Содержание
Содержание урока
Законы алгебры логики
Законы алгебры логики
Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики. Они формулируются для базовых логических операций — «НЕ», «И» и «ИЛИ».
Закон двойного отрицания означает, что операция «НЕ» обратима: если применить ее два раза, логическое значение не изменится. Закон исключённого третьего основан на том, что в классической (двузначной) логике любое логическое выражение либо истинно, либо ложно («третьего не дано»). Поэтому если А = 1, то А = 0 (и наоборот), так что произведение этих величин всегда равно нулю, а сумма — единице.
Операции с константами и закон повторения легко проверяются по таблицам истинности операций «И» и «ИЛИ». Переместительный и сочетательный законы выглядят вполне привычно, так же, как и в арифметике. Почти везде «работает» аналогия с алгеброй чисел, нужно только помнить, что в логике 1 + 1 = 1, а не 2.
Распределительный закон для операции «ИЛИ» — это обычное раскрытие скобок. А вот для операции «И» мы видим незнакомое выражение, в алгебре чисел это равенство неверно. Доказательство можно начать с правой части, раскрыв скобки:
(А + В) • (А + С) = А • А + А • С + В • А + В • С.
Дальше используем закон повторения (А • А = А) и заметим, что
А + А • С = А • (1 + С) = А • 1 = А.
Аналогично доказываем, что А + В • А = А • (1 + В) = А, таким образом,
(А + В) • (А + С) = А + В • С.
Равенство доказано. Попутно мы доказали также и закон поглощения для операции «И» (для операции «ИЛИ» вы можете сделать это самостоятельно). Отметим, что из распределительного закона следует полезное тождество:
А + А • В = (А + А ) • (А + В) = А + В.
Правила, позволяющие раскрывать отрицание сложных выражений, названы в честь шотландского математика и логика Огастеса (Августа) де Моргана. Обратите внимание, что при этом не просто «общее» отрицание переходит на отдельные выражения, но и операция «И» заменяется на «ИЛИ» (и наоборот). Доказать законы де Моргана можно с помощью таблиц истинности.
Теперь с помощью приведённых законов алгебры логики упростим полученное ранее логическое выражение для объединения областей 3 и 4 на диаграмме с тремя переменными (§ 20, рис. 3.15):
(А • В • C ) + А • В • C = (А + А ) • В • C = В • C .
Здесь мы сначала вынесли общий множитель двух слагаемых за скобки, а затем применили закон исключённого третьего.
В общем случае можно рекомендовать такую последовательность действий.
1. Заменить все «небазовые» операции (исключающее ИЛИ, импликацию, эквивалентность и др.) на их выражения через базовые операции «НЕ», «И» и «ИЛИ».
2. Раскрыть отрицания сложных выражений по законам де Моргана так, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
3. Используя вынесение общих множителей за скобки, раскрытие скобок и другие законы алгебры логики, упростить выражение.
(А + B ) • ( А + B ) • ( А + С)=(А + B ) • А • B • ( А + C = (А • А + B • А ) • B • ( А + С) = B • А • B • ( А + С) = А • B • B • ( А + С) = B • А • ( А + С) = B • ( А .
Здесь последовательно использованы закон де Моргана, распределительный закон, закон исключённого третьего, переместительный закон, закон повторения, снова переместительный закон и закон поглощения.
Следующая страница 
Логические уравнения
Cкачать материалы урока
УПРОЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Задание для учащихся 8а класса на 10 мая 2013 года
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| uproshchenie_logicheskih_vyrazheniy._zadanie_po_logike_8_klass.docx | 323.78 КБ |
Предварительный просмотр:
УПРОЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и
преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.
Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний, либо содержит меньшее число вхождений переменных.
Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).
Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:
(законы алгебры логики применяются в следующей последовательности:
правило де Моргана,
сочетательный закон,
правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами);
( применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией);
(повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания);
(вводится вспомогательный логический сомножитель ( ); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения);
(сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);
(выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами);
(к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);
(общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);
Задание для самостоятельной практической работы:
Выполни упрощение логических выражений в рабочей тетради.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
ПЛАН- ГРАФИКпрохождения учебной программы по физической культурес учащимися 5 класса на 2012 – 2013 учебный год.
Урок — повторение: оборот- there is, there are-.Повторить правило (см. прикрепленную презентацию) и выполнить задание (см. текстовый файл).Выполненное задание принести в распечатанном виде.
Повторить правило (см. в прикрепленном файле) и выполнить задание (см. в прикрепленном файле).Выполненное задание принести в распечатанном виде.
Правила написания эссе. Прочитать правила написания эссе (см. прикрепленную презентацию) и написать эссе на заданную в презентации тему (см. презентацию).
Материал содержит задания по русскому языку учащимся 5Б класса на 10 мая 2013 года.
Задание по химии для 9б класса 10 мая 2013 года Подготовка к итоговой контрольной работеТест прорешать, номера ответов частей «А» и «В» записать на двойном листочке, в части «С» решения записат.
РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕРОССИЙСКОГО ПОЛИАТЛОНА-МОНИТОРИНГА В 5 Б КЛАССЕ27 ФЕВРАЛЯ 2013 ГОД Уровень по.
Примеры заданий на упрощение логических формул с использованием законов логики. Могут быть полезными для подготовки учителя к уроку, а также для учащихся, желающих самостоятельно повторить материал данной темы.
Просмотр содержимого документа
«Примеры упрощения логических формул с использованием законов логики»
Примеры упрощения логических выражений с использованием законов логики
Пример 1 : Упростить выражение:
Применим для скобки закон Де Моргана. Получим:
По закону двойного отрицания:
Применим формулу поглощения:
Пример 2 : Упростить выражение:
Применим закон Де Моргана. Получим:
По закону двойного отрицания:
Применим сочетательный закон:
Пример 3 : Упростить выражение:
Применим в обеих скобках закон Де Моргана:
По закону двойного отрицания получим:
Перед нами формула склеивания, т.е. значение нашего выражения равно А.
Пример 4 : Упростить выражение:
Применим к первой скобке закон Де Моргана, а во второй заметим, что . Тогда получим:
По закону двойного отрицания:
Перед нами снова формула склеивания. Результат будет равен А.
Для первой скобки применим закон: , а для второй:
Применим сочетательный закон:
Очевидно, что: , а
Пример 6 : Упростить выражение:
Применим для скобки закон Де Моргана. Получим:
Сформируем скобки в соответствии с сочетательным законом: