Задачи на нахождение объема шара

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь большого круга равна πR 2 , а площадь поверхности шара равна 4πR 2 , где R — радиус шара. Следовательно, искомая площадь равна 12.

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой , поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в 2 2 = 4 раза.

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Объем шара радиуса равен

При увеличении радиуса втрое, объем шара увеличится в 27 раз.

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Объём шара вычисляется по формуле Поэтому cумма объёмов трёх шаров равна

Следовательно, искомый радиус равен 12.

Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Найдем отношение объемов шаров:

,

откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

«Решение задач на нахождение

Тип урока : урок совершенствования знаний, умений и навыков

Форма урока : урок-практикум.

Цель урока : выработать умение применять формулы для вычисления объёма шара при решении задач.

дидактические: повторить формулу для вычисления объема шара; учиться применять формулу для вычисления объема шара при решении задач; рассмотреть задачи на вычисление объема шара в повседневной жизни; контроль уровня усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.

развивающие: развивать познавательный интерес у обучающихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь; развивать умения применять знания в конкретной ситуации; развитие самостоятельной деятельности обучающихся.

воспитательные: воспитывать у обучающихся потребность в приобретении и углублении знаний, вырабатывать умение слушать и вести диалог, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради.

Оборудование: документ камера; мультимедийный проектор, экран, листы на каждого ученика с подбором заданий по теме урока, заданий для самостоятельной работы, домашней работы, дополнительная задача.

Девиз урока: Дорогу осилит идущий, а

Вступительное слово учителя: Хорошими мыслителями всегда считались древние греки. Они занимались изучением различных предметов. В области геометрии особое внимание уделяли изучению предметов разной формы и всегда хотели найти предметы идеальной формы. Они заметили, что в природе многие плоды и ягоды одинаковой формы. Например, апельсин, арбуз, смородина и другие. Также такую же форму или близкую к ней имеют и планеты солнечной системы. Именно эту форму греки стали называть идеальной.

— Как вы думаете, о какой форме идет речь?

— Вы правы, шар и сферу греки считали идеальными формами.

Какие еще предметы в форме шара и сферы можно встретить в окружающем нас мире? (ответы учащихся)

— Действительно, многие спортивные снаряды в форме шара. А вспомните новогодний елочный шарик – на самом деле это сфера, так как сделан из тонкого стекла и внутри пустой. А еще многие резервуары для хранения нефти и газа тоже сферической формы, т.к. у резервуаров такой формы наименьшая поверхность и таким образом происходит экономия материала, которого изготавливаются резервуары.

А в технике, где можно встретиться с шаром и сферой? (шарикоподшипники, которые ставят на осях велосипедах, мотоциклах, автомашин и во всех местах где происходит вращение) Молодцы!

— Задачи, которые мы сегодня будем разбирать, может быть, кому-то покажутся легкими, но без знания соответствующего теоретического материала справиться с ними практически нельзя.

II. Устная работа.

Упр.1 Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить: а) в 3 раза;

Ответ: а) В 27 раз; б) в 64 раза.

Упр.2 . Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиуса 6 см?

Упр.3. Радиусы трех шаров 3 см, 4 см и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ:6см³

III. Решение тренировочных упражнений.

Итак, всю необходимую теорию мы повторили, приступаем к решению задач.

На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объёма шара и площади сферы, а также важного вывода, что объём шара, вписанного в цилиндр, в… раз меньше объёма цилиндра и что также относятся поверхности этих тел» Найдите это отношение.

Вопрос к классу: Чему равно отношение объёма шара к объёму цилиндра, если их радиусы равны? Делают вывод.

Проблемная задача. При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

Мише купили футбольный мяч в спущенном состоянии. Найдите объем этого мяча, если сказано, что в накаченном состоянии этот мяч имеет диаметр 30см.

Диаметр Луны приблизительно составляет четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли.

Два стальных шара имеют в диаметре: один – 10см, а другой – 5см. Во сколько раз первый шар тяжелее второго?

Дети слепили снеговика, традиционно состоящего из трех снежных шаров, причем на самую нижнюю часть радиусом 46см ушло 128 кг снега, диаметр каждого последующего шара в одно и то же число раз меньше предыдущего, на голову снеговика ушло всего 2 кг снега. Какой высоты получился снеговик? Найдите объем этого снеговика.

Стаканчик для мороженного конической формы имеет 12см глубину и 5см по диаметру верхней части. На него сверху положили две ложки мороженного в виде шариков диаметра 5см. Переполнит ли мороженное стаканчик если позволить ему растаять.

(lacktriangleright) Сфера – это множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки (O) (называемой центром сферы).

(lacktriangleright) Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.

Основные формулы (где (R) – радиус сферы или шара):

Объем шара равен (displaystyle frac<36><sqrtpi>) . Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на (displaystyle frac<6><sqrtpi>) ?

(displaystyle V_< ext<шара>> = frac<4><3>pi R^3 = frac<36><sqrtpi>) (Rightarrow) (displaystyle R = frac<3><sqrtpi>) . Радиус нового шара равен: (displaystyle R_< ext<нов.>> = R + frac<6> <sqrtpi>= frac<9><sqrtpi>) . Тогда найдем площадь поверхности: (displaystyle > = 4pi R_< ext<нов.>>^2 = 4pi left(frac<9><sqrtpi>
ight)^2 = 4pifrac<81> <pi>= 324>.)

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Необходимо объем шара разделить на объем соответствующего сегмента, высота которого равна (H = frac<1><2>R)

Имеются две сферы (S_1) и (S_2) , про которые известно, что радиус первой сферы в (2) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера (S_2) целиком находится внутри сферы (S_1) . Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен (V_2) , а объём тела, заключённого между сферами, равен (V) . Найдите (V : V_2) .

Пусть (V_1) – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус (S_1) в два раза больше, чем радиус (S_2) , то (V_1 : V_2 = 8) .

[V = V_1 — V_2 = 8V_2 — V_2 = 7V_2,,] следовательно, (V : V_2 = 7) .

Площадь поверхности шара равна (frac<37><pi>) . На расстоянии (frac1<2pi>) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2) , то

[4pi R^2=dfrac<37> <pi>quad Rightarrow quad R^2=dfrac<37><4pi^2>]

По условию задачи (OQ=frac1<2pi>) . Рассмотрим ( riangle OQT) : он прямоугольный ( (angle OQT=90^circ) ), гипотенуза (OT=R) , катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac<37><4pi^2>-dfrac1<4pi^2>=dfrac<9> <pi^2>quad Rightarrow quad r=dfrac3<pi>]

Таким образом, длина окружности сечения равна [C=2pi r=2picdotfrac3<pi>=6.]

Площадь поверхности шара равна (64) . На расстоянии (frac3<2sqrt<pi>>) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2) , то

[4pi R^2=64 quad Rightarrow quad R^2=dfrac<64><4pi>]

По условию задачи (OQ=frac3<2sqrt<pi>>) . Рассмотрим ( riangle OQT) : он прямоугольный ( (angle OQT=90^circ) ), гипотенуза (OT=R) , катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac<64><4pi>-dfrac9<4pi>=dfrac<55><4pi>]

Таким образом, площадь сечения равна

Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки (BC) и (AD) – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, (BCparallel AD) , [S_ = dfrac<210><sqrt[3]<pi^2>>,qquadqquad dfrac = dfrac<1><sqrt<15>>,] где (R) и (r) – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, (angle ADC = 45^circ) . Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.

Рассмотрим (ABCD) : т.к. (BCparallel AD) , то (ABCD) – трапеция. Так как (AB) и (CD) – образующие усечённого конуса, то (AB = CD) и трапеция (ABCD) – равнобедренная.

Построим (CHperp AD) . Так как (angle ADC = 45^circ) , то ( riangle CHD) – равнобедренный и (CH = HD) .
[HD = dfrac <2>= R — r,qquadqquad S_ = dfrac<2>cdot CH = (R + r)(R — r) = R^2 — r^2 = dfrac<210><sqrt[3]<pi^2>>,] но (r = dfrac<sqrt<15>>) , тогда [R^2left(1-dfrac<1><15>
ight) = dfrac<210><sqrt[3]<pi^2>>qquadRightarrowqquad R = dfrac<15><sqrt[3]<pi>>qquadRightarrowqquad V_< ext<шара>> = dfrac<4><3>pi R^3 = dfrac<4><3>cdotpicdotdfrac<15^3> <pi>= 4500.]

Дан шар, диаметр которого равен (9) . Плоскость (alpha) пересекает диаметр (SZ) шара под углом (90^circ) и делит его точкой пересечения в отношении (1:2) , считая от вершины (S) . Найдите объем пирамиды с вершиной в точке (S) , в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью (alpha) .

Пусть (O) – центр шара, (Q) – точка пересечения (SZ) и плоскости (alpha) . Пусть (SABCD) – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью (ASC) .

Так как (SQ:QZ=1:2) , то (SQ:SZ=1:3) , следовательно, (SQ:SO=2:3) , следовательно, (OQ:SO=1:3) . Тогда [AQ=sqrt=sqrt=dfrac<2sqrt2>3AO =dfrac<2sqrt2>3cdot dfrac92=3sqrt2] Следовательно, (AC=6sqrt2) . Следовательно, (AB=AC:sqrt2=6) .
Также [SQ=dfrac23SO=dfrac23cdot dfrac92=3] Заметим, что (SQ) – высота пирамиды, так как (SQperp alpha) . Следовательно, [V=dfrac13cdot SQcdot AB^2=36.]

Задачи по стереометрии, в которых требуется произвести расчет объема сферы и измерение других неизвестных параметров, встречаются в ЕГЭ каждый год. Это означает, что знать основные формулы и уметь оперативно находить правильный ответ должны выпускники с разным уровнем подготовки. Понимая принцип решения задач ЕГЭ, в которых требуется вычислить объем или, к примеру, площадь сферы, старшеклассники смогут выполнять упражнения с любым количеством действий и при этом получить достаточно высокие баллы по итогам прохождения экзаменационного испытания.

Базовая информация

• Сферой называется поверхность, которая состоит из множества точек пространства. Все они располагаются на одинаковом расстоянии от точки О. Она является центром сферы.
• Геометрическое тело, которое ограничено сферой, называется шаром. Его осевое сечение представляет собой круг. Радиус последнего равен радиусу шара.
• Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в n2 раз, а объем — в n3 раз.

Занимайтесь с образовательным порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!

Проблема поиска необходимой информации встает перед старшеклассниками достаточно остро. Не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А поиск базовых формул для вычисления площади, объема шара и других неизвестных параметров бывает достаточно трудоемким даже в онлайн-режиме.

Наш образовательный проект поможет сэкономить время и эффективно подготовиться к сдаче экзаменационного испытания. Мы предлагаем учащимся и их преподавателям выстроить процесс подготовки к ЕГЭ от простого к сложному. Такой подход позволит старшеклассникам понять, какие темы требуют более детального изучения, и улучшить имеющиеся знания.

Базовая информация, которую стоит повторить еще до выполнения задач на нахождение объема шара, представлена в разделе «Теоретическая справка». Материал, подготовленный опытными преподавателями «Школково», поможет вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи ЕГЭ по теме «Шар» или, например, по теме «Цилиндр», не вызывали затруднений, мы предлагаем также потренироваться в выполнении соответствующих упражнений. Множество заданий разной степени сложности вы найдете в разделе «Каталог». Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения. Попрактиковавшись в режиме онлайн и поняв принцип нахождения правильного ответа, школьники смогут без труда вычислить объем сферы.

При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему.

Выполнять онлайн-задания на нахождение площади боковой сферы могут не только школьники из столицы, но и выпускники из других российских городов.