Меню Закрыть

В круг радиуса r наудачу брошена точка

Задачи на геометрическое определение вероятности

Задача 1. Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Задача 2. В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Задача 3. На отрезок АВ длины L брошена точка М так, что любое ее положение на отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (АМ или МВ) имеет длину, большую чем L/3.

Задача 4. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

Задача 5. Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х2≤4у≤4х.

Задача 6. Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Задача 7. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?

Задача 8. В квадрат с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1) наудачу брошена точка . Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у 2?

Решения задач на геометрическое определение вероятности

Задача 1. Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна 1/5-й». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать не более 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого:

Читайте также:  Правильный прямоугольник это квадрат

Рассмотрим событие: А – длина обрезка составит не менее 0,8 м.

Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: 1м. Благоприятствующие событию А участки разреза отмечены на рисунке красным цветом и их суммарная длина равна: 0,2+0,2=0,4. По геометрическому определению: Р(А)=0,4/1=0,4

Задача 2. Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.

Задача 3. Решение: Используем геометрическое определение вероятности. Разбиваем отрезок AB длины L числовой оси точками на 3 одинаковые части (отрезков), каждый из которых имеет длину L/3. Если точка M не попадет в отрезок AX или XB, то выполнится условие задачи (меньший из отрезков AM и MB имеет длину, большую L/3). Следовательно, искомая вероятность равна отношению длины центрального отрезка к длине всего отрезка L:

Задача 4. Решение: Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

P=

Ответ:

Задача 5. Решение: По условиям опыта координаты точки (х,у) удовлетворяют системе неравенств:

Это значит, что точка (х,у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка (х,у) окажется под прямой и над параболой. Эта область получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам х2≤4у≤4х. Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади области к площади квадрата:

Р=

Ответ:

Задача 6. Решение:

Первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом.

Контурами показаны возможные расположения второй кляксы — в случае касания первой и второй. Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Кляксы не должны также пересекаться. Значит, вторая клякса не должна попасть в круг, радиусом 3. Найдем площадь круга.

Читайте также:  Сколько кадров в секунду в гифке

S круга = п*32 = 9п см2.

Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек.

В этом случае область для попадания — прямоугольник с вырезанным кругом. Найдем площадь этой фигуры S1.

S1 = 20*25 — 9п = 500-9п. Вероятность Р = S1 / S прямоугольника = (500-9*3,14) / 500 ≈ 0,94.

Задача 7. Решение: используем геометрическое определение вероятности. Общему числу исходов соответствует участок длиной L=70-40=30км, благоприятствующему количеству исходов – участок длиной l=55-50=5км. Таким образом: Р=

– вероятность того, что обрыв провода произошёл между 50-м и 55-м километрами линии.

Ответ:

Задача 8. Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую у=.2х:

Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата S=1*1=1.

Прямая у=.2х делит квадрат на треугольник и трапецию. Как определить фигуру, которая удовлетворяет условию у 2 . Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять (0;0), и подставим её координаты в наше неравенство. Получено неверное неравенство, а значит, условию xy>2 соответствует «верхний кусок», площадь которого вычислим с помощью определённого интеграла.

Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы ху = 2 и прямой у=5): 5х=2; х=0,4

S=

По геометрическому определению: Р(А)= = 0,72

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

По формуле геометрической вероятности
p=S(квадрата)/S(круга)

Пусть сторона квадрата равна a.
S (квадрата)=a^2

Найдем выражение стороны квадрата a через радиус круга R.
Так как диаметр круга является диагональю квадрата, то по теореме Пифагора:
a^2+a^2=(2R^2)
2a^2=4R^2
a^2=2R^2

Читайте также:  Select boot mode завис

«>

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.