Меню Закрыть

Сравнение по модулю m 10 класс презентация

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Описание презентации по отдельным слайдам:

Сравнение по модулю m. copyright 2006 www.brainybetty.com; All Rights Reserved.

Определение: Два натуральных числа a и b , разность которых кратна натуральному числу m , называются сравнимыми по модулю m . обозначение: a ≡ b (mod m ). Или: Целые числа a и b называют сравнимыми по модулю m, если каждое из них при делении на m дает один и тот же остаток r. *

Примеры: Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой. В том случае, если число n делится на m , то оно сравнимо с нулем по модулю m . n ≡ 0 (mod m ). *

Свойства сравнений по модулю: Пусть a ≡ b (mod m ), c ≡ d (mod m ). Тогда: a + c ≡ b + d (mod m ), a – c ≡ b – d (mod m ), ac ≡ bd (mod m ), an ≡bn(mod m). Пусть ab ≡ 0 (mod m ), и числа a и m взаимно просты. Тогда b ≡ 0 (mod m ). *

Теорема: В любой части сравнения можно отбросить или добавить слагаемое, кратное модулю. *

Примеры: Найдите остаток от деления 229 на 11. Решение: Так как 25 ≡ -1 (mod 11), ( определение: 32-(-1)= 33 делится на 11), то по свойству сравнений: (25)5 ≡ (-1)5 (mod 11), то есть 225 ≡ -1 (mod 11) и 24 ≡ 5 (mod 11), и 229=225∙24 по свойству сравнений 229 ≡ -5 (mod 11), так как -5 ≡ 6 (mod 11), то остаток отделения будет 6. *

Работа по учебнику: Стр. 39 разобрать примеры 1 и пример 2. Объяснение на доске. *

Решение номеров: 1.95(а,в) *

Дома: 1.95(б) Прочитать п 1.9. *

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

  • Шарафутдинова Людмила ГригорьевнаНаписать 3402 13.10.2015

Номер материала: ДВ-058318

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

    13.10.2015 1117
    13.10.2015 1070
    13.10.2015 589
    13.10.2015 290
    13.10.2015 4465
    13.10.2015 378
    13.10.2015 1067

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Читайте также:  Как загрузить фото в облако с компьютера

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Если не удалось найти презентацию, то Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужную Вам презентацию в электронном виде и отправим ее по электронной почте.

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Социальные сети давно стали неотъемлемой частью нашей жизни. Мы узнаем из них новости, общаемся с друзьями, участвуем в интерактивных клубах по интересам

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №8. Сравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. понятие сравнения двух чисел;
  2. понятие сравнения по модулю;
  3. основные свойства сравнений.

Глоссарий по теме

Определение. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на натуральное число m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m.

  1. a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m),a ≡ c (mod m)
  2. a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m)
  3. a1b1 (mod m), a2≡ b2 (mod m), … , akbk (mod m) a1+…+akb1+…bk(mod m)
  4. a+b ≡ c (mod m) a ≡ c–b (mod m)
  5. a ≡ b (mod m) a+mt ≡ b+mk(mod m) (t, k ∈ Z)
  6. a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m)
  7. a ≡ b (mod m) a k ≡ b k (mod m)
  8. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk(mod m)
  9. Если a ≡ b (mod m), (a, b) = c, (c, m) = 1 (mod m)
  10. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk (mod mk)
  11. a ≡ b (mod m), a = a1d, b = b1d, m = m1da1b1(mod m1)
  12. ab (mod m1), a ≡ b(mod m2), …, ab(mod mk) ab (mod НОК(m1,…,mk))
  13. ab (mod m), d/mab(mod d)
  14. d/a, d/m, ab(mod m) d/b
  15. ab (mod m) (a, m) = (b, m)

Теорема обратимости: обратный элемент для числа существует тогда и только тогда, когда это число взаимно простое с модулем.

Теорема 1. Если , то сравнение (7) имеет единственное решение.

Теорема 2. Если и число b не делится на d , то сравнение ax ≡ b (mod m) не имеет решений.

Теорема 3. Если и , b ≡ d то сравнение (7) имеет d решений.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Читайте также:  Gigabyte j4005n d2p отзывы

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m. (Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что по-русски означает «мера», «величина».) Утверждение «a сравнимо с b по модулю m» обычно записывают в виде ab (mod m), и называют сравнением. Вот примеры сравнений: 51 (mod 2), 48 (mod 6), 169 (mod 5). Сравнение по модулю 1 выполняется для любых двух целых чисел, так как всякое число кратно 1. Два числа сравнимы по модулю 2, если они одной четности, т.е. либо оба четны, либо оба нечетны.

Определение сравнения было сформулировано в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования». Эту работу, написанную на латинском языке, начали печатать в 1797 г., но книга вышла в свет лишь в 1801 г. из-за того, что процесс книгопечатания в то время был чрезвычайно трудоемким и длительным. Первый раздел книги Гаусса так и называется: «О сравнении чисел вообще».

Сравнениями очень удобно пользоваться в тех случаях, когда достаточно знать в каких-либо исследованиях числа с точностью до кратных некоторого числа. Например, если нас интересует, на какую цифру оканчивается куб целого числа a, то нам достаточно знать a лишь с точностью до кратных числа 10, и можно пользоваться сравнениями по модулю 10.

Определение. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на натуральное число m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m.

Мы выражаем это записью

которая читается так: а сравнимо с b по модулю m.

Делитель m мы предполагаем натуральным; он называется модулем сравнения. Наше высказывание (1) означает, что

1) 23 ≡ 8 (mod 5), так как 23 — 8 = 15 = 5 ∙ 3;

2) 47 ≡ 11 (mod 9), так как 47–11 = 36 = 9 ∙ 4;

3) —11 ≡ 5 (mod 8), так как — 11 — 5 = —16 = 8 ∙ (-2);

4) 81 ≡ 0 (mod 27), так как 81 — 0 = 81 = 27 ∙ 3.

Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы говорить: число а делится на число m, мы можем записать a ≡ 0 (mod m), так как это означает, что а — 0 = а = mk, где k — некоторое целое число.

Например, вместо того, чтобы сказать, что а — четное число, мы можем записать a ≡ 0 (mod 2).

Читайте также:  Разбор букв по звукам все буквы

Таким же образом видно, что нечетное число является числом, удовлетворяющим сравнению а ≡ 1 (mod 2).

Обобщим свойства сравнений:

  1. a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m),a ≡ c (mod m)
  2. a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m)
  3. a1b1 (mod m), a2≡ b2 (mod m), … , akbk (mod m) =>a1+…+akb1+…bk(mod m)
  4. a+b ≡ c (mod m) a ≡ c–b (mod m)
  5. a ≡ b (mod m) a+mt ≡ b+mk(mod m) (t, k ∈ Z)
  6. a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m)
  7. a ≡ b (mod m) a k ≡ b k (mod m)
  8. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk(mod m)
  9. Если a ≡ b (mod m), (a, b) = c, (c, m) = 1 (mod m)
  10. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk (mod mk)
  11. a ≡ b (mod m), a = a1d, b = b1d, m = m1da1b1(mod m1)
  12. ab (mod m1), a ≡ b(mod m2), …, ab(mod mk) ab (mod НОК(m1,…,mk))
  13. ab (mod m), d/mab(mod d)
  14. d/a, d/m, ab(mod m) d/b
  15. ab (mod m) (a, m) = (b, m)

Нахождение обратного элемента

Задача нахождения обратного элемента: найти b=a -1 (mod n), где a и n заданы, b неизвестно.

Элемент b называется обратным к a по модулю n, если a∙b≡1(mod n). Тогда пишут, что b ≡ a –1 (mod n). Справедлива

Существует a -1 (mod n) (a, n) = 1.

То есть, обратный элемент для числа существует тогда и только тогда, когда это число взаимно простое с модулем.

Найти обратный элемент можно с помощью расширенного алгоритма Евклида:

Пусть a > n; a, Расширенный алгоритм Евклида находит числа x, y: ax+ny = НОД(a, n).

Вычисляет цепочка равенств:

Используя эту цепочку, восстанавливаем:

Получаем сравнение ax+ny≡1(mod n). Поскольку ny≡0(mod n), то ax≡1(mod n), а значит полученное с помощью расширенного алгоритма Евклида число x как раз и есть искомый обратный элемент к числу a по модулю n.

Вычислить элемент, обратный а по mod n, если a=9; n=29;

Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида:

13∙9=117. 117≡1(mod( 29)).

Ответ: обратный элемент = 13.

Сравнения первой степени

Сравнения первой степени имеют вид

Перенеся свободный член в правую часть сравнения, и меняя обозначения коэффициентов, получим

При решении таких сравнений рассматривают два случая:

и .

Теорема 1. Если , то сравнение (7) имеет единственное решение.

Теорема 2. Если и число b не делится на d, то сравнение ax≡ b (mod m) не имеет решений.

Теорема 3. Если и b ≡ d, то сравнение (7) имеет d решений.

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим 2 способа решения сравнений первой степени, в основе которых лежит приведение сравнения первой степени к равносильному сравнению с коэффициентом при x , равному единице.

Проиллюстрируем решение сравнения этими способами на следующем примере:

Решить сравнение 25х≡15(mod 17)

Значит сравнение имеет единственное решение.

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code

Adblock detector