Меню Закрыть

Что называется нулями функции

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции f <displaystyle f> , заданной формулой

f ( x ) = x 2 − 6 x + 9 . <displaystyle f(x)=x^<2>-6x+9,.>

f ( 3 ) = 3 2 − 6 ⋅ 3 + 9 = 0 <displaystyle f(3)=3^<2>-6cdot 3+9=0> .

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного f : R → R <displaystyle f:mathbb o mathbb > нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.

Корень многочлена [ править | править код ]

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, учитывая их кратность. Комплексные корни всегда входят сопряжёнными парами. Каждый многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализ [ править | править код ]

Простой нуль аналитической в некоторой области G ⊂ C <displaystyle Gsubset mathbb > функции f <displaystyle f> — точка z 0 ∈ G <displaystyle z_<0>in G> , в некоторой окрестности которой справедливо представление f ( z ) = ( z − z 0 ) g ( z ) <displaystyle f(z)=(z-z_<0>)g(z)> , где g <displaystyle g> аналитична в z 0 <displaystyle z_<0>> и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка k <displaystyle k> аналитической в некоторой области G ⊂ C <displaystyle Gsubset mathbb > функции f <displaystyle f> — точка z 0 ∈ G <displaystyle z_<0>in G> , в некоторой окрестности которой справедливо представление f ( z ) = ( z − z 0 ) k g ( z ) <displaystyle f(z)=(z-z_<0>)^g(z)> , где g <displaystyle g> аналитична в z 0 <displaystyle z_<0>> и не обращается в этой точке в нуль.

Читайте также:  Blackberry priv stv100 1

Нули аналитической функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

Что такое нули функции? Ответит довольно прост – это математический термин, под которым подразумевают область определения заданной функции, на котором ее значение нулевое. Нули функции также называют корнями уравнения. Проще всего пояснить, что такое нули функции, на нескольких простых примерах.

Примеры

Рассмотрим несложное уравнение у=х+3. Поскольку нуль функции – это значение аргумента, при котором у приобрел нулевое значение, подставим 0 в левую часть уравнения:

В данном случае -3 и есть искомый нуль. Для данной функции существует только один корень уравнения, но так бывает далеко не всегда.

Рассмотрим другой пример:

Подставим 0 в левую часть уравнения, как и в предыдущем примере:

Очевидно, что в данном случае нулей функции будет два: х=3 и х=-3. Если бы в уравнении был аргумент третьей степени, нулей было бы три. Можно сделать простой вывод, что количество корней многочлена соответствует максимальной степени агрумента в уравнении. Однако многие функции, например у=х 3 , на первый взгляд противоречат этому утверждению. Логика и здравый смысл подсказывают, что у этой функции только один нуль – в точке х=0. Но на самом деле корней три, просто все они совпадают. Если решать уравнение в комплексной форме, это становится очевидным. х=0 в данном случае, корень, кратность которого 3. В предыдущем примере нули не совпадали, потому имели кратность 1.

Алгоритм определения

Из представленных примеров видно, как определить нули функции. Алгоритм всегда один и тот же:

  1. Записать функцию.
  2. Подставить у или f(x)=0.
  3. Решить получившееся уравнение.

Сложность последнего пункта зависит от степени аргумента уравнения. При решении уравнений высоких степеней особенно важно помнить, что количество корней уравнения равно максимальной степени аргумента. Особенно это актуально для тригонометрических уравнений, где деление обоих частей на синус или косинус приводит к потере корней.

Читайте также:  Packard bell new 90

Уравнения произвольной степени проще всего решать методом Горнера, который был разработан специально для нахождения нулей произвольного многочлена.

Значение нулей функций может быть как отрицательным, так и положительным, действительным или лежащим в комплексной плоскости, единичным или множественным. Или же корней уравнения может и не быть. Например, функция у=8 не приобретет нулевого значения ни при каком х, потому что она не зависит от этой переменной.

Уравнение у=х 2 -16 имеет два корня, и оба лежат в комплексной плоскости: х1=4і, х2=-4і.

Типичные ошибки

Частая ошибка, которую допускают школьники, еще не разобравшиеся толком в том, что такое нули функции, – это замена на ноль аргумента (х), а не значения (у) функции. Они уверенно подставляют в уравнение х=0 и, исходя из этого, находят у. Но это неправильный подход.

Другая ошибка, как уже упоминалось, сокращение на синус или косинус в тригонометрическом уравнении, из-за чего и теряется один или несколько нулей функции. Это не означает, что в таких уравнениях нельзя ничего сокращать, просто при дальнейших подсчетах необходимо учитывать эти "потерянные" сомножители.

Графическое представление

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.

Необходимое и достаточное условия нуля порядка n

Читайте также:  Можно ли удалить одну фотографию из серии

Порядок нуля произведения анал. функций Пусть функция f (z) является аналитической в точке z0. Точка z0 называется нулем функции f (z), если ее значение в этой точке равно нулю, т. е. f (z0) = 0. В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции (т. z0) отсутствует свободный член: С0 = f(z0) = 0. Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-z0) до n-ой степени, т. е. разложение имеет вид: или то точка z0 называется нулем порядка n функции f(z). Нуль первого порядка (n = 1) называется простым нулем. Следующие условия являются необходимым и достаточным условиями нуля порядка n функции f (z) в точке z0: a). b). представление функции в виде произведения: Порядок нуля в точке z0 функции, полученной в результате перемножения аналитических функций f (z) = f1(z) f2(z) равен сумме порядков нуля (n1 + n2) в этой точке функций сомножителей ( n1 – порядок нуля в точке z0 функции f1(z), n2 – порядок нуля в точке z0 функции f2(z) ). ПРИМЕР 1. Определить порядок нуля в точке для функции f(z). ПРИМЕР 2. Найти нули функции f(z) и определить их порядок. ПРИМЕР 3. Найти нули функции f(z) и определить их порядок. ПРИМЕР 4. Определить порядок нуля в точке для функции f(z).

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code

Adblock detector