2018-05-14 
Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью $sigma = sigma_ <0>cos phi$, где $phi$ — полярный угол цилиндрической системы координат с осью z, совпадающей с осью данной поверхности. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля на оси z.
Возьмем участок цилиндра, перпендикулярный его оси, через точку, где должно вычисляться электрическое поле. (Все точки на оси эквивалентны.) Рассмотрим элемент $S$ с азимутальным углом $phi$. Длина элемента $R d phi$, $R$ является радиусом поперечного сечения цилиндра. Сам элемент представляет собой сечение бесконечной полосы. Электрическое поле в точке О от этой полосы составляет
Это можно решить следующим образом
$frac < sigma_<0>cos phi d phi > < 2 pi epsilon_<0>> egin
При интегрировании компонент вдоль YO исчезает. Остается
(Все задачи по электростатике и ответы к ним находятся в zip-архиве (347 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)
27.1. Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой плоской поверхностью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда σ? [смотрите ответ в общем файле]
27.2. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность радиусом R равномерно заряжена электрическим зарядом с поверхностной плотностью σ. Определить напряженность электрического поля внутри поверхности и снаружи. [смотрите ответ в общем файле]
27.3. Сферическая поверхность радиусом R равномерно заряжена электрическим зарядом Q. Определить напряженность электрического поля внутри сферы и снаружи. [смотрите ответ в общем файле]
27.4. Шар радиусом R равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда ρ. Определить напряженность электрического поля внутри шара и снаружи. [смотрите ответ в общем файле]
27.5. Плоский бесконечный слой толщиной h равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда ρ (рис.). Определить зависимость напряженности электрического поля в зависимости от расстояния x до среднего сечения слоя. [смотрите ответ в общем файле]
27.6. Две концентрические сферы с радиусами R1 и R2 (R1 R2. [смотрите ответ в общем файле]
27.7. Две бесконечные плоские равномерно заряженные параллельные пластины дают напряженности электрического поля в точках A и B EA и EB соответственно (рис.). Найти поверхностные плотности зарядов пластин σ1 и σ2. [смотрите ответ в общем файле]
27.8. Две бесконечные плоские параллельные поверхности заряжены равномерно с одинаковой поверхностью заряда σ. Найти разность потенциалов между точками A и B (рис.). Геометрические размеры указаны на рисунке. [смотрите ответ в общем файле]
27.9. Найти плотность электрического заряда в атмосфере, если на поверхности Земли напряженность электрического поля равна E1 = 100 В/м, а на высоте h = 1,5 км — Е2 = 25 В/м. Считать, что плотность заряда постоянна, а вектор напряженности направлен вертикально вверх. [≅ −4.43×10 −13 Кл/м 3 ]
27.10. Две концентрические сферы находятся одна в другой. Внутреннюю сферу нагрели и она начала излучать электроны. В секунду вылетает n электронов со скоростью v. Через какое время заряды сфер перестанут изменяться, если радиус внутренней сферы равен r, а радиус внешней на Δr больше. Δr −7 Кл/м 2 , σ2 = 4,2×10 −7 Кл/м 2 . a = 7 см, b = 5 см. [≅ 1.1 кВ]
27.15. С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда граней σ, длина ребра грани куба l. [смотрите ответ в общем файле]
27.16. На плоский слой, заряженный равномерно по объему положительным зарядом с плотностью ρ, падают положительно заряженные частицы с зарядом q и кинетической энергией W (рис.). Определить толщину слоя, если известно, что максимальный угол падения, при котором частицы могут пролететь слой, равен a. [смотрите ответ в общем файле]
27.17. Две плоские параллельные пластины расположены очень близко друг к другу и заряжены равномерно одинаковым по модулю и противоположным по знаку зарядом. Напряженность электрического поля в точке A, находящейся далеко от края пластин, равна Eo (рис.). Какова напряженность поля в точке B, находящейся на срезе пластин, если известно, что силовая линия, проходящая через точку B, составляет с плоскостью пластин угол α. [смотрите ответ в общем файле]
Для расчёта полей, созданных зарядами, которые равномерно распределены по сферическим, цилиндрическим или плоским поверхностям, применяют теорему Остроградского – Гаусса (раздел 2.2).
Методика расчёта полей с помощью теоремы
1) Выбираем произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряженное тело.
2) Вычисляем поток вектора напряжённости сквозь эту поверхность.
3) Вычисляем суммарный заряд, охваченный этой поверхностью.
4) Подставляем в теорему Гаусса вычисленные величины и выражаем напряжённость электростатического поля.
Примеры расчёта некоторых полей
Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).
Пусть бесконечный цилиндр радиусом R равномерно заряжен с линейной плотностью заряда + τ (рис. 16).
Из соображений симметрии следует, что линии напряжённости поля в любой точке будут направлены вдоль радиальных прямых, перпендикулярных оси цилиндра.
В качестве замкнутой поверхности выберем коаксиальный с данным (с общей осью симметрии) цилиндр радиусом r и высотой ℓ.
Рассчитаем поток вектора 
через данную поверхность:
,
Поток вектора напряжённости сквозь площади оснований равен нулю, поэтому
Суммарный заряд, охватываемый выбранной поверхностью:
.
Подставив всё в теорему Гаусса, с учетом того, что ε = 1, получим:
.
Напряжённость электростатического поля, созданного бесконечно длинным равномерно заряженным цилиндром или бесконечно длинной равномерно заряженной нитью в точках, расположенных вне её:
, (2.5)
где r – расстояние от оси цилиндра до заданной точки (r ≥ R);
τ — линейная плотностью заряда.
Поток вектора напряжённости сквозь поверхность сферы
Подставив это выражение в теорему Гаусса, получим:
.
Напряжённость электростатического поля вне равномерно заряженной сферы:
, (2.8)
где r – расстояние от центра сферы.
Отсюда видно, что поле тождественно с полем точечного заряда той же величины, помещённого в центр сферы.
Расстояния отсчитываются от оси цилиндров.
Решение. Коаксиальные цилиндры – это цилиндры, имеющие общую ось симметрии. Сделаем рисунок и покажем на нем точки (рис. 24).
т
очкаА расположена внутри обоих цилиндров. Так как внутри цилиндров поля нет, то напряжённость в этой точке равна нулю:
точка В расположена внутри бóльшего цилиндра, поэтому в этой точке поле создаётся только меньшим цилиндром:
.
Выразим линейную плотность заряда через поверхностную плотность заряда. Для этого воспользуемся формулами (1.4) и (1.5), из которых выразим заряд:
Приравняем правые части и получим:
,
где S1 – площадь поверхности первого цилиндра.
С учётом того, что 
, окончательно получим:
точка С расположена снаружи обоих цилиндров, поэтому поле создаётся обоими цилиндрами. По принципу суперпозиции:
.
С учётом направлений и расчётов, полученных выше, получим:
.
Задача 2.7. Поле создано двумя заряженными бесконечно длинными параллельными плоскостями. Поверхностные плотности зарядов равны σ1 и σ2 > σ1. Найти напряжённость электростатического поля в точках, находящихся между пластинами и вне пластин. Решить задачу для двух случаев:
а) пластины одноимённо заряжены;
б) пластины разноимённо заряжены.
Решение. В векторном виде напряжённость результирующего поля в любом случае записывается одинаково. Согласно принципу суперпозиции:
.
Модули векторов 
и
вычисляются по формуле (2.6).
а) Если плоскости заряжены одноимённо, то между плоскостями напряжённости направлены в разные стороны (рис. 26, а). Модуль результирующей напряжённости
Вне плоскостей напряжённости 
и
направлены в одну сторону. Так как поле бесконечных заряженных плоскостей однородно, то есть не зависит от расстояния до плоскостей, то в любой точке и слева и справа от плоскостей поле будет одинаково:
. 
б) Если плоскости заряжены разноимённо, то, наоборот, между плоскостями напряжённости направлены в одну сторону (рис. 26, б), а вне плоскостей – в разные.