Содержание
Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:
α = β = 45 ∘ = π 4 , <displaystyle alpha =eta =45^<circ >=<frac <pi ><4>>!,,>
третий внутренний угол — прямой:
γ = 180 ∘ − 2 α = 90 ∘ = π 2 , <displaystyle gamma =180^<circ >-2alpha =90^<circ >=<frac <pi ><2>>!,,>
Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.
Каждая боковая сторона равна:
a = b = c 2 2 , <displaystyle a=b=<frac <2>>><2>>!,,> 2>
а основание равно:
c = a 2 , <displaystyle c=a<sqrt <2>>!,,>
стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.
Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:
h c = a 2 2 = c 2 = R , <displaystyle h_
Содержание
Периметр [ править | править код ]
Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен
P = a + b + c = a ( 2 + 2 ) . <displaystyle P=a+b+c=a(2+<sqrt <2>>)!,.>
Площадь [ править | править код ]
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна
S = a 2 2 = c 2 4 . <displaystyle S=<frac <2>><2>>=<frac2> <2>><4>>!,.> 2>
Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:
S = p ( p − a ) 2 ( p − a 2 ) , <displaystyle S=<sqrt <2>(p-a<sqrt <2>>)>>!,,> 2>
Где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:
p = P 2 = a ( 1 + 2 2 ) . <displaystyle p=<frac
<2>>=aleft(1+<frac <sqrt <2>><2>>
ight)!,.>
Общие характеристики [ править | править код ]
Описанная и вписанная окружности [ править | править код ]
Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:
Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.
Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:
d 2 = R ( R − 2 r ) = a 2 2 ( 3 − 2 2 ) <displaystyle d^<2>=R(R-2r)=<frac <2>><2>>left(3-2<sqrt <2>>
ight)!,> d = r = a 2 ( 2 − 2 ) = a 1 2 ( 3 − 2 2 ) ≈ 0 , 2928932 a . <displaystyle d=r=<frac <2>>left(2-<sqrt <2>>
ight)=a<sqrt <<frac <1><2>>left(3-2<sqrt <2>>
ight)>>approx 0,2928932,a!,.> 2>
Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ( d = r <displaystyle d=r,> ), имеет углы:
α = β = a r c t g 4 − 2 2 8 2 − 11 ≈ 72 , 968751 ∘ , <displaystyle alpha =eta =operatorname <frac <4-<sqrt <2>>><<sqrt <2>><sqrt <8<sqrt <2>>-11>>>>approx 72,968751^<circ >!,,> γ = 180 ∘ − 2 α ≈ 34 , 062496 ∘ . <displaystyle gamma =180^<circ >-2alpha approx 34,062496^<circ >!,.>
Покрытие евклидовой плоскости [ править | править код ]
Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).
Полиформы в головоломках [ править | править код ]
Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.
Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.
Содержание:
- Свойства равнобедренного треугольника.
- Признаки равнобедренного треугольника.
- Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
АВ = ВС — боковые стороны
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.
Боковые стороны равны АВ = ВС,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
- Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
- Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
- Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Доказательство теоремы:
- Дан Δ ABC.
- Из точки В проведем высоту BD.
- Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD.Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
- Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
- В Δ ABDи ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD(из Теоремы 1).
- АВ = ВС — боковые стороны равны.
- Стороны АD = СD, т.к. точка Dотрезок делит пополам.
- Следовательно Δ ABD =ΔBCD.
- Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD
Вывод:
- Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
- Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
- Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство теоремы:
Доказательство от противного.
- Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
- Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
- Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.
Признаки равнобедренного треугольника
- Если в треугольнике два угла равны.
- Сумма углов треугольника 180°.
- Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
- Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
- Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
- b — сторона (основание)
- а — равные стороны
- a — углы при основании
- b — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания — b):
- b = 2a sin( eta /2)= a sqrt
- b = 2a cos alpha
Формулы длины равных сторон — (а):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
- L — высота=биссектриса=медиана
- b — сторона (основание)
- а — равные стороны
- a — углы при основании
- b — угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Площадь равнобедренного треугольника
- b — сторона (основание)
- а — равные стороны
- h — высота
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):