Содержание
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается
где — величина угла между векторами и .
Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратам.
Пример 1.13. Найти скалярные произведения , если известно, что , угол между векторами и равен , , а вектор образует с вектором угол (рис.1.36).
Решение. По определению находим
Так как векторы и противоположно направленные, то угол между векторами и равен . Поэтому
Угол между противоположно направленными векторами и равен , поэтому
Вектор ортогонален вектору (и вектору ), так как величина угла между ними равна , а . Поэтому .
Угол между векторами и равен , поэтому .
Геометрический смысл скалярного произведения векторов
Рассмотрим ортогональную проекцию ненулевого вектора на ось, задаваемую вектором (рис. 1.37). Согласно пункту 1 замечаний 1.4, алгебраическое значение длины проекции равно произведению длины вектора на косинус угла между векторами и :
Умножив обе части этого равенства на , получим . Сравнивая с (1.7), делаем вывод: скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором :
Эта формула остается справедливой и в случае , так как .
Аналогично (см. пункт 2 замечаний 1.4) доказывается формула и делается вывод о том, что скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором .
Алгебраические свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого действительного числа :
4. , причем из равенства следует, что .
Первое свойство определяет симметричность скалярного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю, четвертое свойство — неотрицательность скалярного квадрата. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство соответствует закону коммутативности умножения чисел, второе — закону дистрибутивности умножения по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является число (скаляр), то такое произведение векторов называется скалярным.
Свойства 1 и 4 следуют непосредственно из определения. Докажем, например, аддитивность скалярного произведения по первому множителю (свойство 2): . Если вектор — нулевой, то все скалярные произведения равны нулю по определению, т.е. для имеем верное равенство. Пусть . Учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме проекций (то же относится и к алгебраическим значениям длин ортогональных проекций), можно записать .
Умножая обе части на , получаем .
Учитывая (1.8), последнее равенство равносильно , что и требовалось доказать. Однородность скалярного произведения по первому множителю (свойство 3) доказывается аналогично, используя соответствующее свойство ортогональных проекций векторов.
1. Свойства аддитивности и однородности скалярного произведения означают линейность скалярного произведения по первому множителю :
для любых векторов и любых действительных чисел и .
2. В силу коммутативности скалярное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю .
3. Для любых векторов справедливо неравенство Коши — Буняковского
Это неравенство выражает условие ограниченности косинуса угла между ненулевыми векторами. В самом деле, поскольку , то из (1.7)
и, следовательно, справедливо доказываемое неравенство. Заметим, что неравенство Коши — Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов, т.е. при .
4. Из неравенства Коши — Буняковского следует неравенство треугольника (длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон и больше модуля их разности):
Докажем последнее неравенство . Используя неравенство , которое следует из неравенства Коши — Буняковского, оценим скалярный квадрат суммы векторов:
т.е. , что равносильно доказываемому неравенству.
Геометрические свойства скалярного произведения
С помощью скалярного произведения можно находить основные метрические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов.
1. Длина вектора а находится по формуле: .
2. Величина угла между ненулевыми векторами находится по формуле:
Отсюда заключаем, что:
— ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ;
— угол между ненулевыми векторами и острый тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;
— угол между ненулевыми векторами и тупой frac<pi><2>
ight)" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFIAAAAmBAMAAAClsdF/AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAZvHEYFEYuAx8CFysX6e75gAAAHwSURBVDjLY2AgCbCY4JBgFBQUZGBwcoALOE/ArtDpHRAUMLAjDLLBYaJRsGpTjAMDoy5MhNUAu0r2AuGNC0EMjgNQkX0JuDywQ/ohWMsSKF8Zp1eD2MBmMjZBuNzPcSlkXM4GNpOhbgOYYlqISyX7E56XYIZfAJiSUsClksOA7SmY /> тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.
3. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором .
4. Ортогональная проекция вектора на ось, задаваемую вектором .
Если ось задается единичным вектором , то .
Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4.
Пример 1.14. Доказать тождества
Решение. Используя коммутативность и линейность скалярного произведения, запишем равенства
Заменяя скалярные квадраты векторов квадратами их длин (см. геометрическое свойство 1), получаем
Если из первого равенства вычесть второе, то придем к тождеству (а). Если же сложить оба равенства, то получим тождество (б).
Доказанные равенства выражают следующие свойства параллелограмма, построенного на векторах и ( и — его диагонали):
а) скалярное произведение векторов равно одной четвертой от разности квадратов диагоналей параллелограмма, построенного на множителях;
б) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение произведения векторов a → и b → имеет вид a → , b → . Преобразуем в формулу:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → и b → обозначают длины векторов, a → , b → ^ — обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a → , b → = 0
При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:
a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2
Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.
Вычисляется по формуле:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Запись a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → показывает, что n p b → a → — это числовая проекция a → на b → , n p a → a → — проекция b → на a → соостветсвенно.
Сформулируем определение произведения для двух векторов:
Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a → и b → .
При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) в декартовой системе используют:
a → , b → = a x · b x + a y · b y ,
для трехмерного пространства применимо выражение:
a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .
Фактически это является третьим определением скалярного произведения.
Для доказательства используем a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) на декартовой системе.
Следует отложить векторы
O A → = a → = a x , a y и O B → = b → = b x , b y .
Тогда длина вектора A B → будет равна A B → = O B → — O A → = b → — a → = ( b x — a x , b y — a y ) .
Рассмотрим треугольник O A B .
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) верно , исходя из теоремы косинусов.
По условию видно, что O A = a → , O B = b → , A B = b → — a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе
b → — a → 2 = a → 2 + b → 2 — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) .
Тогда из первого определения следует, что b → — a → 2 = a → 2 + b → 2 — 2 · ( a → , b → ) , значит ( a → , b → ) = 1 2 · ( a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 ) .
Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a → , b → = 1 2 · ( ( a 2 x + a y 2 ) 2 + ( b 2 x + b y 2 ) 2 — ( ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 ) 2 ) = = 1 2 · ( a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y — ( b x — a x ) 2 — ( b y — a y ) 2 ) = = a x · b x + a y · b y
( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z
– соответственно для векторов трехмерного пространства.
Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) и ( a → , a → ) = a x 2 + a y 2 .
Скалярное произведение и его свойства
Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a → , b → и c → :
- коммутативность ( a → , b → ) = ( b → , a → ) ;
- дистрибутивность ( a → + b → , c → ) = ( a → , c → ) + ( b → , c → ) , ( a → + b → , c → ) = ( a → , b → ) + ( a → , c → ) ;
- сочетательное свойство ( λ · a → , b → ) = λ · ( a → , b → ) , ( a → , λ · b → ) = λ · ( a → , b → ) , λ — любое число;
- скалярный квадрат всегда больше нуля ( a → , a → ) ≥ 0 , где ( a → , a → ) = 0 в том случае, когда a → нулевой.
Пример 1
Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.
Доказать свойство коммутативности ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Из определения имеем, что ( a → , b → ) = a y · b y + a y · b y и ( b → , a → ) = b x · a x + b y · a y .
По свойству коммутативности равенства a x · b x = b x · a x и a y · b y = b y · a y верны, значит a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .
Отсюда следует, что ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Что и требовалось доказать.
Дистрибутивность справедлива для любых чисел:
( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b → ) = ( a ( 1 ) → , b → ) + ( a ( 2 ) → , b → ) + . . . + ( a ( n ) → , b → )
и ( a → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( n ) → ) = ( a → , b ( 1 ) → ) + ( a → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a → , b → ( n ) ) ,
( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( m ) → ) = = ( a ( 1 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 1 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 1 ) → , b ( m ) → ) + + ( a ( 2 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 2 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 2 ) → , b ( m ) → ) + . . . + + ( a ( n ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( n ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( n ) → , b ( m ) → )
Скалярное произведение с примерами и решениями
Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:
- ( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) ;
- ( a → , b → ) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
- ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y или ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
- ( a → , a → ) = a → 2 .
Рассмотрим некоторые примеры решения.
Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.
По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:
( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2
Ответ: ( a → , b → ) = 21 2 .
Заданны векторы a → = ( 1 , — 1 , 2 — 3 ) , b → = ( 0 , 2 , 2 + 3 ) . Чему равно скалярной произведение.
В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:
( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + ( — 1 ) · 2 + ( 2 + 3 ) · ( 2 + 3 ) = = 0 — 2 + ( 2 — 9 ) = — 9
Ответ: ( a → , b → ) = — 9
Найти скалярное произведение A B → и A C → . На координатной плоскости заданы точки A ( 1 , — 3 ) , B ( 5 , 4 ) , C ( 1 , 1 ) .
Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:
A B → = ( 5 — 1 , 4 — ( — 3 ) ) = ( 4 , 7 ) A C → = ( 1 — 1 , 1 — ( — 3 ) ) = ( 0 , 4 )
Подставив в формулу с использованием координат, получим:
( A B → , A C → ) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .
Ответ: ( A B → , A C → ) = 28 .
Заданы векторы a → = 7 · m → + 3 · n → и b → = 5 · m → + 8 · n → , найти их произведение. m → равен 3 и n → равен 2 единицам, они перпендикулярные.
( a → , b → ) = ( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) . Применив свойство дистрибутивности, получим:
( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) = = ( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → )
Выносим коэффициент за знак произведения и получим:
( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → ) = = 7 · 5 · ( m → , m → ) + 7 · 8 · ( m → , n → ) + 3 · 5 · ( n → , m → ) + 3 · 8 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → )
По свойству коммутативности преобразуем:
35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → )
В итоге получим:
( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) .
Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:
( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos ( m → , n → ^ ) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .
Ответ: ( a → , b → ) = 411
Если имеется числовая проекция.
Найти скалярное произведение a → и b → . Вектор a → имеет координаты a → = ( 9 , 3 , — 3 ) , проекция b → с координатами ( — 3 , — 1 , 1 ) .
По условию векторы a → и проекция b → противоположно направленные, потому что a → = — 1 3 · n p a → b → → , значит проекция b → соответствует длине n p a → b → → , при чем со знаком «-»:
n p a → b → → = — n p a → b → → = — ( — 3 ) 2 + ( — 1 ) 2 + 1 2 = — 11 ,
Подставив в формулу, получим выражение:
( a → , b → ) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + ( — 3 ) 2 · ( — 11 ) = — 33 .
Ответ: ( a → , b → ) = — 33 .
Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.
Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a → = ( 1 , 0 , λ + 1 ) и b → = ( λ , 1 , λ ) будет равным -1.
Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:
( a → , b → ) = 1 · λ + 0 · 1 + ( λ + 1 ) · λ = λ 2 + 2 · λ .
В дано имеем ( a → , b → ) = — 1 .
Чтобы найти λ , вычисляем уравнение:
λ 2 + 2 · λ = — 1 , отсюда λ = — 1 .
Физический смысл скалярного произведения
Механика рассматривает приложение скалярного произведения.
При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:
Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A .
Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F → = 5 , S → = 3 , ( F → , S → ^ ) = 45 ° , получим A = ( F → , S → ) = F → · S → · cos ( F → , S → ^ ) = 5 · 3 · cos ( 45 ° ) = 15 2 2 .
Ответ: A = 15 2 2 .
Материальная точка, перемещаясь из M ( 2 , — 1 , — 3 ) в N ( 5 , 3 λ — 2 , 4 ) под силой F → = ( 3 , 1 , 2 ) , совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.
При заданных координатах вектора M N → имеем M N → = ( 5 — 2 , 3 λ — 2 — ( — 1 ) , 4 — ( — 3 ) ) = ( 3 , 3 λ — 1 , 7 ) .
По формуле нахождения работы с векторами F → = ( 3 , 1 , 2 ) и M N → = ( 3 , 3 λ — 1 , 7 ) получим A = ( F ⇒ , M N → ) = 3 · 3 + 1 · ( 3 λ — 1 ) + 2 · 7 = 22 + 3 λ .
По условию дано, что A = 13 Д ж , значит 22 + 3 λ = 13 . Отсюда следует λ = — 3 , значит и M N → = ( 3 , 3 λ — 1 , 7 ) = ( 3 , — 10 , 7 ) .
Чтобы найти длину перемещения M N → , применим формулу и подставим значения:
Есть несколько операций умножения векторов. Рассмотрим одну из них, результатом которой является действительное число, т. е. скалярная величина.
Определение 2.3. Скалярным произведением двух векторов а и b называют число, равное |a| |b| cosφ — произведению длин |а| и |b| этих векторов на косинус угла φ между ними.
Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то их скалярное произведение будет равно нулю независимо от того, какое значение выбрано в качестве угла между векторами.
Скалярное произведение векторов а и b далее будем обозначать ab, хотя в литературе встречается и обозначение (a, b).
Используя теорему 1.1, можно выразить скалярное произведение двух векторов через ортогональную проекцию на направление. Если вектор а ненулевой, то скалярное произведение ab векторов а и b получается перемножением длины вектора а и ортогональной проекции вектора b на направление вектора а: ab = |а| прa b. Аналогично при b ≠ 0 имеем равенство ab = |b| прbа.
Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой (т.е. равен 90°), то такие векторы называют ортогональными.
Нулевой вектор считают ортогональным любому другому вектору.
Теорема 2.7. Для того чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
◄ Как следует из определения 2.3, скалярное произведение ненулевых векторов а и b равно |а| |b| cosφ. Поэтому его знак определяется углом p между векторами а и b:
— угол φ острый: ab > 0;
— угол φ тупой: ab 2 .
4°. Свойство скалярного квадрата: а 2 ≥ 0, причем а 2 = 0 тогда и только тогда, когда а = 0.
◄ Действительно, а 2 = аа = |а||а| cos0 = |а| 2 . Поскольку квадрат длины вектора — неотрицательное число, то неравенство а 2 ≥ 0 выполнено всегда. Равенство а 2 = 0 эквивалентно соотношению |а| = 0, т.е. тому, что а — нулевой вектор. ►
Замечание 2.2. Свойства 2° и 3° часто объединяют в свойство линейности скалярного произведения относительно первого сомножителя. Благодаря коммутативности скалярного произведения (свойству 1°) скалярное произведение линейно и по второму сомножителю. Действительно, а(λb) = (λb)а = λ(bа) = λ(ab), a(b + с) = (b + с)а = bа + са = ab + ас. #
Свойства скалярного произведения часто используют при решении задач.
Пример 2.2. Найдем длину вектора a = 3с — 2d при условии, что |с| = 5, |d| = 4, а угол φ между векторами с и d равен 60°.
Поскольку |а| = √а 2 , то, вычисляя скалярный квадрат вектора а, находим, что
а 2 = (3с — 2d)(3c — 2d) = 9с 2 — 12cd + 4d 2 = 9 |с| 2 — 12 |с| |d| cosφ + 4 |d| 2 = 9 ⋅ 25 — 12 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ 16 = 225 — 120 + 64 = 169.
Следовательно, |a| = √а 2 = 13.
Пример 2.3. В треугольнике ABC угол при вершине A равен 120°, а длина стороны AC в три раза больше расстояния между вершинами A и B. Найдем острый угол φ между стороной BC и медианой AM треугольника.
Угол φ между стороной BC и медианой AM (рис. 2.6) равен углу между векторами BC и AM . Согласно определению 2.3 скалярного произведения, косинус угла выражается через скалярное произведение этих векторов и их длины с помощью формулы
cosφ = ( AM ⋅ BC )/ (| AM | ⋅ | BC |)
Пусть |AB| = s. Тогда |AC| = 3s, и поскольку BC = AC — AB , то
AM = AB + BM = AB + 0,5 BC = AB + ( AC — AB ) = 0,5 ( AC + AB )
AM ⋅ BC ) = 0,5 ( AC + AB )( AC — AB ) = 0,5 (| AC | 2 + | AB | 2 ) = 0,5 (9s 2 — s 2 ) = 4s 2
Вычислив длины векторов AM и BC :
Следовательно, острый угол между стороной BC и медианой AM равен φ = arccos(8/√91). #
Пусть векторы а и b из V3 заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k: а = a; ya; za>, b = b; yb; zb>. Это означает, что имеются разложения а = xai + yaj + zak, b = xbi + ybj + zbk. Используя их и свойства 1°-4° скалярного произведения, вычислим
Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса i, j, k означает выполнение равенств ij = ik = jk = 0, i 2 = j 2 = k 2 = 1. Таким образом,
т. е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат.
Из теоремы 2.7 и формулы (2.14) получаем следующий критерий ортогональности векторов а и b:
Вспомним, что, согласно определению 2.3 скалярного произведения, ab = |a||b| cosφ, где φ = 
— угол между векторами a и b. Зная, как выражается скалярное произведение и длины векторов через их координаты в ортонормированном базисе, можно вычислить и косинус угла между ненулевыми векторами. Действительно, исходя из формулы
В случае, когда a, b ∈ V2 и известны координаты этих векторов в ортонормированном базисе i, j: a = xai + yaj, b = xbi + ybj, справедливы формулы, аналогичные (2.14)-(2.16):
для вычисления скалярного произведения
для критерия ортогональности
для косинуса угла между ненулевыми векторами а и b
Пример 2.4. Найдем значения параметра t, при которых векторы a = и b = =
t(t + 1) + 2(1 — t) — 14 = 0
относительно параметра t. Решая это квадратное уравнение, находим, что лишь при t = -3 и t = 4 данные векторы ортогональны.