спирали Архимеда.