Задание: Получить на экране осциллографа фигуры Лиссажу и картину биений. Определить частоту NХ генератора Гх.
Оборудование и принадлежности: осциллограф, два звуковых генератора, соединительные провода.
Колебания системы с двумя степенями свободы. Переход от колеблющихся систем с одной степенью свободы к системам с несколькими степенями свободы приводит к качественным изменениям свойств движения: в таких системах возможны колебания с разными частотами. Их совокупность — частотный спектр — тем богаче, чем большим числом степеней свободы обладает система.
В случае малых колебаний любая линейная комбинация гармонических колебаний есть один из возможных видов движения колеблющейся системы. В этом заключается физический смысл принципа суперпозиции (сложения) колебаний в системах с несколькими степенями свободы.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты w совершающихся вдоль осей Х и Y, по законам
(1)
(2)
Где А1 и А2 — амплитуды колебаний; j0 — начальная фаза второго колебания, совпадающая в нашем случае с разностью фаз складываемых колебаний. Найдем траекторию частицы. Для этого из (1) и (2) исключим время T. Тогда получим
(3)
Это — уравнение эллипса. Размер и ориентация его осей зависят от значений А1, А2 и j0 .
При j0= 0 или j0= 
P эллипс вырождается в прямую линию:
(4)
В этом случае результирующее движение (рис. 1) является гармоническим колебанием, происходящим с частотой w и амплитудой
(5)
При j0= — p/2 из уравнения (3) получим
(6)
Т. е. частица движется по эллипсу с полуосями A1 и A2, ориентированными вдоль осей Х и Y соответственно (рис. 2). при j0 = + p/2 движение происходит по часовой стрелке, а при j0 = — p/2 — в обратном направлении. При равенстве амплитуд A1 и A2 эллипс вырождается в окружность.
Если частота w1 ¹ w2 , то частица описывает кривые более сложного вида (рис.3). При простых кратных отношениях между частотами кривые замкнутые (их называют фигурами Лиссажу). Они вписаны в прямоугольник со сторонами, равными удвоенным амплитудам складываемых колебаний. Отношение частот
(7)
Где N1 и N2 — число касаний фигуры Лиссажу с горизонтальной и вертикальной сторонами ограничивающего прямоугольника. Если отношение w1/w2- число иррациональное, то траектория частицы незамкнутая и вместо фигуры Лиссажу получается область, сплошь заполненная траекторией движущейся частицы.
Биения. Рассмотрим сложение двух колебаний, происходящих вдоль одной прямой с частотами w1 и w2 , незначительно отличающимися друг от друга (W = ½w1- w2½ .
6. Определить частоту колебаний nx по фигурам Лиссажу. Для этого включить генератор ГЗ на Y-вход осциллографа, а генератор ГX — на Х-вход и несколько раз определять частоту nx по разным фигурам Лиссажу. Найти .
7. Сравнить значения , полученные разными методами.
1. Каковы особенности сложения гармонических колебаний систем с несколькими степенями свободы?
2. При каких условиях наблюдаются фигуры Лиссажу?
3. Можно ли наблюдать биения на экране осциллографа, подключив выход звукового генератора на Х-вход осциллографа, а контрольный сигнал — на Y-вход?
4. Как можно представить в виде колебаний равномерное движение точки по окружности?
1. Кембровский Г. С. Приближённые вычисления и методы обработки результатов измерений в физике. — Минск: Изд-во "Университетское", 1990. -189 с.
2. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1986. -320 с.
3. Петровский И. И. Механика. — Минск: Изд-во БГУ, 1973. -352 с.
4. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1982. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. -432 с.
5. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.:Наука, 1989 Т.1 Механика.-576 с.
6. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975. -560 с.
7. Физический практикум. Под ред. Кембровского Г. С. — Минск: Изд-во "Университетское", 1986. -352 с.
Цель работы: изучение сложения колебаний одинакового и взаимно перпендикулярного направлений.
Приборы и принадлежности: два звуковых генератора, электронный осциллограф, два коаксиальных кабеля.
Элементы теории и метод эксперимента
Колебания — движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени .
Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические (синусоидальные или косинусоидальные) колебания, которые могут быть запи-саны в виде:
, (1)
Где X — изменяющаяся с течением времени величина; А — Амплитуда; 
— фаза; 
— ее начальное значение; 
— циклическая частота.
В случае строго гармонических колебаний величины А, , не зависят от времени.
1. Сложение гармонических колебаний одинакового направления
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты на примере колеблющейся точки. Смещение Х Точки будет суммой смещений 
и 
, которые запишутся следующим образом:
(2)
Представим оба колебания с помощью вращающихся векторов 
и 
(рис. 1). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор 
.
Легко видеть, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций слагаемых векторов
. (3)
Следовательно, вектор представляет собой, результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью 
, что и векторы 
и , так что результирующее движение будет гармоничесиим колебанием с частотой , амплитудой 
и начальной фазой . Из построения видно, что
(4)
Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов.
Рассмотрим несколько наиболее простых случаев сложения гармонических колебаний одинакового направления:
А) циклические частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны:
, 
, 
,
, (5)
Т. е. возникает гармоническое колебание такой же частоты с амплитудой, равной сумме амплитуд слагаемых колебаний;
Б) циклические частоты и амплитуды одинаковы, фазы различны:
, 
,
Где — разность фаз. Тогда, применяя формулу сложения синусов, получаем
. (6)
Возникает гармоническое колебание такой же частоты, но отличающееся по фазе от первичных колебаний на половину разности фаз этих колебаний. Амплитуда
,
Вообще говоря, меньше суммы амплитуды первичных колебаний. Toлько при 
. При 
, где 
;
В) амплитуды одинаковы, циклические частоты мало отличаются друг от друга 
, 
; 
; 
. Тогда
. (7)
Результирующее колебание оказывается не гармоническим, так как оно не соответствует уравнению (1). Однако, учитывая, что
,
Можно считать результирующее колебание почти гармоническим, Имеющим циклическую частоту
,
,
Которая очень медленно периодически изменяется со временем (циклическая частота колебаний амплитуды 
слишком мала, поэтому период колебаний амплитуды 
будет большим).
Такого рода колебания называются биениями. График биений, построенный по уравнению (7), представлен на pиc. 2.
Рис. 2. Результирующие колебания, называемые биениями
Процесс возникновения и характер биений нетрудно представить себе, даже не прибегая к расчетам и рисунку. Вначале фазы слагаемых колебаний совпадают, поэтому результирующая амплитуда максимальна. Затем первое колебание постепенно отстает по фазе от второго и результирующая амплитуда будет меньше суммы амплитуд исходных колебаний. По мере нарастания разности фаз результирующая амплитуда уменьшается.
Сложение одинаково направленных колебаний можно наблюдать на экране электронного осциллографа, если синусоидальные напряжения вида
,
Где U — Мгновенная величина напряжения, 
— амплитудное значение напряжения, подать на вертикально отклоняющие пластины, а на горизонтально отклоняющие пластины — пилообразное напряжение линейной временной развертки.
2. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим несколько случаев сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний:
А) циклические частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны:
, 
,
Где Х И у — Смещения, вызванные первым и вторым колебаниями. Тогда
. (8)
Это уравнение прямой. Следовательно, результирующее колебание совершается вдоль прямой, проходящей через положение равновесия под углом 
к направлению первого колебания (рис. 3)
. (9)
Рис. 3. Диаграмма, характеризующая результирующее колебание вдоль прямой
Величина результирующего смещения
, (10)
Где 
— амплитуда результирующего смещения;
Б) циклические частоты одинаковы, фазы различаются на 
, амплитуды различны
(11)
. (12)
Это уравнение эллипса. Следовательно, результирующее движение совершается по траектории в виде эллипса, полуоси которого равны амплитудам слагаемых колебаний (рис. 4).
Рис. 4. Диаграмма, характеризующая результирующее колебание в виде эллипса
Сопоставляя уравнение (12) и рис. 4, нетрудно установить, что точка при движении будет двигаться по часовой стрелке. Как видно из уравнения (10), в начальный момент 
а 
, т. е. тело находится в вершине эллипса. С течением времени Х Возрастает, а У Уменьшается, что согласно рис. 4 соответствует движению тела по эллипсу в направлении часовой стрелки. Очевидно, что при разности фаз, равной 
, точка описывает такой же эллипс против часовой стрелки. Если 
, уравнение эллипса переходит в уравнение окружности
. (13)
Если слагаемые Колебания имеют различную частоту, То траектории результирующего движения будут весьма сложными и разнообразными по форме — фигуры Лиссажу (см. таблицу).
Описание Формы траекторий можно непосредственно наблюдать на экране электронного осциллографа. Если на одну из пар отклоняющих пластин подать синусоидальное напряжение
,
А на другую пару
,
То при этом электронный луч будет участвовать одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях и траекторией результирующего движения при рациональном отношении частот будет одна из фигур Лиccажy.
В данной лабораторной работе для изучения сложения электрических колебаний применяются звуковые генераторы как источники этих колебаний и электронный осциллограф.
Прежде чем приступить к выполнению лабораторной работы, внимательно изучите теоретическую часть лабораторной работы №1!
Цель работы: изучение сложения колебаний одинакового и взаимно перпендикулярного направлений.
Приборы и принадлежности: два звуковых генератора, электронный осциллограф, два коаксиальных кабеля.
Элементы теории и метод эксперимента
Колебания — движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени .
Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические (синусоидальные или косинусоидальные) колебания, которые могут быть запи-саны в виде:
, (1)
Где X — изменяющаяся с течением времени величина; А — Амплитуда; — фаза; — ее начальное значение; — циклическая частота.
В случае строго гармонических колебаний величины А, , не зависят от времени.
1. Сложение гармонических колебаний одинакового направления
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты на примере колеблющейся точки. Смещение Х Точки будет суммой смещений и , которые запишутся следующим образом:
(2)
Представим оба колебания с помощью вращающихся векторов и (рис. 1). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор .
Легко видеть, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций слагаемых векторов
. (3)
Следовательно, вектор представляет собой, результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью , что и векторы и , так что результирующее движение будет гармоничесиим колебанием с частотой , амплитудой и начальной фазой . Из построения видно, что
(4)
Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов.
Рассмотрим несколько наиболее простых случаев сложения гармонических колебаний одинакового направления:
А) циклические частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны:
, , ,
, (5)
Т. е. возникает гармоническое колебание такой же частоты с амплитудой, равной сумме амплитуд слагаемых колебаний;
Б) циклические частоты и амплитуды одинаковы, фазы различны:
, ,
Где — разность фаз. Тогда, применяя формулу сложения синусов, получаем
. (6)
Возникает гармоническое колебание такой же частоты, но отличающееся по фазе от первичных колебаний на половину разности фаз этих колебаний. Амплитуда
,
Вообще говоря, меньше суммы амплитуды первичных колебаний. Toлько при . При , где ;
В) амплитуды одинаковы, циклические частоты мало отличаются друг от друга , ; ; . Тогда
. (7)
Результирующее колебание оказывается не гармоническим, так как оно не соответствует уравнению (1). Однако, учитывая, что
,
Можно считать результирующее колебание почти гармоническим, Имеющим циклическую частоту
,
,
Которая очень медленно периодически изменяется со временем (циклическая частота колебаний амплитуды слишком мала, поэтому период колебаний амплитуды будет большим).
Такого рода колебания называются биениями. График биений, построенный по уравнению (7), представлен на pиc. 2.
Рис. 2. Результирующие колебания, называемые биениями
Процесс возникновения и характер биений нетрудно представить себе, даже не прибегая к расчетам и рисунку. Вначале фазы слагаемых колебаний совпадают, поэтому результирующая амплитуда максимальна. Затем первое колебание постепенно отстает по фазе от второго и результирующая амплитуда будет меньше суммы амплитуд исходных колебаний. По мере нарастания разности фаз результирующая амплитуда уменьшается.
Сложение одинаково направленных колебаний можно наблюдать на экране электронного осциллографа, если синусоидальные напряжения вида
,
Где U — Мгновенная величина напряжения, — амплитудное значение напряжения, подать на вертикально отклоняющие пластины, а на горизонтально отклоняющие пластины — пилообразное напряжение линейной временной развертки.
2. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим несколько случаев сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний:
А) циклические частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны:
, ,
Где Х И у — Смещения, вызванные первым и вторым колебаниями. Тогда
. (8)
Это уравнение прямой. Следовательно, результирующее колебание совершается вдоль прямой, проходящей через положение равновесия под углом к направлению первого колебания (рис. 3)
. (9)
Рис. 3. Диаграмма, характеризующая результирующее колебание вдоль прямой
Величина результирующего смещения
, (10)
Где — амплитуда результирующего смещения;
Б) циклические частоты одинаковы, фазы различаются на , амплитуды различны
(11)
. (12)
Это уравнение эллипса. Следовательно, результирующее движение совершается по траектории в виде эллипса, полуоси которого равны амплитудам слагаемых колебаний (рис. 4).
Рис. 4. Диаграмма, характеризующая результирующее колебание в виде эллипса
Сопоставляя уравнение (12) и рис. 4, нетрудно установить, что точка при движении будет двигаться по часовой стрелке. Как видно из уравнения (10), в начальный момент а , т. е. тело находится в вершине эллипса. С течением времени Х Возрастает, а У Уменьшается, что согласно рис. 4 соответствует движению тела по эллипсу в направлении часовой стрелки. Очевидно, что при разности фаз, равной , точка описывает такой же эллипс против часовой стрелки. Если , уравнение эллипса переходит в уравнение окружности
. (13)
Если слагаемые Колебания имеют различную частоту, То траектории результирующего движения будут весьма сложными и разнообразными по форме — фигуры Лиссажу (см. таблицу).
Описание Формы траекторий можно непосредственно наблюдать на экране электронного осциллографа. Если на одну из пар отклоняющих пластин подать синусоидальное напряжение
,
А на другую пару
,
То при этом электронный луч будет участвовать одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях и траекторией результирующего движения при рациональном отношении частот будет одна из фигур Лиccажy.
В данной лабораторной работе для изучения сложения электрических колебаний применяются звуковые генераторы как источники этих колебаний и электронный осциллограф.
Прежде чем приступить к выполнению лабораторной работы, внимательно изучите теоретическую часть лабораторной работы №1!