Закономерности при возведении в степень

Алгоритмы быстрого возведения в степень (дихотомический алгоритм возведения в степень, бинарный алгоритм возведения в степень) — алгоритмы, предназначенные для возведения числа x <displaystyle x> в натуральную степень n <displaystyle n> за меньшее число умножений, чем это требуется в определении степени [1] . Алгоритмы основаны на том, что для возведения числа x <displaystyle x> в степень n <displaystyle n> не обязательно перемножать число x <displaystyle x> на само себя n <displaystyle n> раз, а можно перемножать уже вычисленные степени. В частности, если n = 2 k <displaystyle n=2^> степень двойки, то для возведения в степень n <displaystyle n> достаточно число возвести в квадрат k <displaystyle k> раз, затратив при этом k <displaystyle k> умножений вместо 2 k <displaystyle 2^> . Например, чтобы возвести число x <displaystyle x> в восьмую степень, вместо выполнения семи умножений x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x <displaystyle xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot x> можно возвести число в квадрат ( x 2 = x ⋅ x <displaystyle x^<2>=xcdot x> ), потом результат возвести ещё раз в квадрат и получить четвёртую степень ( x 4 = x 2 ⋅ x 2 <displaystyle x^<4>=x^<2>cdot x^<2>> ), и наконец результат ещё раз возвести в квадрат и получить ответ ( x 8 = x 4 ⋅ x 4 <displaystyle x^<8>=x^<4>cdot x^<4>> ).

Кроме того, некоторые алгоритмы для дальнейшей оптимизации используют тот факт, что операция возведения в квадрат быстрее операции умножения за счёт того, что при возведении в квадрат цифры в сомножителе повторяются [2] .

Бинарный алгоритм возведения в степень был впервые предложен в XV веке персидским математиком Аль-Каши [3] .

Данные алгоритмы не всегда оптимальны. Например, при использовании схемы «слева направо» быстрое возведение в степень n = 15 потребует выполнения трёх операций умножения и трёх операций возведения в квадрат, хотя возведение в 15-ю степень можно выполнить и за 3 умножения и 2 возведения в квадрат [4] .

Содержание

Описание [ править | править код ]

Основным алгоритмом быстрого возведения в степень является схема «слева направо». Она получила своё название вследствие того, что биты показателя степени просматриваются слева направо, то есть от старшего к младшему [5] .

n = ( m k m k − 1 . . . m 1 m 0 ¯ ) 2 <displaystyle n=(<overline m_. m_<1>m_<0>>>)_<2>> — двоичное представление степени n, то есть, n = m k ⋅ 2 k + m k − 1 ⋅ 2 k − 1 + ⋯ + m 1 ⋅ 2 + m 0 , <displaystyle n=m_cdot 2^+m_cdot 2^+dots +m_<1>cdot 2+m_<0>,>

где m k = 1 , m i ∈ < 0 , 1 ><displaystyle m_=1,m_in <0,1>> . Тогда

x n = x ( ( … ( ( m k ⋅ 2 + m k − 1 ) ⋅ 2 + m k − 2 ) ⋅ 2 + … ) ⋅ 2 + m 1 ) ⋅ 2 + m 0 = ( ( … ( ( ( x m k ) 2 ⋅ x m k − 1 ) 2 … ) 2 ⋅ x m 1 ) 2 ⋅ x m 0 <displaystyle x^=x^<((dots ((m_cdot 2+m_)cdot 2+m_)cdot 2+dots )cdot 2+m_<1>)cdot 2+m_<0>>=((dots (((x^>)^<2>cdot x^>)^<2>dots )^<2>cdot x^<1>>)^<2>cdot x^<0>>> [5] .

Последовательность действий при использовании данной схемы можно описать так:

1. Представить показатель степени n в двоичном виде
2. Если m i <displaystyle m_>= 1, то текущий результат возводится в квадрат и затем умножается на x. Если m i <displaystyle m_>= 0, то текущий результат просто возводится в квадрат [6] . Индекс i изменяется от k-1 до 0 [7] .

Таким образом, алгоритм быстрого возведения в степень сводится к мультипликативному аналогу схемы Горнера [6] :

Обобщения [ править | править код ]

Пусть пара (S, *) — полугруппа, тогда мы можем назвать операцию * умножением и определить операцию возведения в натуральную степень:

1end>
ight.>"> a n = < a n = 1 a ∗ ( a n − 1 ) n >1 <displaystyle a^=left<<egina&n=1\a*left(a^
ight)&n>1end>
ight.> 1end>
ight."/>

Тогда для вычисления значений a n в любой полугруппе (в абелевой группе в частности) можно использовать алгоритмы быстрого возведения в степень [8] .

Примеры решения задач [ править | править код ]

Применяя алгоритм, вычислим 21 13 :

13 10 = 1101 2 <displaystyle 13_<10>=1101_<2>> m 3 = 1 , m 2 = 1 , m 1 = 0 , m 0 = 1 <displaystyle m_<3>=1,m_<2>=1,m_<1>=0,m_<0>=1> 21 13 = ( ( ( 1 ⋅ 21 m 3 ) 2 ⋅ 21 m 2 ) 2 ⋅ 21 m 1 ) 2 ⋅ 21 m 0 = ( ( ( 1 ⋅ 21 1 ) 2 ⋅ 21 1 ) 2 ⋅ 21 0 ) 2 ⋅ 21 1 = ( ( ( 1 ⋅ 21 ) 2 ⋅ 21 ) 2 ⋅ 1 ) 2 ⋅ 21 = ( ( 21 2 ⋅ 21 ) 2 ) 2 ⋅ 21 = ( ( 441 ⋅ 21 ) 2 ) 2 ⋅ 21 = 85766121 2 ⋅ 21 = 154472377739119461 <displaystyle <egin21^<13>&=(((1cdot 21^<3>>)^<2>cdot 21^<2>>)^<2>cdot 21^<1>>)^<2>cdot 21^<0>>\&=(((1cdot 21^<1>)^<2>cdot 21^<1>)^<2>cdot 21^<0>)^<2>cdot 21^<1>\&=(((1cdot 21)^<2>cdot 21)^<2>cdot 1)^<2>cdot 21\&=((21^<2>cdot 21)^<2>)^<2>cdot 21\&=((441cdot 21)^<2>)^<2>cdot 21\&=85766121^<2>cdot 21\&=154472377739119461end>>

Схема «справа налево» [ править | править код ]

В данной схеме, в отличие от схемы «слева направо», биты показателя степени просматриваются от младшего к старшему [5] .

Последовательность действий при реализации данного алгоритма.

1. Представить показатель степени n в двоичном виде.
2. Положить вспомогательную переменную z равной числу x.

1. Если m i = 1 <displaystyle m_=1>, то текущий результат умножается на z, а само число z возводится в квадрат. Если m i <displaystyle m_>= 0, то требуется только возвести z в квадрат [6] . При этом индекс i, в отличие от схемы слева направо, изменяется от 0 до k-1 включительно [7] .

Данная схема содержит столько же умножений и возведений в квадрат, сколько и схема «слева направо». Однако несмотря на это, схема «слева направо» выгоднее схемы «справа налево», особенно в случае, если показатель степени содержит много единиц. Дело в том, что в схеме слева направо в операции result = result · x содержится постоянный множитель x. А для небольших x (что нередко бывает в тестах простоты) умножение будет быстрым. К примеру, для x = 2 мы можем операцию умножения заменить операцией сложения [7] .

Математическое обоснование работы данного алгоритма можно представить следующей формулой:

d = a n = <displaystyle d=a^=> = a ∑ i = 0 k m i ⋅ 2 i = <displaystyle =a^<sum _^m_cdot 2^>=> = a m 0 ⋅ a 2 m 1 ⋅ a 2 2 ∗ m 2 ⋅ . . . ⋅ a 2 k ∗ m k = <displaystyle =a^<0>>cdot a^<2m_<1>>cdot a^<2^<2>*m_<2>>cdot . cdot a^<2^*m_>=> = a m 0 ⋅ ( a 2 ) m 1 ⋅ ( a 2 2 ) m 2 ⋅ . . . ⋅ ( a 2 k ) m k = <displaystyle =a^<0>>cdot (a^<2>)^<1>>cdot (a^<2^<2>>)^<2>>cdot . cdot (a^<2^>)^>=> = ∏ i = 0 k ( a 2 i ) m i <displaystyle =prod _^<(a^<2^>)^>>> [9] .

Пример. Посчитаем с помощью схемы возведения в степень «справа налево» значение 21 13 .

i		1	2	3
a 2 i <displaystyle a^<2^>>	21	441	194 481	37 822 859 361
m 1 <displaystyle m_<1>>	1		1	1

1. 21 · 194 481 = 4084 101
2. 4084 101 · 37 822 859 361 = 154 472 377 739 119 461

Вычислительная сложность [ править | править код ]

И для схемы «слева направо», и для схемы «справа налево» количество операций возведения в квадрат одинаково и равно k, где k — длина показателя степени n в битах, k ∼ ln ⁡ n <displaystyle ksim ln > . Количество же требуемых операций умножения равно весу Хэмминга, то есть количеству ненулевых элементов в двоичной записи числа n. В среднем требуется 1 2 ⋅ ln ⁡ n <displaystyle <frac <1><2>>cdot ln > операций умножения [6] .

Например, для возведения числа в сотую степень этим алгоритмом потребуется всего лишь 8 операций умножения и возведения в квадрат [5] .

Для сравнения, при стандартном способе возведения в степень требуется n − 1 <displaystyle n-1> операция умножения, то есть количество операций может быть оценено как O ( n ) <displaystyle O(n)> [10] .

Оптимизация алгоритма [ править | править код ]

Как правило, операция возведения в квадрат выполняется быстрее операции умножения. Метод окон позволяет сократить количество операций умножения и, следовательно, сделать алгоритм возведения в степень более оптимальным [8] .

Окно фактически представляет собой основание системы счисления [7] . Пусть w — ширина окна, то есть за один раз учитывается w знаков показателя.

Рассмотрим метод окна.

1. Для i = 0 , 2 w − 1 ¯ <displaystyle i=<overline <0,2^-1>>>заранее вычисляется x i
2. Показатель степени представляется в следующем виде: n = ∑ i = 0 k / w n i ⋅ 2 i ⋅ w <displaystyle n=sum _^cdot 2^>>, где n i ∈ ( 0 , 1 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle n_in <(0,1. 2^-1)>>
3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим y = x n k / w <displaystyle y=x^>>.
4. Для всех i = k/w — 1, k/w — 2, …, 0 выполнить следующие действия:

1. y = y 2 w <displaystyle y=y^<2^>>
2. y = y ⋅ x n i <displaystyle y=ycdot x^>>[8] .

В данном алгоритме требуется k возведений в квадрат, но число умножений в среднем сокращается до k/w [8] .

Ещё более эффективным является метод скользящего окна. Он заключается в том, что ширина окна во время выполнения процесса может изменяться:

1. Показатель степени представляется в виде n = ∑ i = 0 l n i ⋅ 2 e i <displaystyle n=sum _^cdot 2^>>>, где n i ∈ ( 1 , 3 , 5 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle n_in <(1,3,5. 2^-1)>>, а e_i+1 — e_i ≥ w.
2. Для i = ( 1 , 3 , 5 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle i=(1,3,5. 2^-1)>вычисляется x i . Далее будем обозначать x i как x_i.
3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим y = x n l <displaystyle y=x^>>.
4. Для всех i = l — 1, l — 2, …, 0 выполнить следующие действия:

1. Для всех j от 0 до e_i+1 — e_i — 1 y возвести в квадрат
2. j = m i <displaystyle j=m_>
3. y = y ⋅ x j <displaystyle y=ycdot x_>

Для всех j от 0 до e — 1 y возвести в квадрат [8] .

Количество операций возведения в степень в данном алгоритме такое же, как и в методе окна, а вот количество операций умножений сократилось до l, то есть до k w + 1 <displaystyle <frac >> в среднем [8] .

Для примера возведём методом скользящего окна число x в степень 215. Ширина окна w = 3.

1. 215 = 2 7 + 5 · 2 4 + 7
2. y = 1
3. y = y · x = x
4. y 3 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e₂ — e₁ −1 = 7 — 4 — 1 = 2, а отсчёт ведётся с нуля, то есть y = y 8 = x 8
5. y = y · x 5 = x 13
6. y 4 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e₁ — e −1 = 4 — 0 — 1 = 3, то есть y = y 16 = x 208
7. y = y · x 7 = x 215

Применение [ править | править код ]

Алгоритм быстрого возведения в степень получил широкое распространение в криптосистемах с открытым ключом. В частности, алгоритм применяется в протоколе RSA, схеме Эль-Гамаля и других криптографических алгоритмах [11] .

Однажды, листая страницы сборника олимпиадных задач по математике, я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример. Надо было найти последнюю цифру суммы 1981 1989 + 1982 1989 + 1983 1989 + 1984 1989 +1985 1989 +…+ 1989 1989 . Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления. Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Скачать:

Вложение	Размер
munitsipalnoe_byudzhetnoe_obrazovatelnoe_uchrezhdenie.docx	120.25 КБ
poslednie_tsifry_stepeney.ppt	282 КБ

Предварительный просмотр:

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №14»

Последние цифры степеней

Ученица 7 «А» МБОУ СШ №14

Половникова Елизавета, Руководитель:

Власова Татьяна Борисовна-

учитель математики первой категории

. Адрес: 607233 Нижегородская обл.,

г. Арзамас, 11мик-н, д.11

тел. рабочий: 8 (83147)2-65-49

Цели и задачи исследования ……………..…………………………………. 1

Глава 1. Обзор литературы

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа…………………………..…………………………………………………2

1.4.Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4………………………………………………………………….3

Глава 2. Практическая часть …………..……………………………………4

Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», с четырьмя математическими операциями мы знакомы ещё с начальной школы, в 5 классе познакомились с пятым действием: возведение в степень. Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени.

Однажды, листая страницы сборника олимпиадных задач по матеамтике, я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример. Надо было найти последнюю цифру суммы 1981 1989 + 1982 1989 + 1983 1989 + 1984 1989 +1985 1989 +…+ 1989 1989 . Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления. Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели и задачи исследования.

Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.

• изучить литературу по данной теме;
• построить таблицу последних цифр различных степеней;
• выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа ;
• применить данные закономерности при решении задач.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический.

Глава 1. Обзор литературы.

Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых обычно записывают короче и называют произведением: а + а + а + а = 4а.

Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью: а ⋅ а ⋅ а ⋅ а= а 4 .

Читают: « а в степени 4» (или просто « а в четвертой»). При этом число а, называют основанием степени, а число 4 – показателем степени.

Степенью числа а с натуральным показателем n ( n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а :

1.2.Последняя цифра степени

Проведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .

В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, используя калькулятор, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2, т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

Я решила заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во — второй строке — цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Я заполнила пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

Итак, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения таблицы я вывела следующие закономерности изменения последней цифры степени натурального числа :

• Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
• В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
• В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные — цифрой 6.

Тогда возник вопрос, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

1.4. Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 нацело.

Вывод: если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 с остатком, равным 1.

Вывод: если остаток равен 1, то последняя цифра будет равна последней цифре основания степени.

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 2.

Вывод: : если остаток равен 2, то последняя цифра будет равна квадрату последней цифре в записи основания степени.

Найдем последнюю цифру степеней

Вывод: если остаток равен 3, то последняя цифра будет равна кубу последней цифре в записи основания степени.

Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:

Найти остаток от деления показателя степени на 4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

Глава 2. Практическая часть.

1. Найти последнюю цифру числа .

2001:4=500 (остаток 1)

Следовательно, последняя цифра равна последней цифре основания степени, т.е. 2.

187:4=46 (остаток 3)

Следовательно, последняя цифра равна кубу последней цифре в записи основания степени, т.е. 2³=8.

114:4=28 (остаток 2)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи основания степени, т.е. 3²=9.

2. Какой цифрой оканчивается число ?

Следовательно, последняя цифра числа — 1.

Следовательно, последняя цифра числа — 6.

Следовательно, последняя цифра числа — 3.

Получаем, 1+6+3=10. Итак, последняя цифра числа 0.

3. Найти последнюю цифру числа .

365:4=91 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра числа — 2.

241:4=60 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра числа — 3.

Получаем, 2+3=5. Итак, последняя цифра числа 5.

4. Какова последняя цифра числа .

358:4=89 (остаток 2).

Следовательно, последняя цифра числа — 9.

275:4=68 (остаток 3).

Следовательно, последняя цифра числа — 7.

Получаем, 9+7=16. Итак, последняя цифра числа 6.

5. Доказать, что число не делится нацело на 15.

Решение: Т.к. 15=5·3, то данное число должно делиться на 5 и на 3. Выясним, делится ли оно на 5. Для этого, число должно оканчиваться цифрой 5 или 0.

2016:4=504 (остаток 0).

Тогда, оканчивается цифрой 1, оканчивается цифрой 6, оканчивается цифрой 5. Получаем 1+6+5=12. Следовательно, число оканчивается цифрой 2, а значит, оно не делится на 15.

6. Найдите последнюю цифру суммы 1981 1989 + 1982 1989 + 1983 1989 + 1984 1989 +1985 1989 +…+ 1989 1989 .

1989:4=499 (остаток 3).

Тогда оканчивается цифрой 1, — 8, — 7, — 4,

Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, 1981 1989 + 1982 1989 + 1983 1989 + 1984 1989 +1985 1989 +…+ 1989 1989 оканчивается цифрой 5.

В ходе исследования я выявила закономерности изменения последней цифры степени натурального числа, а также применила данные закономерности при решении задач. При применении данных закономерностей возникают расширенные возможности для решения алгебраических задач. Данная работа будет полезна как для проведения факультативных занятий по математики для более глубокого изучения алгебры, а также для подготовки к олимпиадам по математике.

Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

1. Н.Х. Агаханов, Л.П.Купцов и др. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение, 1997
2. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ — М.: Просвещение, 2013
3. Р.И.Довбыш, Л.Л.Потемкина Математические олимпиады: 906 самых интересных задач – Ростов н/Д: Феникс: издательский центр «Кредо», 2006
4. http//portfolio.1september.ru
5. http://mat.1september.ru/view_article.php >

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Последние цифры степеней Выполнила: Ученица 7 «А» МБОУ СШ №14 г.Арзамаса, Половникова Елизавета Руководитель: Власова Татьяна Борисовна

Последние цифры степеней Найти последнюю цифру суммы Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Последние цифры степеней Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа. Задачи: изучить литературу по данной теме; построить таблицу последних цифр различных степеней; выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа; применить данные закономерности при решении задач. Метод исследования: аналитический, системно-поисковый, практический.

Последние цифры степеней n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n ² 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 n ³ 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0 n 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0

Последние цифры степеней Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой; Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой; В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6; В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число; В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6; В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные — цифрой 6.

Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4 если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6. если остаток равен 1, то последняя цифра будет равна последней цифре основания степени если остаток равен 2, то последняя цифра будет равна квадрату последней цифре в записи основания степени если остаток равен 3, то последняя цифра будет равна кубу последней цифре в записи основания степени.

Какой цифрой оканчивается число ? 11:4=2 (остаток 3). Следовательно, последняя цифра первого слагаемого — 1. 12:4=3 (остаток 0). Следовательно, последняя цифра второго слагаемого — 6. 13:4=3 (остаток 1). Следовательно, последняя цифра третьего слагаемого — 3. Получаем, 1+6+3=10. Итак, последняя цифра числа – 0.

Доказать, что число не делится нацело на 15. 2016:4=504 (остаток 0). Тогда, первое слагаемое оканчивается цифрой 1, второе слагаемое оканчивается цифрой 6, третье слагаемое оканчивается цифрой 5. Получаем 1+6+5=12. Следовательно, число оканчивается цифрой 2.

Найдите последнюю цифру суммы 1989:4=499 (остаток 3). Тогда слагаемые оканчиваются цифрами 1,8,7,4,5,6,3,2,9. Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, сумма оканчивается оканчивается цифрой 5

Последние цифры степеней Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Зачем нужны степени?

Где они тебе пригодятся?

Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Чтобы узнать ВСЕ О СТЕПЕНЯХ, читай эту статью.

И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ЕГЭ.

И к поступлению в ВУЗ твоей мечты!

Let’s go. (Поехали!)

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем .

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше. Круто, да?

Вот таблица умножения. Повторяй.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

И другой, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно –возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени – это . И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Пример из жизни №1

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток ( штук) и по другой тоже плиток. Умножив на , ты получишь плиток ( ).

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет ( ). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет . Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат – это изображение второй степени числа.

Пример из жизни №2

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа. По одной стороне клеток и по другой тоже . Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной , то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. ( ) Так?

Пример из жизни №3

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно . Записывается это так: .

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

Пример из жизни №4

У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени – миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

Пример из жизни №5

У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год — умножить на , потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или .

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Термины и понятия. чтобы не запутаться

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:

Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

Степень числа с натуральным показателем

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число . Ноль понять легко – это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.

Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число .

Резюме:

Натуральными называются числа, используемые при счете, то есть и т.д. Целыми – все натуральные числа, натуральные с минусом и число 0. Рациональными считаются дробные числа. Иррациональные числа – это бесконечная десятичная дробь

Степень с натуральным показателем

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. Любое число в первой степени равно самому себе:
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:

Определение. Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
.

Свойства степеней

Произведение степеней	1) 2)
Деление степеней	3) 4)
Возведение степени в степень	5)

Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.

1.

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Но по определению это степень числа с показателем , то есть: , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение .

Решение:

Пример: Упростите выражение .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!
Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что .

2. то и есть -ая степень числа

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -ая степень числа :

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать ?

Но это неверно, ведь .

Степень с отрицательным основанием

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.

Но каким должно быть основание?

В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом. И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже .

Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число ? А ? ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть , , или . Но если мы умножим на , получится .

И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное. Положительное число в любой степени – число положительное. Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание – степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.

Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно ? Очевидно нет, так как (потому что ).

Пример 6) уже не так прост!

Тут нужно узнать, что меньше: или ? Если вспомнить, что , становится ясно, что , а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило II: результат будет отрицательным.