Тонкое непроводящее кольцо радиуса r

2018-05-14
Тонкое непроводящее кольцо радиуса $R$ заряжено с линейной плотностью $lambda = lambda_ <0>cos phi$, где $lambda_<0>$ — постоянная, $phi$ — азимутальный угол. Найти модуль вектора напряженности электрического поля:
а) в центре кольца;
б) на оси кольца в зависимости от расстояния $x$ до его центра. Исследовать полученное выражение при $x gg R$.

(a) Данное распределение заряда показано на рис. Симметрия этого распределения означает, что вектор $vec$ в точке О направлен вправо, а его величина равна сумме проекции на направление $vec$ векторов $d vec$ от элементарных зарядов $dq$. Проекция вектора $d vec$ на вектор $vec$ равна

где $dq = lambda Rd phi = lambda_ <0>R cos phi d phi$.

Интегрируя (1) по $phi$ между 0 и $2 pi$, найдем величину вектора $E$:

Следует отметить, что этот интеграл решается самым простым способом, если учесть, что $langle cos^ <2>phi
angle = 1/2$. затем

$int_<0>^ < 2 pi>cos^ <2>phi d phi = langle cos^ <2>phi
angle 2 pi = pi$.

(б) Возьмем элемент $S$ с азимутальным углом $phi$ от оси х, причем элемент, находиться в центре под углом $d phi$.
Элементарное поле в точке P от элемента

$frac < lambda_<0>cos phi d phi R > <4 pi epsilon_<0>(x^ <2>+ R^ <2>) >$ вдоль SP с компонентами

Компонента вдоль OP исчезает при интегрировании $int_<0>^ < 2 pi>cos phi d phi = 0$

Компонент вдль OS может быть разбит на части вдоль OX и OY с помощью

Интегрируя, компонента вдоль оси OY исчезает.

Иродов – 3.19

Иродов 3.19. Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиуса R, упирается одним своим концом в его центр. Заряд нити на единицу длины равен λ. Найти поток вектора E через площадь круга. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 3.18

Иродов 3.18. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса R, объемная плотность заряда которого ρ = ar, где a — постоянный вектор, r — радиус-вектор, проведенный из центра шара. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 3.17

Иродов 3.17. Пусть поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ϑ как σ = σ0 cos ϑ, где σ0 — положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса R, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. […]

Иродов – 3.16

Иродов 3.16. Сфера радиуса r заряжена с поверхностной плотностью σ = ar, где a — постоянный вектор, r — радиус-вектор точки сферы относительно ее центра. Найти вектор напряженности электрического поля в центре сферы. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 3.15

Иродов 3.15. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд λ, имеет конфигурации, показанные на рис. 3.2, а и б. Считая, что радиус закругления R значительно меньше длины нити, найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке О. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 3.14

Иродов 3.14. Очень длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд λ на единицу длины. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 3.13

Иродов 3.13. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2a заряжен равномерно зарядом q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра стержня для точек прямой: а) перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр; б) на оси стержня вне его. Исследовать полученные выражения при r >> a. Скачать решение: Скачать […]

Иродов – 3.12

Иродов 3.12. Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью λ = λ0 cos φ, где λ0 — постоянная, φ — азимутальный угол. Найти модуль вектора напряженности электрического поля: а) в центре кольца; б) на оси кольца в зависимости от расстояния x до его центра. Исследовать полученное выражение при х >> R. Скачать решение: […]

Иродов – 3.11

Иродов 3.11. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити приходится заряд λ. Найти силу взаимодействия кольца и нити. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 3.10

Иродов 3.10. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд -q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние x, если x >> R. Скачать решение: Скачать решение задачи

Окончание. См. № 7, 8, 9, 10/2010

11-й класс

3. Тонкой пластмассовой спице придали форму, изображённую на рисунке, изогнув её в виде дуги, образующей четверть окружности радиусом R = 1 м, и кольцевого витка радиусом r = 0,25 м. Плоскость дуги и витка расположена вертикально. По спице может без трения перемещаться маленькая бусинка массой m = 1 г, несущая заряд q = 2 · 10 –9 Кл. Вся система помещена в однородное электрическое поле напряжённостью E = 5 · 10 3 В/м, направленное горизонтально в плоскости дуги и витка. Бусинку помещают в точку A, в которой касательная к дуге окружности радиусом R вертикальна, и отпускают без начальной скорости. В какой точке траектории бусинка будет иметь максимальную скорость? Чему равна эта скорость? Заряд бусинки при движении остаётся неизменным. Поляризацией пластмассы и потерями энергии на излучение можно пренебречь.

Бусинка движется под действием трёх сил: силы тяжести mg, кулоновской силы qE и силы реакции спицы N. Первые две силы образуют однородное силовое поле, направленное под углом α к вертикали, причём

Скорость бусинки максимальна в точке, в которой вектор скорости перпендикулярен суммарной силе, действующей на неё. Как видно из рисунка, эта точка лежит на пересечении прямой, проходящей через центр кольца под углом α к вертикали, с окружностью радиусом r в нижней её части.

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся законом сохранения энергии. Выберем точку A за точку отсчёта потенциальной энергии. Тогда

4. По тонкому непроводящему кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределён заряд Q = 10 –7 Кл. Кольцо закреплено так, что его плоскость вертикальна. Перпендикулярно плоскости кольца расположен непроводящий тонкий стержень, проходящий через центр кольца. По стержню может без трения скользить маленькая бусинка массой m = 1 г, несущая заряд –q (q = 10 –8 Кл). Бусинку смещают от положения равновесия на малое расстояние и отпускают. Найдите период возникших при этом колебаний бусинки. Потерями энергии на излучение можно пренебречь.

Поместим начало координат в центр кольца, а координатную ось X направим по оси стержня. Напряжённость E электрического поля, создаваемого кольцом на оси X, направлена вдоль этой оси, а модуль напряжённости в точке с координатой x равен

где ε = 8,85 · 10 –12 Ф/м – электрическая постоянная. Подробный вывод этой формулы приведён, например, в учебнике Мякишева и др. (Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободсков Г.А. Физика: Электродинамика. 10–11 кл.: учеб. для углубл. изучения физики. М.: Дрофа, 2001. § 1.16). Поскольку, по условию, x ≪ R, величиной x 2 по сравнению с R 2 в знаменателе формулы для E можно пренебречь. Тогда эта формула примет приближённый вид:

Таким образом, на бусинку, смещённую на малое расстояние от положения равновесия (x = 0), действует сила F, проекция которой на ось X равна:

Уравнение движения бусинки под действием этой силы имеет вид:

Отсюда следует, что круговая частота малых колебаний бусинки

Учитывая, что период колебаний T = 2π/ω, получаем ответ:

5. На расстоянии a = 10 см от точечного источника света находится непрозрачный экран с круглым отверстием диаметром d = 3 см. На расстоянии b = 20 см от экрана позади него расположено плоское зеркало, на котором имеется сферический выступ диаметром D = 6 см и радиусом кривизны R = 40 см. Источник света, центр отверстия и центр сферического выступа находятся на одной прямой, а экран и плоская часть зеркала перпендикулярны к ней. Определите радиус r освещённой области на поверхности экрана, обращённой к зеркалу.

Размер освещённой области на экране ограничивает либо луч 1, отражённый от плоского зеркала, либо луч 2, отражённый от края сферического выступа (см. рисунок).

Таким образом, радиус пятна, даваемого лучом 1:

Пусть точка O – мнимое изображение источника в сферическом зеркале. По формуле зеркала получаем:

Из рисунка видно, что

Следовательно, радиус пятна, даваемого лучом 2:

Поскольку r₂ > r₁, условию задачи удовлетворяет r = r₂. Искомый радиус r = 8 см.