Меню Закрыть

Шестеричная система счисления примеры

Сложение и вычитание

В системе с основанием для обозначения нуля и первых с-1 натуральных чисел служат цифры 0, 1, 2, . с – 1. Для выполнения операции сложения и вычитания составляется таблица сложения однозначных чисел.

Таблица 1 – Сложение в двоичной системе

Например, таблица сложения в шестеричной системе счисления:

Таблица 2 – Сложение в шестеричной системе

Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления с основанием с, производится так же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием таблицы сложения данной системы. Складываемые числа подписываются одно за другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется под горизонтальной чертой, проведенной ниже слагаемых чисел. Так же как при сложении чисел в десятичной системе, в случае, когда сложение цифр в каком-либо разряде дает число двузначное, в результат пишется последняя цифра этого числа, а первая цифра прибавляется к результату сложения следующего разряда.

Можно обосновать указанное правило сложения чисел, используя представление чисел в виде:

Разберем один из примеров:

Последовательно выделяем слагаемые по степени основания 7, начиная с низшей, нулевой, степени.

Вычитание производится также по разрядам, начиная с низшего, причем если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего разряда уменьшаемого "занимается" единица и из полученного двузначного числа вычитается соответствующая цифра вычитаемого; при вычитании цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру уменьшаемого на единицу, если же эта цифра оказалась нулем (и тогда уменьшение ее невозможно), то следует "занять" единицу из следующего разряда и затем произвести уменьшение на единицу. Специальной таблицы для вычитания составлять не нужно, так как таблица сложения дает результаты вычитания.

Умножение и деление

Для выполнения действий умножения и деления в системе с основанием с составляется таблица умножения однозначных чисел.

Таблица 3 – Умножение однозначных чисел

Таблица 4 – Умножение в шестеричной системе счисления

Умножение двух произвольных чисел в системе с основанием с производится так же, как в десятичной системе – "столбиком", то есть множимое умножается на цифру каждого разряда множителя (последовательно) с последующим сложением этих промежуточных результатов.

При умножении многозначных чисел в промежуточных результатах индекс основания не ставится:

Деление в системах с основанием с производится углом, так же, как в десятичной системе счисления. При этом используется таблица умножения и таблица сложения соответствующей системы. Сложнее дело обстоит, если результат деления не является конечной с-ичной дробью (или целым числом). Тогда при осуществлении операции деления обычно требуется выделить непериодическую часть дроби и ее период. Умение выполнять операцию деления в с-ичной системе счисления полезно при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Читайте также:  Стоит ли строить дом из бруса

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Существует много различных способов перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Пусть дано число N=an an-1. . . a1 а0 р.

Для получения записи числа N в системе с основанием h следует представить его в виде:

Войти

Шестеричная система счисления

На русских счетах есть особый ряд из четырёх костяшек. Выше находятся рубли, ниже два ряда копеек (Существует ещё вариант с тремя рядами снизу. Он помогает считать тысячные, но это только для математиков). Особый ряд нужен для подсчёта четвертинок. Число десять легко поделить пополам – для этого служат чёрные костяшки в середине ряда, но уже деление на четыре части требует манипуляций на двух рядах. Про деление на три лучше и не вспоминать, оно в десятичной системе записывается бесконечным числом цифр, а значит не может быть сделано на счётах.

В этот момент популяризаторы математики тяжело вздыхают: "Как жаль, что у человека на руке пять пальцев, а не шесть. Сложись иначе и мы бы считали не десятками, а дюжинами". Действительно, дюжина существенно удобнее в быту, поскольку легко делится на два, на три и на четыре. Она, конечно, не делится на пять, но деление на пять частей довольно редкий случай в торговле или в разрезании листа бумаги на открытки.

Надо заметить, что пять пальцев действительно повлияли на традиционные системы счёта.

Возьмём к примеру русский язык: один дом, два дом(А), три дом (А), четыре дом (А), но: пять дом(ОВ).

Римская запись чисел колебалась между пятью и десятью: I,II,III,IIII (IV – сокращённая на одну черту запись), V. Потом комбинации V и I, затем X. Продолжая дальше мы встречаем десять пятёрок L и десять десяток C. Пять пятёрок римляне пропустили, а зря.

Похожая система была и у индейцев майя, которые комбинировали единицы точки и пятёрки чёрточки:

Сегодня, пока я лежал в кресле стоматолога и пытался занять себя чем-нибудь полезным, мне в голову пришла мысль, что счёт шестёрками на пальцах даже более естественен, чем счёт пятёрками.

Читайте также:  Isp internet service provider

Подумайте об обычной десятичной записи: у нас есть цифры от 0 до 9, а второй разряд мы используем для записи первого числа (10), для которого у нет своей цифры.

Теперь следите за руками. Вот естественная запись чисел от нуля до шести

Дальше всё продолжается в том же духе. Вот семь, одиннадцать и искомая дюжина.

Если вы попробуете выполнить на пальцах сложение и вычитание, то обнаружите, что они происходят естественнее, чем если бы мы откладывали на левой руке традиционные пятёрки.

Предположим, что нам надо прибавить к пяти единицу. При счёте пятёрками мы показываем на левой руке один палец (полная пятёрка), сжимаем правую руку в кулак, а потом открываем на ней же один палец. При счёте шестёрками, мы открываем палец на левой руке, сжимаем правую в кулак и . всё! Получается, что при счёте шестёрками нам надо выполнить на одну операцию меньше, а значит меньше шанс ошибиться. С вычитанием та же история – одним загибанием пальца меньше.

Если бы у французских математиков, вводивших революционную метрическую систему мер было бы чуть больше воображения, то наполеоновская Европа перешла бы на двенадцатеричную систему мер, а дальше к ней с удовольствием подтянулись бы и англоговорящие страны, поскольку в шиллинге 12 пенсов, в футе 12 дюймов и это естественно!

В комментариях подсказали про ещё один (десятичный) вариант "Кафрский счёт"

Войти

Шестеричная система счисления

На русских счетах есть особый ряд из четырёх костяшек. Выше находятся рубли, ниже два ряда копеек (Существует ещё вариант с тремя рядами снизу. Он помогает считать тысячные, но это только для математиков). Особый ряд нужен для подсчёта четвертинок. Число десять легко поделить пополам – для этого служат чёрные костяшки в середине ряда, но уже деление на четыре части требует манипуляций на двух рядах. Про деление на три лучше и не вспоминать, оно в десятичной системе записывается бесконечным числом цифр, а значит не может быть сделано на счётах.

В этот момент популяризаторы математики тяжело вздыхают: "Как жаль, что у человека на руке пять пальцев, а не шесть. Сложись иначе и мы бы считали не десятками, а дюжинами". Действительно, дюжина существенно удобнее в быту, поскольку легко делится на два, на три и на четыре. Она, конечно, не делится на пять, но деление на пять частей довольно редкий случай в торговле или в разрезании листа бумаги на открытки.

Читайте также:  Чем склеить кинопленку 8 мм

Надо заметить, что пять пальцев действительно повлияли на традиционные системы счёта.

Возьмём к примеру русский язык: один дом, два дом(А), три дом (А), четыре дом (А), но: пять дом(ОВ).

Римская запись чисел колебалась между пятью и десятью: I,II,III,IIII (IV – сокращённая на одну черту запись), V. Потом комбинации V и I, затем X. Продолжая дальше мы встречаем десять пятёрок L и десять десяток C. Пять пятёрок римляне пропустили, а зря.

Похожая система была и у индейцев майя, которые комбинировали единицы точки и пятёрки чёрточки:

Сегодня, пока я лежал в кресле стоматолога и пытался занять себя чем-нибудь полезным, мне в голову пришла мысль, что счёт шестёрками на пальцах даже более естественен, чем счёт пятёрками.

Подумайте об обычной десятичной записи: у нас есть цифры от 0 до 9, а второй разряд мы используем для записи первого числа (10), для которого у нет своей цифры.

Теперь следите за руками. Вот естественная запись чисел от нуля до шести

Дальше всё продолжается в том же духе. Вот семь, одиннадцать и искомая дюжина.

Если вы попробуете выполнить на пальцах сложение и вычитание, то обнаружите, что они происходят естественнее, чем если бы мы откладывали на левой руке традиционные пятёрки.

Предположим, что нам надо прибавить к пяти единицу. При счёте пятёрками мы показываем на левой руке один палец (полная пятёрка), сжимаем правую руку в кулак, а потом открываем на ней же один палец. При счёте шестёрками, мы открываем палец на левой руке, сжимаем правую в кулак и . всё! Получается, что при счёте шестёрками нам надо выполнить на одну операцию меньше, а значит меньше шанс ошибиться. С вычитанием та же история – одним загибанием пальца меньше.

Если бы у французских математиков, вводивших революционную метрическую систему мер было бы чуть больше воображения, то наполеоновская Европа перешла бы на двенадцатеричную систему мер, а дальше к ней с удовольствием подтянулись бы и англоговорящие страны, поскольку в шиллинге 12 пенсов, в футе 12 дюймов и это естественно!

В комментариях подсказали про ещё один (десятичный) вариант "Кафрский счёт"

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code

Adblock detector