Содержание
Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.
| Вид уравнения | Формула корней | Формула дискриминанта |
|---|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  |
b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  |
k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  |
 |
 |
p 2 — 4q |
Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:
| Вид уравнения | Формула |
|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  , где D = b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  , где D = k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  , где D = |
 , где D = p 2 — 4q |
Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:
- Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
- Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.
Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:
так как она относится к формуле:
которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.
Пример 1. Решить уравнение:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8, D 2 — 6x + 9 = 0
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0, D = 0
Уравнение имеет всего один корень:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.
В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:
| Формула дискриминанта: |  . |
О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :
- D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
- D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
- D 2 .
Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.
Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».
По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:
x1;2 =
| −b ± √ D |
| 2a |
, где « D = b 2 − 4ac »
По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».
В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.
I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)
D —> , где « D = b 2 − 4ac »
—> —> D = b 2 − 4ac
D = 5 2 − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0
x1;2 =
| −b ± √ D |
| 2a |
x1;2 =
| −5 ± √ 81 |
| 2 · 2 |
x1;2 =
| −5 ± 9 |
| 4 |
| x1 = |
| −5 + 9 |
| 4 |
Ответ: x1 = 1; x2 = −3
| 1 |
| 2 |
Вывод: когда « D > 0 » в квадратном уравнении два корня .
II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)
16x 2 − 8x + 1 = 0
D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0
x1;2 =
| −b ± √ D |
| 2a |
x1;2 =
| 8 ± √ 0 |
| 32 |
x1;2 =
| 8 ± 0 |
| 32 |
x =
| 8 |
| 32 |
x =
| 1 |
| 4 |
Ответ: x =
| 1 |
| 4 |
Вывод: когда « D = 0 » в квадратном уравнении один корень .
III случай
D
(дискриминант меньше нуля)
D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D
x1;2 =
| −b ± √ D |
| 2a |
x1;2 =
| 8 ± √ −36 |
| 32 |
Ответ: нет действительных корней
Вывод: когда « D » в квадратном уравнении нет корней .