Укажите пару взаимно простых чисел

Ответ или решение 2

Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей, кроме 1 и (-1).

Приведем пример взаимно простых чисел

Например, 14 и 25:

14 делится только на 1, -1, 2, -2, 7, -7, 14 и -14.

25 делится на 1, -1, 5, -5, 25 и -25.

У обоих чисел только 1 и (-1) являются общими делителями, значит, 14 и 25 — это взаимно простые числа.

Чтобы найти пары взаимно простых чисел, нужно:

• Разложить это числа на простые множители (простые множители — это числа, которое делятся только на 1 и на самого себя);
• убедиться, что общих множителей нет;
• если оба числа положительные, можно брать только положительные множители.

Найдем пару взаимно простых чисел

Раскладываем на простые множители:

14 = 2 * 7; 21 = 3 * 7.

У этой пары чисел есть общий множитель 7, поэтому 14 и 21 это не взаимно простые числа.

Раскладываем на простые множители:

39 = 3 * 13; 65 = 5 * 13.

У этой пары чисел есть общий множитель 13, поэтому 39 и 65 это не взаимно простые числа.

Раскладываем на простые множители:

14 = 2 * 7; 39 = 3 * 13.

У этой пары чисел нет общих множителей, поэтому 14 и 21 это взаимно простые числа.

Раскладываем на простые множители:

21 = 3 * 7; 39 = 3 * 13.

У этой пары чисел есть общий множитель 3, поэтому 21 и 39 это не взаимно простые числа.

Ответ: в) 14 и 39.

Для того, чтобы определить взаимно простые числа надо их разложить на множители.

21 = 7 * 3, числа имеют общий множитель 7, значит они не взаимно простые.

65 = 5 * 13, числа имеют общий множитель 13, значит они не взаимно простые.

39 = 3 * 13, числа не имеют общий множителей, значит они взаимно простые.

39 = 3 * 13, числа имеют общий множитель 3, значит они не взаимно простые.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Оракул (89577)10 и 17

Взаимно простые числа — те числа, которые не имеют общих делителей
4 и 8 —общий делитель 2, они не взаимно простые
12 и 16 — общий делитель 2, а еще и 4, и 8 . — не взаимно простые
20 и 36 —тоже есть общие делители.

10 и 17 — нет такого ОДИНАКОВОГО (общего) числа, на которое бы делилось и 10 и 17

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.

• 14 и 25 взаимно просты, так как у них нет общих делителей;
• 15 и 25 не взаимно просты, так как у них имеется общий делитель 5;

Наглядное представление: если на плоскости построить «лес», установив на точки с целыми координатами «деревья» нулевой толщины, то из начала координат видны только деревья, координаты которых взаимно просты, см. рисунок справа как пример видимости «дерева» с координатами (9, 4).

Содержание

Обозначения [ править | править код ]

Для указания взаимной простоты чисел m <displaystyle m> и n <displaystyle n> используется обозначение [1] :

m ⊥ n . <displaystyle mperp n.>

Подобно тому, как перпендикулярные прямые не имеют общего направления, так и перпендикулярные числа не имеют общих сомножителей. [1]

Однако не все математики признают и используют это обозначение. Чаще всего используется словесная формулировка или эквивалентная запись gcd ( a , b ) = 1 <displaystyle gcd(a,b)=1> , что означает: «наибольший общий делитель чисел a и b равен 1».

Связанные определения [ править | править код ]

• Если в наборе чисел любые два числа взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми. Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.

Примеры [ править | править код ]

• 8, 15 — не простые, но взаимно простые.
• 6, 8, 9 — взаимно простые (в совокупности) числа, но не попарно взаимно простые.
• 8, 15, 49 — попарно взаимно простые.

Свойства [ править | править код ]

• Числа a <displaystyle a>и b <displaystyle b>взаимно просты тогда и только тогда, когда выполняется одно из эквивалентных условий:

• наибольший общий делитель a <displaystyle a>и b <displaystyle b>равен единице;
• существуют целые x <displaystyle x>и y <displaystyle y>такие, что a x + b y = 1 <displaystyle ax+by=1>(соотношение Безу).

Любые два (различные) простые числа взаимно просты.

Если a <displaystyle a>— делитель произведения b c <displaystyle bc>, и a <displaystyle a>взаимно просто с b <displaystyle b>, то a <displaystyle a>— делитель c <displaystyle c>.

Если числа a 1 , … , a n <displaystyle a_<1>,ldots ,a_>— попарно взаимно простые числа, то НОК ( a 1 , … , a n ) = | a 1 ⋅ … ⋅ a n | <displaystyle (a_<1>,ldots ,a_)=|a_<1>cdot ldots cdot a_|>. Например, НОК ( 9 , 11 ) = 9 ⋅ 11 = 99 <displaystyle (9,11)=9cdot 11=99>.

Вероятность того, что любые k <displaystyle k>случайным образом выбранных положительных целых чисел будут взаимно просты, равна 1 ζ ( k ) <displaystyle <dfrac <1><zeta (k)>>>, в том смысле, что при N → ∞ <displaystyle N o infty >вероятность того, что k <displaystyle k>положительных целых чисел, меньших, чем N <displaystyle < extstyle >>(и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к 1 ζ ( k ) <displaystyle <dfrac <1><zeta (k)>>>. Здесь ζ ( k ) <displaystyle zeta (k)>— это дзета-функция Римана.

Дробь является несократимой тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты.

Обобщения [ править | править код ]

Понятия простого числа и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные коммутативные кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Два элемента кольца называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы. При этом аналог основной теоремы арифметики выполняется не во всех, а только в факториальных кольцах.

Применение [ править | править код ]

Обычно число зубьев на звёздочках и число звеньев цепи в цепной передаче стремятся делать взаимно простыми, что обеспечивает равномерность износа: каждый зуб звёздочки будет поочерёдно работать со всеми звеньями цепи.