Тангенс представлен степенной функцией, поэтому берем производную по правилу $ (x^p)’ = px^ $, а затем умножаем на производную тангенса:
$$ y’ = (tg^2 x)’ = 2tg x cdot (tg x)’ = $$
Производная по переменной x от тангенса x равна единице, деленной на косинус в квадрате от x:
( tg x )′ = .
Вывод формулы производной тангенса
Применяем эти формулы и правила к производной тангенса.
.
Формула производной тангенса доказана.
Производные синуса и косинуса определены для всех значений переменной x . Формула производной дроби (4) справедлива для тех значений переменной x , в которых существуют производные функций и и для которых знаменатель дроби не обращается в нуль:
.
Таким образом, производная тангенса справедлива для всех x , кроме точек, в которых . То есть кроме точек
,
где – целое число.
С другой стороны, сама функция y = tg x определена для всех x , кроме точек
.
Поэтому производная тангенса определена на всей области определения тангенса.
Пример
Найти производные от tg 2 x , tg 3 x и tg nx .
Найдем производную от функции tg nx .
Представим эту функцию как сложную, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Заменим :
.
Подставляя вместо n значения и , получаем производные функций tg 2 x и tg 3 x :
;
.
Производные высших порядков
К сожалению, простой формулы, для производной n-го порядка от функции y = tg x , нет. Однако, если требуется найти производные высшего порядка, то процесс дифференцирования можно упростить и свести его к дифференцированию многочлена.
Для этого заметим, что производную от тангенса можно выразить через сам тангенс (через саму функцию):
.
Тем самым мы нашли дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет тангенс:
(6) .
Найдем производную второго порядка, дифференцируя уравнение (6) и применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Подставим (6):
(7) .
Найдем производную третьего порядка. Для этого дифференцируем уравнение (7) и применяем правило дифференцирования сложной функции. Также используем выражение (6) для первой производной:
.
Аналогичным способом находим производные четвертого и пятого порядков:
;
.
В общем виде, производную n-го порядка, по переменной x от функции тангенс, , можно представить в виде многочлена по степеням тангенса:
.
Коэффициенты связаны рекуррентным соотношением:
,
где
; ;
.
Общая формула
Процесс дифференцирования можно представить одной формулой. Для этого заметим, что
.
Тогда n-я производная тангенса имеет следующий вид:
,
где .
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-03-2017
Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу
и сделать вот такое лицо:
Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.
Что такое сложная функция?
Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:
Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а (x), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции .
Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса :
В результате получим, ясное дело, (cosx). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» — запаковываем, например, в кубическую функцию.
Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».
Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» — «упаковка в упаковке».
В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :
Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс . Получим:
А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус , а потом в котангенс :
(x → sinx → ctg (sinx ))
Напиши теперь сам функции, где икс:
— сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием (3);
— сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
— сначала в логарифм по основанию (4) , затем в степень (-2).
Ответы на это задание посмотри в конце статьи.
А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» (4) раза:
Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше — у них может быть и посложнее☺).
«Распаковка» сложной функции
Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть — какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.
Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в (4)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию (2), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.
То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.
Например, вот такая функция: (y=tg(log_2x )). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:
(x → log_2x → tg(log_2x ))
Еще пример: (y=cos<(x^3 )>). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: (x → x^3 → cos<(x^3 )>). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть (cos<(x·x·x)>)), а там в кубе косинус (x) (то есть, (cosx·cosx·cosx)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».
Последний пример (с важной информацией в нем): (y=sin<(2x+5)>). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: (x → 2x+5 → sin<(2x+5)>). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.
Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных — два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) — тоже простая функция. Например, (x^7) – простая функция и (ctg x) — тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:
(x^7+ ctg x) — простая,
(x^7· ctg x) – простая,
(frac) – простая и т.д.
Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:
Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
(y=cos<(sinx)>)
(y=5^)
(y=arctg<11^x>)
(y=log_2(1+x))
Ответы опять в конце статьи.
Внутренняя и внешняя функции
Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.
И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция — это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.
Вот в этом примере: (y=tg(log_2x )), функция (log_2x) – внутренняя, а — внешняя.
А в этом: (y=cos<(x^3+2x+1)>), (x^3+2x+1) — внутренняя, а — внешняя.
Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось — будем находить производные сложных функций:
Заполни пропуски в таблице:
Производная сложной функции
Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺
Формула эта читается так:
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.
И сразу смотри схему разбора, по словам, чтобы, понимать, что к чему относиться:
Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» — мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?
Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.
Пусть у нас есть функция (y=sin(x^3 )). Понятно, что внутренняя функция здесь (x^3), а внешняя . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.
Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!): ((<sin>)’=cos).
Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет (cos(x^3)). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.
Таким образом, на данный момент имеем:
Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от (x^3).
Все, теперь можем писать ответ:
Вот так. Давай еще один пример разберем.
Пусть надо найти производную функции (y=(sinx )^3).
Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: (x → sinx → (sinx )^3). Значит, в данном примере внутренняя функция это (sinx), а внешняя .
Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» (sinx), то производная внешней будет (3(sinx)^2). То есть, имеем:
Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.
Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺
Пример. Найти производную сложной функции (y=ln(x^2-x)).
Разбираем вложенность функций: (x → x^2-x → ln(x^2-x)).
Внутренняя: (x^2-x). Внешняя: .
Из таблицы производных знаем:.
То есть производная внешней по внутренней будет: (ln(x^2-x)’=) (frac<1>) .
Производная внутренней: ((x^2-x)’= (x^2)’-(x)’=2x-1).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:
Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:
Что, еще примеров желаешь? Легко.
Пример. Найти производную сложной функции (y=sin<(cosx)>).
Вложенность функций: (x → cosx → sin<(cosx)>)
Внутренняя: (cosx) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sin<(cosx )>’=cos<cosx>)
Производная внутренней: ((cosx )’= -sinx)
Имеем: (y’=(sin<(cosx)>)’=cos<cosx>·(-sinx )=-cos <cosx>·sinx)
Замечание: Обрати внимание, что заменить запись (cos<cosx>) на (cos^2x) НЕЛЬЗЯ, так как (cos^2x) — это комбинация простых функций (cos^ 2x=cosx·cosx), а (cos<cosx>) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.
Еще пример с важным замечанием в нем.
Пример. Найти производную сложной функции (y=sqrt )
Вложенность функций: (x → x^6 → sqrt)
Внутренняя: (x^6) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sqrt’=) (frac<1><2sqrt>)
Производная внутренней: ((x^6)’= 6x^5)
Имеем: ((sqrt)’=) (frac<1><2sqrt>) (·6x^5)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: (sqrt[b] =x^<frac>). Тогда (sqrt=x^<frac<6><2>>=x^3). С учетом этого получаем:
Всё. А теперь, собственно, важное замечание:
Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.
Пример. Найти производную сложной функции (y=ln(x^3)).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: (x → x^3 → ln(x^3 )), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: (log_a=c·log_a<b>). И тогда функция получается (y=ln(x^3 )=3lnx). Отлично! Берем производную:
Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!
Пример. Найти производную сложной функции (y=3^<sin(x^4+1)>).
Вложенность функций: (x → x^4+1 → sin(x^4+1) → 3^<sin(x^4+1)>)
Внутренняя: (x^4+1) Средняя: Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет (3^<sin(x^4+1)>·ln3).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, (sin(x^4+1)’=cos(x^4+1)).
И наконец, производная внутренней: ((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:
Готово. Да, это ответ. ☺
Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺
Пример: Найти производную сложной функции (y=tg(7^x)).
Разбираем вложенность функций: (x : → :7^x : → :tg(7^x)).
Внутренняя: (7^x) Внешняя: (tg(7^x)).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет: (frac<1><cos^2(7^x)>) .
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: ((7^x)’=7^x·ln7).
И перемножаем результаты:
Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.
Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺
Пример: Найти производную сложной функции (y=sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>).
Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:
Но давай снова воспользуемся свойством корня (sqrt[b] =x^<frac>) и преобразуем нашу функцию к виду:
Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: (x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^<frac<2><3>>)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: (x^5+2x-5). Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: . Получаем: . Тогда в нашем случае будет: (frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-frac<1><3>>).
Производная внутренней: ((x^5+2x-5)’=5x^4+2).
Общий результат: (y ‘=(sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>)’=((x^5+2x-5)^<frac<2><3>> )’=frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-frac<1><3>>·(5x^4+2)).
В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени (a^<-n>=) (frac<1>) . Получаем:
Ну, и перемножаем дроби.
ВСЁ. А теперь сам.
Найти производные функций:
Ответы ко всем заданиям (вперемежку).
(x → 1+x → log_2 <(1+x)>)
(x → 11^x → arctg(11^x) )
(x → x^7 → 5^)
(x → sinx → cos(sinx))