Содержание
Primary tabs
Forums:
Лучшие учебник по математическому анализу — это однозначно учебник ФИХТЕНГОЛЬЦа в 3-ёх томах «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
Деятельность Григория Михайловича Фихтенгольца в Ленинградском университете продолжалась более сорока лет. Почти все ленинградские математики были в какой-то степени учениками Г.М.Фихтенгольца. Среди тех, кто в разное время слушал его лекции — С.Л.Соболев, Л.В.Канторович, П.Я.Полубаринова-Кочина, В.А.Амбарцумян, С.А.Христианович, Д.К.Фаддеев, И.П.Натансон, Б.А.Венков, С.М.Лозинский, Б.З.Вулих, Н.П.Еругин, М.К.Гавурин, А.Г.Пинскер, Н.А.Лебедев и многие другие видные советские математики. Основанная Г.М.Фихтенгольцем кафедра математического анализа и теперь включает ряд его учеников.
Г.М.Фихтенгольц был основателем ленинградской школы теории функций вещественной переменной. Эта школа ведет свою историю от его магистерской диссертации по теории интеграла, защищенной в 1918 году. Серия работ по метрической теории функций выдвинула его в первые ряды работавших в этой области математиков. Среди его зарубежных корреспондентов в те годы — Фр.Рисс, Дж.Витали, Ш.Валле-Пуссен и др.
В 1934 году совместной статьей Г.М.Фихтенгольца и Л.В.Канторовича начались ленинградские исследования по функциональному анализу. В эти годы Григорий Михайлович опубликовал несколько работ, которые выделялись необычной для того времени постановкой задачи: в них изучались функционалы, непрерывные относительно существенно неметрической сходимости. Последующее развитие функционального анализа подтвердило важность подобных исследований.
Многие годы в университете работал семинар по функциональному анализу, руководимый Г.М.Фихтенгольцем и Л.В.Канторовичем. Этот семинар был центром ленинградских исследований по функциональному анализу; в нем выросло несколько поколений математиков.
Главное
Григорий Михайлович любил педагогический труд во всех его формах и старался большую часть своих сил отдавать воспитанию молодежи. Он был одним из организаторов советского Педагогического института; много работал со школьниками,читал для них лекции, руководил в тридцатых годах составлением школьных программ. Именно Григорий Михайлович был в 1934 году инициатором первой в СССР математической олимпиады. Наибольшую славу Григорию Михайловичу принес курс анализа, который он читал в Университете более 30 лет. В нашей стране и за ее пределами широко известны книги, написанные на основе этого курса. Трехтомный "Курс дифференциального и интегрального исчисления" представляет собой блестяще написанную энциклопедию математического анализа. Однако, как ни хороши эти книги, они не дают полного представления о педагогическом мастерстве автора. Григорий Михайлович был на кафедре подлинным художником. Без преувеличения можно сказать, что каждая его лекция — для студентов, для школьников или учителей — была педагогическим шедевром. Даже классная доска к концу лекции выглядела как произведение искусства.
За легкостью и блеском лекций Г.М.Фихтенгольца скрывался огромный труд. После сорока лет преподавания он продолжал тратить многие часы на подготовку к лекциям, обдумывая каждое слово. Точно так же он относился к экзаменам. Он был непревзойденным экзаменатором, строгим и доброжелательным одновременно. С величайшим напряжением, не пропуская ни одного слова, он выслушивал студента, как бы сбивчиво и бессвязно тот не отвечал. Необыкновенная добросовестность, работоспособность и чувство ответственности дополняли талант Григория Михайловича, были наиболее характерными чертами.
Добрый день 🙂
Я живу на этой планете почти 21 год, заканчиваю бакалавриат физтеха МИФИ и уже долгое время занимаюсь репетиторством.
Продолжаю тему учебников для института. В этом посте рассмотрю более подробно математический анализ. 1 курс.
Первый человек в матанализе, с которым должен познакомиться каждый первокурсник — Борис Павлович Демидович.
Его задачник( https://drive.google.com/file/d/1UXYijBUL9cxwvGn-158HidKf3uc. ) был переведен на множество языков и используется повсеместно.
В нем рассмотрены практический все задачи, которые вообще могут пригодиться учащимся — углубленное дифференцирование и интегрирование (в том числе и от нескольких переменных), подробное рассмотрение пределов и рядов. Одним словом — огромный торт применения матана. Четырьмя словами.
Есть решебник. Насколько я понял, вконтакте есть и русская версия, но ее я никогда не трогал. В китайском подглядывали несколько сумасшедших задач — получалось все правильно.
Вторые два имени — Лев Дмитриевич Кудрявцев ( https://alleng.org/d/math/math98.htm ) и товарищ Фихтенгольц( https://nashol.com/2017052594676/osnovi-matematicheskogo-ana. ). Их многотомники по теории математического анализа я считаю максимально полезными для изучения предмета, они примерно одинаково удобоваримы и понятны. Но лучше и лекции не прогуливать, конечно 🙂
1) Введение в матанализ.
Первое, с чем сталкиваются учащиеся — кванторы и различная новая символика. На этих символах построена вся база определений — кванторы упрощают записи слов. Здесь советы особо не требуются — для понимания предмета кванторы нужно знать, все знаки в задачах и определениях также нужно знать и понимать отличие между эпсилон-окрестностью и проколотой эпсилон-окрестностью. Вопрос простой, а незнание может привести к неприятностям.
Наверняка у многих будут всякие разные коллоквиумы, поэтому с пониманием темы рекомендую не затягивать. Матан — наука, требующая перестройки ума, а на это необходимо время. Разбирайтесь!
2) Пределы.
"Что?! На ноль делить можно?"
Пределы — тема вечная. Что к чему стремится и каким образом это достигается. Сначала студентов долго мурыжат огромными пределами, заставляя упрощать или сводить к Замечательным пределам, затем страдающему дают — О, чудо! — правило Лопиталя. И все, студент неуязвим.
В этом разделе важно уметь видеть Замечательные пределы, которые часто не очевидны, чтобы не наделать ошибок, и очень важно знать и понимать определение предела по Коши — с помощью него дается понимание самого предела. Когда это определение станет понятно, то в голове сразу заиграет "елки-палки, да это же очевидно!".
Вообще Коши — один из моих кумиров. Этот человек сделал столько для науки, сколько сейчас не делает весь мир.
Помимо Демидовича я бы советовал порешать пределы у Бермана( https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&a. ). У него есть и интересные пределы, и интересные вопросы — без знаний уйти не удастся. В то же время у него есть очень простые задачки, чтобы влиться.
И помните — на ноль делить можно только в пределе.
3) Производная и дифференцирование.
После пределов через появляется дифференцирование — одновременное изобретение Ньютона и Лейбница, которое они делили до конца жизни ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Спор_Ньютона_и_Лейбница_о_прио. ).
Производная — это счастье. Например, многие интегралы берутся очень сложно или даже не берутся вообще — производную можно взять всегда, поэтому самое важное — быть очень аккуратным и учить таблицу производных. И решать, решать, решать, брать километровые производные, чтобы в будущем применять и не сомневаться (применять придется много).
Если ничего не путаю, здесь же появится вишенка на торт дифференцирования — формула Тейлора. Эта вещь спасает жизнь, когда, казалось бы, проще умереть, чем решить. Используется довольно часто.
Кстати, применять приближения Тейлора начинают еще с пределов, но там это сведено до сухой сути типа tgx
x.
Остаточный член — не игрушка. Не отбрасывайте!
4) Интегрирование.
Решить задачу с анизотропностью? Найти объем банана? Все возможно, если с вами интеграл!
Интегрирование — вещь темная. Если сходу видно как можно взять интеграл — счастливый случай. В большинстве случаев придется крутить интеграл вокруг да около или искать иные методы, которых очень много.
Что важно — перестроить голову после дифференцирования (на sin и cos особенно путаются) и учить таблицу и методы. Чем больше методов знает учащийся, тем ему проще (но это ни в коем случае не делает его умнее).
Помню, на первом курсе писали контрольную по интегралам. Мне остался один, но я забыл к нему метод. Я крутил-вертел его полчаса на двух листах, но взял! Преподаватель тогда мне слегка занизил балл за это извращение, но это все равно была победа. Желаю всем своих собственных побед 🙂
Здесь же появится великолепная теорема о среднем, которая спасет некоторых от интеграла Пуассона при решении физических задач (но не всех).
В 3 и 4 пункте советую также книгу Фихтенгольца "Дифференциальное и интегральное счисление".
Когда начнется выяснение сходимости, нужно быть таким же аккуратным, как и при вычислении предела. Чем больше признаков сходимости знает учащийся — тем ему проще в той или иной задаче. Но в особо высокие мотивы уходить тоже не надо.
Все эти признаки будут рассказаны. Я хочу обратить внимание на признак Ермакова — он так и не был доказан, хотя вроде бы работает и в некоторых изощренных случаях вполне упрощает жизнь. Страждущему уму рекомендую обратить внимание.
Из постоянно используемых методов рекомендую обратить внимание на признак Абеля — он очень красив, на мой взгляд.
И не забывайте про константу интегрирования! 🙂
Рискну посоветовать обратить внимание на сайты, где за Вас программа возьмет интеграл. Злоупотреблять не надо, но проверять себя можно. А если студент начнет осваивать великий Маткад — ууу.
5) Ряды.
В жизни практически любого ученого нельзя убежать от двух фамилий — Коши и Фурье. И именно ряды Фурье повсеместно встречаются.
При изучении рядов очень пригодится повторение формулы по нахождению суммы бесконечно убывающего ряда.
Ряды — вещь простая и приятная. Обратите внимание, для каждого ряда есть свой признак, не нужно смешивать (я про знакопеременные или знакопостоянные ряды, например).
Плюс к задачнику Бермана смею порекомендовать также задачник Гюнтера — https://www.studmed.ru/gyunter-nm-kuzmin-ro-sbornik-zadach-p.
У него есть и матан, и диффуры, и немножко ангема и даже кусочек физики. Абсолютно адекватный задачник без лишних изысков или чрезмерной простоты.
Далее у кого-то начнется теория поля (градиент, ротор, дивергенция), у кого-то теория групп(гомоморфизм), но это уже совсем другая история 🙂
В матане главное очень много решать, набивать руку, чтобы в дальнейшем выполнять большую часть операций на автомате, не тратя лишних сил. Для этого нужно взять сто интегралов, посчитать сто производных и доказать сходимость ста рядов. 🙂
В конце хочется дать очень простой совет — разбирайтесь. Не отвечайте по принципу "потому что Танька так сказала" или "не знаю, у меня так записано". Каждая операция и каждый символ должен быть на своем месте и с конкретной целью. Иначе обучение пройдет мучительно и абсолютно бестолково.
Алгебра: самый демократичный вариант — Курош, "Линейная алгебра". Ещё можно взять Александрова, "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" — она несложна, но там алгебра даётся через геометрию (к тому же учебник очень толстый) . Очень неплохи книги Ильина (их много, можно выбрать подходящую) . Строго и кратко материал даётся у Кострикина, но с доступностью там заметно хуже. Вообще, по алгебре лучше взять все книги, какие найдутся (из хороших, конечно) , и если в одной какая-то теорема непонятна, то просто смотреть её в другой. По крайней мере, мне в своё время это помогло — не нашлось ни одной книги, полностью достаточной для освоения предмета, у каждой были куски понятные и непонятные.