Меню Закрыть

Уравнение прямой а4м перпендикулярной к плоскости а1а2а3

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости

Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y, z) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y, z) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :

(4)

Подставляя координаты точки M(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:

Читайте также:  Как пишется емайл на английском пример

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Даны координаты пирамиды: A1(6,8,2), A2(5,4,7), A3(2,4,7), A4(7,3,7).
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj – xi; Y = yj – yi; Z = zj – zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi – координаты точки Аi; xj, yj, zj – координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 – x1; Y = y2 – y1; Z = z2 – z1
X = 5-6; Y = 4-8; Z = 7-2
A1A2(-1;-4;5)
A1A3(-4;-4;5)
A1A4(1;-5;5)
A2A3(-3;0;0)
A2A4(2;-1;0)
A3A4(5;-1;0)

2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y² + Z²).
Нахождение длин ребер и координат векторов.
Вектор А1A2= -1 -4 5 L = 6,480740698.
Вектор A2A3= -3 0 0 L =3.
Вектор А1A3= -4 -4 5 L = 7,549834435.
Вектор А1A4= 1 -5 5 L =7,141428429.
Вектор A2A4= 2 -1 0 L = 2,236067977.
Вектор A3A4= 5 -1 0 L = 5,099019514.

3) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Параметрическое уравнение прямой:
x=x ₀ +lt
y=y ₀ +mt
z=z ₀ +nt
Уравнение прямой A1A2(-1,-4,5)

Параметрическое уравнение прямой:
x=6-t
y=8-4t
z=2+5t.

4) Уравнение плоскости А1А2А3.

-1 -4 5
-4 -4 5 = 0
(x-6)((-4)*5-(-4)*5) – (y-8)((-1)*5-(-4)*5) + (z-2)((-1)*(-4)-(-4)*(-4)) =
= – 15y – 12z + 144 = 0
Упростим выражение: – 5y – 4z + 48 = 0.

5) Уравнение прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3, – это высота из точки А4 на основание пирамиды.
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀ ) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).

Уравнение плоскости A1A2A3: – 5y – 4z + 48 = 0.
Уравнение А4М:

6) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору A1A2.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M ₀(x₀, y₀, z₀ ) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x ₀) + m(y- y₀) + n(z- z₀ ) = 0
Координаты точки A4(7;3;7)
Координаты вектора A1A2(-1;-4;5)
-1(x – 7) + (-4)(y – 3) + 5(z – 7) = 0
Искомое уравнение плоскости:
-x – 4y + 5z-16 = 0.

Читайте также:  Dts hd premium sound

7) Уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2.

Необходимая для решения точка А3(2; 4; 7) задана по условию, а направляющий вектор для искомой прямой возьмём тот же, что для прямой А1А2, так как они параллельны: n=(-1;-4;5).

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Лучшие эксперты в этом разделе

Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 1661
epimkin
Статус: Бакалавр
Рейтинг: 380
Roman Chaplinsky / Химик CH
Статус: Модератор
Рейтинг: 374
Перейти к консультации №:

даны четыре точки А1(1;-2;7), А2(4;2;10), А3(2;3;5), А4(5;3;7)
составить уравнение:
1). плоскости А1А2А3
2). прямой А1А2
3). прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3
4). прямой А3N, параллельной прямой А1А2
5) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2
вычислить:
1). площадь грани А1А2А3
2). объем пирамиды А1А2А3А4
3).угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 пирамиды
4). координаты точки пересечения прямой А4М с гранью А1А2А3
угол между прямыми А1А2 и А1А3

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Ivanob dima!
1. A1A2 = (3;4;3), A1A3 = (1;5;-2).
Чтобы найти уравнение плоскости A1A2A3, вычислим определитель матрицы (по правилу треугольника)
(x-1 y+2 z-7)
(3 4 3)
(1 5 -2)
и приравняем его нулю. Получим:
A1A2A3: 23x – 9y – 11z + 36 = 0.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки, вычисляется в одну строку:
A1A2: (x-1)/3 = (y+2)/4 = (z-7)/3.

3. Т.к. A4M ⊥ A1A2A3, то нормальный вектор (23;-9;-11) плоскости будет направляющим вектором прямой.
A4M: (x-5)/23 = (y-3)/(-9) = (z-7)/(-11).

4. Т.к. прямые A3N и A1A2 параллельны, то у них общий направляющий вектор A1A2 = (3;4;3).
A3N: (x-2)/3 = (y-3)/4 = (z-5)/3.

5. Т.к. искомая плоскость перпендикулярна прямой A1A2, то её нормальным вектором будет A1A2 = (3;4;3).
Получаем уравнение:
3(x-5) + 4(y-3) + 3(z-7) = 0,
3x + 4y + 3z – 48 = 0.

Читайте также:  Почему компьютер не видит геймпад

2. Объём пирамиды A1A2A3A4 равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов A1A2, A1A3, A1A4. Чтобы его найти, вычислим модуль определителя матрицы,
(3 4 3)
(1 5 -2)
(4 5 0)
составленной из координат этих векторов, и разделим на шесть:
V = 1/6 * |3*5*0 + 4*(-2)*4 + 3*1*5 – 3*5*4 – 4*1*0 – 3*(-2)*5| = 47/6.

4. Найдём точку пересечения прямой A4M и плоскости A1A2A3. Решим систему уравнений
(x-5)/23 = (y-3)/(-9) = (z-7)/(-11),
23x – 9y – 11z + 36 = 0.
Ответ: (3402/731; 2292/731; 5238/731).

Консультировал: Агапов Марсель
Дата отправки: 19.10.2007, 12:35

0

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

“>

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code

Adblock detector