Содержание
Давно собирался опубликовать заметку про историю числа (pi ). Ниже приводится краткая версия истории числа Пи, в ней вы увидите становление науки на земле на примере вычисления трансцендентной константы.
Введение
В статье присутствуют математические формулы, поэтому для чтения перейдите на сайт для их корректного отображения. Число ( pi ) имеет богатую историю. Данная константа обозначает отношение длины окружности к ее диаметру.
В науке число ( pi ) используют в любых расчетах, где есть окружности. Начиная от объема банки газировки, до орбит спутников. И не только окружности. Ведь в изучении кривых линий число ( pi ) помогает понять периодические и колебательные системы. Например, электромагнитные волны и даже музыку.
В 1706 году в книге «Новое введение в математику» британского ученого Уильяма Джонса (1675-1749 гг.) для обозначения числа 3,141592… впервые была использована буква греческого алфавита ( pi ). Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιϕερεια — окружность, периферия и περιµετρoς — периметр. Общепринятым обозначение стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.
Геометрический период
Постоянство отношения длины любой окружности к её диаметру было замечено уже давно. Жители Междуречья применяли [1, c.13] довольно грубое приближение числа ( pi ). Как следует из древних задач, в своих расчетах они используют значение ( pi ≈ 3 ).
Более точное значение для ( pi ) использовали древние египтяне. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, который называют «папирус Ринда». Папирус был составлен писцом Армесом примерно между 2000-1700 гг. до н.э.. Армес в своем папирусе написал, что площадь круга с радиусом (r) равна площади квадрата со стороной, равной (frac<8> <9>) от диаметра окружности (frac<8> <9>cdot 2r ), то есть ( frac<256> <81>cdot r^2 = pi r^2 ). Отсюда (pi = 3,16).
Древнегреческий математик Архимед (287-212 гг. до н.э.) впервые поставил задачу измерения круга на научную почву. Он получил [3, c.171] оценку (3frac <10>
4 комментария
Васильев Юрий
Если Вам интересно узнать, как заставить бесконечное Число Пи построиться в обыкновенный Отрезок длиной этого числа, получить по новому точный аналог Формулы вычисления исторического Числа Пи, познакомиться с новейшей рабочей Формулой вычисления точной длины Дуги, по трём произвольным точкам, а также с другими решениями с построениями других Античных задач. Некоторые решения задач уже имеют положительные решения Рецензента, остальные на рассмотрении. А также моя проза, «Юркины рассказы». Сайт смотри в электронном интернете. Интересующихся прошу писать автору.
Алека Радов
Цитата:
«Также Эйлер в своих вычислениях использовал разложения арктангенсов на сумму арктангенсов меньших аргументов [4, c.9]:
arctg 1/p=arctg 1/(p+q)+arctg 1/(p^2+pq+1),
arctg 1/n=arctg 1/(n+1)+arctg 1/(n^2+n+1)»
А эти выражения правильные? По моему,
arctg 1/p=arctg 1/(p+q)+arctg (p+q+1)/(p+q-1),
arctg 1/n=arctg 1/(n+1)+arctg (p+2)/p.
Это следует из выражения
arctg x+arctg y=arctg [(x+y)/(1-xy)].
Или у Эйлера другая математика была?
Новрузова Аида
Я хотела знать кто определил П=3,1415926534…
ProffEsor
краткая история применения. имели в виду. я искал происхождение ( как допёрли до такого имея десять пальцев и чутка мозгов в распоряжении)
История числа Пи начинается еще с Древнего Египта и идет параллельно с развитием всей математики. Мы же впервые встречаемся с этой величиной в стенах школы.
Число Пи является, пожалуй, самым загадочным из бесконечного множества других. Ему посвящены стихи, его изображают художники, о нем даже снят фильм. В нашей статье мы рассмотрим историю развития и вычисления, а также области применения константы Пи в нашей жизни.
Число Пи – это математическая константа равная отношению длины окружности к длине ее диаметра. Первоначально оно называлось лудольфово числом, а обозначать его буквой Пи было предложено британским математиком Джонсом в 1706 году. После работ Леонарда Эйлера в 1737 году это обозначение стало общепринятым.
Число Пи является иррациональным, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Впервые это доказал Иоганн Ламберт в 1761 году.
История развития числа Пи насчитывает уже порядка 4000 лет. Еще древнеегипетским и вавилонским математикам было известно, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности и значение его равно чуть больше трех.
Архимед предложил математический способ вычисления Пи, в котором он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. По его расчетам Пи примерно равнялась 22/7 ≈ 3,142857142857143.
Во II веке Чжан Хэн предложил два значения числа Пи: ≈ 3,1724 и ≈ 3,1622.
Индийские математики Ариабхата и Бхаскара нашли приблизительное значение 3,1416.
Самым точным приближением числа Пи на протяжении 900 лет было вычисление китайского математика Цзу Чунчжи, проведенное в 480-х годах. Он вывел, что Пи ≈ 355 /113, и показал, что 3,1415926 Число Пи — значение, история, кто придумал :
Число Пи – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,141592653589793238462643. Обозначается греческой буквой — π .
Некоторые могут подумать, раз это отношение обозначается греческой буквой, стало быть, его вывел некий греческий математик. На самом деле об этом история умалчивает. Зато имеются данные о том, кто впервые использовал в своих работах это обозначение.
Обозначение числа Пи буквой π впервые использовал английский математик (преподаватель) Уильям Джонс в 1706 году в своей работе "Synopsis Palmariorum Matheseos" (что в переводе на русский язык означает "Обозрение достижений математики"). Немного позже швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) использовал это обозначение ( π ) в своих работах, получивших всемирное признание. Вскоре после этого появилась тенденция к обозначению числа Пи греческой литерой π .
Все окружности похожи
Если сравнить окружности отличных друг от друга размеров, то можно заметить следующее: размеры разных окружностей пропорциональны. А это значит, что при увеличении диаметра окружности в некоторое количество раз, увеличивается и длина этой окружности в такое же количество раз. Математически это записать можно так:
| C1 | C2 | |
| = | ||
| d1 | d2 | (1) |
где C1 и С2 – длины двух разных окружностей, а d1 и d2 – их диаметры.
Это соотношение работает при наличии коэффициента пропорциональности – уже знакомой нам константы π . Из отношения (1) можно сделать вывод: длина окружности C равна произведению диаметра этой окружности на независящий от окружности коэффициент пропорциональности π :
Также эту формулу можно записать в ином виде, выразив диаметр d через радиус R данной окружности:
Как раз эта формула и является проводником в мир окружностей для семиклассников.
Еще с древности люди пытались установить значение этой константы. Так, например, жители Месопотамии вычисляли площадь круга по формуле:
| C 2 | ||
| S | = | , |
| 12 |
где S – площадь круга, C – длина окружности (круга). Если в эту формулу подставить уже знакомые школьнику выражения площади круга S = π r 2 и длины окружности С = 2 π R, то мы получим:
| (2 π R) 2 | |
| π R 2 | = |
| 12 |
В древнем Египте значение для π было точнее. В 2000-1700 годах до нашей эры писец, именуемый Ахмесом, составил папирус, в котором мы находим рецепты разрешения различных практических задач. Так, например, для нахождения площади круга он использует формулу:
| 8 | 2 | |||
| S | = | ( | d | ) |
| 9 |
Из каких соображений он получил эту формулу? – Неизвестно. Вероятно, на основе своих наблюдений, впрочем, как это делали и другие древние философы.
По стопам Архимеда
— Какое из двух числе больше 22/7 или 3.14 ?
— Они равны.
— Почему ?
— Каждое из них равно π .
А. А. Власов. Из Экзаменационного билета.
Некоторы полагают, что дробь 22/7 и чисо π тождественно равны. Но это является заблуждением. Помимо вышеприведенного неверного ответа на экзамене (см. эпиграф) к этой группе можно также добавить одну весьма занимательную головоломку. Задание гласит: "переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным".
Решение будет таковым: нужно образовать "крышу" для двух вертикальных спичек слева, используя одну из вертикальных спичек в знаменателе справа. Получится визуальное изображение буквы π .
Многие знают, что приближение π = 22/7 определил древнегреческий математик Архимед. В честь этого часто такое приближение называют "Архимедовым" числом. Архимеду удалось не только установить приближенное значение для π, но также найти точность этого приближения, а именно – найти узкий числовой промежуток, которому принадлежит значение π . В одной из своих работ Архимед доказывает цепь неравенств, которая на современный лад выглядела бы так:
| 10 | 6336 | 14688 | 1 | ||
| 3 | π | ||||
| 71 | 1 | 1 | 7 | ||
| 2017 | 4673 | ||||
| 4 | 2 | ||||
можно записать проще: 3,140 909 π π за 3,14 для удобства подсчета.
Пожалуй, самая известная формула среди школьников, в которой используется π , это – формула длины и площади окружности. Первая – формула площади круга – записывается так:
| π D 2 |
| S= π R 2 = |
| 4 |
где S – площадь окружности, R – ее радиус, D – диаметр окружности.
Длина окружности, или, как ее иногда называют, периметр окружности, вычисляют по формуле:
где C – длина окружности, R – радиус, d – диаметр окружности.
Понятно, что диаметр d равен двум радиусам R.
Из формулы длины окружности можно легко найти радиус окружности:
| C | C |
| R= | = |
| 2 π | d |
Обозначения для этих формул остаются те же.
Диаметр окружности можно найти по формуле:
| C | |
| D= | =2R |
| π |
где D – диаметр, С – длина окружности, R – радиус окружности.
Это базовые формулы, знать которые должен каждый ученик. Также иногда приходится вычислять площадь не всей окружности, а только ее части – сектора. Поэтому представляем вам её – формулу для вычисления площади сектора окружности. Выглядит она так:
| α | ||
| S | = | π R 2 |
| 360˚ |
где S – площадь сектора, R – радиус окружности, α – центральный угол в градусах.
Такое загадочное 3,14
И правда, оно загадочно. Потому что в честь этих магических цифр устраивают праздники, снимают фильмы, проводят общественные акции, пишут стихи и многое другое.
Например, в 1998 году вышел фильм американского режиссера Даррена Аронофски под названием "Пи". Фильм получил множество наград.
Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют "День числа Пи". К празднику люди подготавливают круглый торт, усаживаются за круглый стол и обсуждают число Пи, решают задачи и головоломки, связанные с Пи.
Вниманием это удивительное число не обошли и поэты, неизвестный написал:
Надо только постараться и запомнить всё как есть – три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть.
Давайте развлечемся!
Вашему вниманию предлагаются интересные ребусы с числом Пи. Разгадайте слова, какие зашифрованы ниже.