Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей прогрессии это число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Сумма бесконечно убывающей прогрессии выражается формулой:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

q – знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является возрастающей, если b₁ > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81.

Геометрическая последовательность является убывающей, если b₁ > 0, 0 n-1

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии

b_n+1 =b_n · q, где b_n ≠ 0, q ≠ 0

Знаменатель геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии b_n = b₁ · q n-1 Сумма n первых членов геометрической прогрессии Характеристическое свойство геометрической прогрессии b_n 2 = b_n-1 · b _n+1

Пример 1.

Известно, что b₁ = 2/3, q = — 3. Найти b₆

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

Пример 2.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

S = 12 / (1 — 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18

Пример 3.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

© adminreshak.ru