Содержание
Определение и формулы математического маятника
Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:
где $varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.
Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$
где $alpha $ — начальная фаза колебаний; $<varphi >_0$ — амплитуда колебаний; $<omega >_0$ — циклическая частота.
Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:
Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
Максимальная величина кинетической энергии:
где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<omega >_0x_m$ — максимальная скорость.
Примеры задач с решением
Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:
Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
Ответ. $h=frac<2g>$
Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми. extit<>
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
Выразим из нее ускорение:
Проведем вычисления ускорения силы тяжести:
Ответ. $g=9,87 frac<м><с^2>$
Математическим маятником (осциллятором) называется раскачиваемая механическая система из нерастяжимой нити с пренебрежительно малой массой и подвешенного на ней тела с точечной массой. При описании свойств такого идеального маятника пренебрегают также силами трения и прочими потерями, возникающими при проведении аналогичных опытов в реальных условиях.
Колебания идеального маятника (зависимость угла отклонения от времени) описываются уравнением:
$phi(t) = phi_0 cdot cos(omega_0 cdot t + alpha)$,
- $phi(t)$ – угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент $t$,
- $omega_0$ — циклическая частота,
- $alpha$ — исходный угол отклонения,
- $phi_0$ — амплитуда.
Свойства математического маятника
Эксперименты, проведенные над маятниками со свойствами, близкими к идеальным, показали их следующие свойства:
- период колебаний зависит не от массы подвешенного груза, а только от длины нити;
- при небольших углах отклонения частота колебаний не зависит и от амплитуды (это явление называется изохронизмом).
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Период колебаний идеального маятника можно определить по формуле:
где $l$ – длина нити математического маятника, $g$ – ускорение свободного падения.
Применение маятников на практике
Маятники применяют для создания хронометров. В таких часах период колебаний, отсчитывающих время, регулируют изменением расстояния между точкой крепления подвеса к неподвижной оси и центром тяжести подвешенного груза.
Колебания маятника математически впервые описал в XVII в. Христиан Гюйгенс, который применил свои теоретические разработки для создания точных механических часов.
В геодезии зависимость частоты колебаний маятников от изменения силы гравитации используется при определении географической широты.
Уточнить ускорение свободного падения для данной географической широты, если математический маятник длиной 1 м, совершает колебания с частотой 0,5 Гц (амплитуда колебаний достаточно мала).
Выразим ускорение из уравнения периода колебаний математического маятника:
Частота $omega$ — величина обратная периоду колебаний, значит
Подставив значения, получим
Ответ: ускорение приблизительно равно $9,8696 м/с^2$
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Все формулы по физике и математике
Темы по физике
- Механика (56)
- Кинематика (19)
- Динамика и статика (32)
- Гидростатика (5)
Темы по математике
Период математического маятника — период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается
Для математического маятника выполняются некоторые законы:
1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.
2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом..
Давайте выведем формулу периода математического маятника.
На груз m математического маятника действуют сила тяжести mg и сила упругости нити Fynp. Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для данного случая:
С проецируем все на ось ОХ:
При малых углах 
Сделав замены и маленькие преобразования у нас получается, что уравнение имеет вид:
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:
Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:
Тогда период математического маятника будет равен:
Период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Так же мы установили количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2p
Период пружинного маятника 
Период физического маятника 
Период крутильного маятника 
В Формуле мы использовали :
— Период математического маятника
— Длина подвеса
— Ускорение свободного падения
— Циклическая частота пружинного маятника
— Сила упругости
— Длина дуги АВ
Математическим маятником (осциллятором) называется раскачиваемая механическая система из нерастяжимой нити с пренебрежительно малой массой и подвешенного на ней тела с точечной массой. При описании свойств такого идеального маятника пренебрегают также силами трения и прочими потерями, возникающими при проведении аналогичных опытов в реальных условиях.
Колебания идеального маятника (зависимость угла отклонения от времени) описываются уравнением:
$phi(t) = phi_0 cdot cos(omega_0 cdot t + alpha)$,
- $phi(t)$ – угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент $t$,
- $omega_0$ — циклическая частота,
- $alpha$ — исходный угол отклонения,
- $phi_0$ — амплитуда.
Свойства математического маятника
Эксперименты, проведенные над маятниками со свойствами, близкими к идеальным, показали их следующие свойства:
- период колебаний зависит не от массы подвешенного груза, а только от длины нити;
- при небольших углах отклонения частота колебаний не зависит и от амплитуды (это явление называется изохронизмом).
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Период колебаний идеального маятника можно определить по формуле:
где $l$ – длина нити математического маятника, $g$ – ускорение свободного падения.
Применение маятников на практике
Маятники применяют для создания хронометров. В таких часах период колебаний, отсчитывающих время, регулируют изменением расстояния между точкой крепления подвеса к неподвижной оси и центром тяжести подвешенного груза.
Колебания маятника математически впервые описал в XVII в. Христиан Гюйгенс, который применил свои теоретические разработки для создания точных механических часов.
В геодезии зависимость частоты колебаний маятников от изменения силы гравитации используется при определении географической широты.
Уточнить ускорение свободного падения для данной географической широты, если математический маятник длиной 1 м, совершает колебания с частотой 0,5 Гц (амплитуда колебаний достаточно мала).
Выразим ускорение из уравнения периода колебаний математического маятника:
Частота $omega$ — величина обратная периоду колебаний, значит
Подставив значения, получим
Ответ: ускорение приблизительно равно $9,8696 м/с^2$
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Определение и формулы математического маятника
Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:
где $varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.
Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$
где $alpha $ — начальная фаза колебаний; $ _0$ — амплитуда колебаний; $ _0$ — циклическая частота.
Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:
Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
Максимальная величина кинетической энергии:
где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m= _0x_m$ — максимальная скорость.
Примеры задач с решением
Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:
Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
Ответ. $h=frac $
Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми. extit<>
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
Выразим из нее ускорение:
Проведем вычисления ускорения силы тяжести: