“Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля, цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных цифр” (Определение Брадиса Б.М.).
Можно сформулировать иначе: “Значащими цифрами называют все цифры, кроме левых нулей”.
Заметим, что нуль, стоящий в конце десятичной дроби, — всегда значащая цифра (иначе бы этот нуль просто не писали).
Рассмотрим целое приближенное число с нулями справа. Эти нули могут быть значащими или незначащими. Незначащие нули в конце целого приближенного числа можно отмечать каким-либо знаком, например, чертой или другими обозначениями. Лучше вообще не записывать незначащих нулей. Для этого существует два способа:
1. Переход к кратным единицам.
2. Запись результата вычислений или измерений в нормализованной форме (при этом незначащие нули не пишутся).
Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает половины единицы последнего разряда, то все цифры приближенного числа называют верными. Если в приближенном числе все значащие цифры, кроме последней, являются верными, но абсолютная погрешность числа превышает половину единицы последнего разряда, то цифра этого разряда называется сомнительной.
Правило записи приближенного числа (принцип А.Н. Крылова): “Писать число необходимо так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительной и при этом не более как на одну единицу”.
По принципу Брадиса-Крылова сомнительную цифру сохраняют и в том случае, когда погрешность числа превосходит единицу последнего разряда, но при этом малые значения погрешности более вероятны, чем большие.
Все цифры приближенного числа, следующие за верными и одной сомнительной цифрой, называют неверными.
По принципу Крылова-Брадиса неверные цифры не пишутся.
Число значащих цифр абсолютной погрешности определяется величиной относительной погрешности средней квадратичной ошибки, соизмеримой с абсолютной погрешностью, по следующей формуле [1, 2, 3]:
, (1)
где ε — относительная погрешность определения средней квадратичной ошибки, примерно равной величине абсолютной погрешности;
N — число измерений.
Например: при N = 25, 
, т.е. относительная погрешность определения квадратичной ошибки (абсолютной погрешности) вычисляется с точностью примерно равной 15 %. Таким образом, если в абсолютной погрешности первая значащая цифра равна или больше 7, то в окончательном результате следует записывать одну значащую цифру, а если меньше 7 — то две значащие цифры.
Так, если ΔА = 0,7512, то в окончательной форме приводим одну значащую цифру, т.е. ΔА = 0,8 (с учетом округления погрешности с избытком). Если для этого случая ( 
), ΔА = 0,3671, то в окончательном виде приводим уже две значащие цифры, т.е. ΔА = 0,37 (также с учетом округления с избытком).
При N = 9 погрешность определения абсолютной ошибки, вычисляемая по формуле (1) 
. Следовательно, в окончательной форме необходимо привести одну значащую цифру, если первая значащая цифра абсолютной погрешности равна или больше 4 и две значащие цифры, если первая значащая цифра меньше 4.
Например, если ΔА = 0,523, то абсолютную погрешность записываем с точностью до одной цифры ΔА = 0,6. Если ΔА = 0,124, то в окончательной записи следует привести две значащие цифры, т.е. ΔА = 0,13.
Практически при числе измерений N ≤ 15 погрешность округляют до одной значащей цифры, если она больше или равна двум и сохраняют две значащие цифры в остальных случаях. Как видно, такие рекомендации не совсем точны и носят рекомендательный характер. В любом случае видно, что абсолютная погрешность записывается с точностью до одной или двух значащих цифр.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9516 — 
| 7342 — 
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Погрешность результата измерений позволяет определить те цифры результата, которые являются достоверными. При расчете величины погрешности, особенно с помощью калькуляторов, значение погрешности получается с большим числом знаков. Это создает впечатление о высокой точности измерений, что не соответствует действительности, так как исходными данными для расчета чаще всего являются нормируемые значения погрешности используемого СИ, которые указываются всего с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности не следует удерживать более двух значащих цифр. В метрологии существуют следующие правила:
1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них 3 или меньше, и одной — если первая цифра есть 4 и более.
Значащими цифрами числа считаются все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней справа цифры, при этом нули, записанные в виде множителя 10 n , не учитываются.
2. Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. (Например, результат 85.6342, погрешность 0.01. Результат округляют до 85.63. Тот же результат при погрешности в пределах 0.012 следует округлить до 85.634).
3. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним — двумя лишними знаками.
4. Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, поэтапное округление приводит к ошибкам.
При округлении числовых значений погрешности и результата измерений необходимо руководствоваться следующими общими правилами округления.
Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются. (Например, число 165245 при сохранении четырех значащих цифр округляется до 165200, а число 165.245 — до 165.2).
Если десятичная дробь оканчивается нулями, они отбрасываются только до разряда, который соответствует разряду погрешности. (Например, результат измерений 235.200, погрешность 0.05. Результат округляют до 235.20. Тот же результат при погрешности в пределах 0.015 следует округлить до 235.200).
Если первая (считая слева направо) из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются.
Если первая из этих цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр, или идут нули, то, если последняя цифра в округляемом числе четная или нуль, она остается без изменения, если нечетная — увеличивается на единицу. (Например, число 1234.50 округляют до 1234, а число 8765.50 — до 8766).
Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. (Например, число 6783.6 при сохранении четырех значащих цифр, округляют до 6784, а число 12.34520 — до 12.35).
Особенно внимательно следует относиться к записи результата измерения без указания погрешности, так как записи результата 2.4 10 3 В и 2400В не являются тождественными. Первая запись означает, что верны цифры тысяч и сотен вольт и истинное значение может находиться в интервале от 2.351кВ до 2.449кВ. Запись 2400 означает, что верны и единицы вольт, следовательно истинное значение напряжения может находиться в интервале от 2399.51В до 2400.49В.
Поэтому запись результата без указания погрешности крайне нежелательна.
Окончательно правила записи результата измерений можно сформулировать следующим образом.
1) При промежуточных вычислениях значения погрешности сохраняют три -четыре значащие цифры.
2) Окончательное значение погрешности и значение результата округляются в соответствии с изложенными выше правилами.
3) При однократных технических измерениях когда учитывается только основная погрешность СИ (СИ используются в нормальных условиях эксплуатации), результат записывается в виде:
или
.
(Например, результат измерения напряжения 
В, погрешность 
В. Результат может быть записан в виде:)
4) При однократных технических измерениях в рабочих условиях, когда по нормативным данным на СИ учитывают основную и дополнительные погрешности и результирующую погрешность определяют по формуле (1.35), результат записывают в виде:
5) При статистических измерениях, когда определяется только величина случайной погрешности нормально распределенных данных в виде доверительного интервала, результат записывается в соответствии с (1.31):
Если границы доверительного интервала несимметрична, то они указываются по отдельности.
6) При статистических измерениях, когда оцениваются границы неисключенных систематических погрешностей результата (НСП) и доверительный интервал случайной погрешности нормально распределенных данных, но результат используется как промежуточный для нахождения других величин (например, при статистических косвенных измерениях) или предполагается сопоставление его с другими результатами аналогичного измерительного эксперимента, результат записывается в соответствии с (1.39):
если 
, то это указывается дополнительно, как в п. 5.
Если границы НСП или границы доверительного интервала несимметричны, то они указываются по отдельности:
7) Если при измерении получены оценки погрешности при условиях, оговоренных в п. 6, но результат является окончательным и не предполагается в дальнейшем анализ его и сопоставление с другими результатами, то он записывается в соответствии с (1.41):
где 
определяется по формуле (1.40),
если же 
, это указывается дополнительно, как в п. 5.
8) При статистических измерениях, когда оцениваются границы НСП и доверительный интервал случайной погрешности, но при обработке результатов идентифицирован закон распределения, отличный от нормального, оценки значения результата измерения и доверительный интервал случайной погрешности находятся по соответствующим формулам [5], результат представляется в виде аналогичном представлению результата в п. 6, но дополнительно приводится информация о виде закона распределения опытных данных.
9) Если как в п. 8 обрабатываются результаты статических измерений и заранее известно, что закон распределения опытных данных отличается от нормального, но действий по идентификации вида реального закона по какой-либо причине не предпринимается, то результат может быть представлен в виде, аналогичном представлению результата в п. 6, но доверительный интервал случайной погрешности определяется в соответствии с рекомендациями ГОСТ 11.001-73 как 
при доверительной вероятности 
.
Запись результата может выглядеть, например, так:
(при 
); 
; 
; 
.
Доверительная вероятность, при которой определяется суммарный НСП — 
, в этом случае может отличаться от 
.
 |
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ
Незначащими цифрами числа называются нули в начале десятичных дробей, меньших 1, и нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления. Остальные цифры называются значащими.
Сомнительной цифрой результата измерения называется цифра, стоящая в разряде, соответствующем старшему разряду со значащей цифрой в значении погрешности. Цифры, стоящие слева от сомнительной называются верными, а справа – неверными.
Пример. Числа 586 ± 6; 0,00234 ± 0,00002; 1,00 ± 0,03; 2000 ± 30 содержат по три значащие цифры. При округлении числа 299793 ± 1 до значения 3 × 105 допущена погрешность 207, поэтому в полученном числе сотни являются сомнительной цифрой и, следовательно, последние два нуля – незначащие.
Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях – двумя.
4.1.Округление погрешности действительного значения
Погрешность округляется до одной значащей цифры. Эта цифра является сомнительной т. к. значение погрешности не имеет верных цифр.
Действительное значение округляется до цифры, разряд которой равен разряду значений цифры погрешности. Последняя цифра действительного значения – сомнительная, остальные цифры – верные.
При особо точных измерениях погрешность округляется до двух значащих цифр, если первая из них меньше 4-х и до одной цифры, если первая цифра больше 3-х. Иногда в качестве второй цифры оставляют или 5.
4.2. Запись чисел, считанных со шкалы прибора
В числовом значении измеряемой величины, считанном со шкалы прибора, записываются только верные цифры и сомнительная цифра, разряд которой определяется по значению инструментальной погрешности прибора.
4.3. Округление чисел
Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то оставшиеся цифры не изменяются. Если указанная цифра больше 5, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на 1. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра равна 5, то округление производится следующим образом: последняя цифра в округленном числе остается без изменения, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.
4.4. Округление при вычислениях
При записи результатов промежуточных вычислений сохраняется одна запасная цифра – цифра, стоящая справа от сомнительной. При сложении, вычитании приближенных чисел разряд сомнительной цифры результата совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых. Результат умножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. При возведении в степень (извлечении корня) приближенного числа результат должен иметь столько цифр, сколько их в основании (подкоренном выражении). При логарифмировании в мантиссе сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе. Если один из операндов – точное число, то количество его цифр не влияет на округление результата операции. Если при вычислениях используются табличные данные, то все их цифры верные.
Приведем примеры округления результатов измерения.