Содержание
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
Так как $lim_left(sqrt[3]<5x-12>-sqrt[3]
ight)=0$ и $lim_(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. Формула №1 здесь уже не поможет, ибо домножение на $sqrt[3]<5x-12>+sqrt[3]$ приведёт к такому результату:
Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $frac<0><0>$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может "убрать" только третья степень, посему нужно использовать формулу №2. Подставив в правую часть этой формулы $a=sqrt[3]<5x-12>$, $b=sqrt[3]$, получим:
Итак, после домножения на $sqrt[3]<(5x-12)^2>+sqrt[3]<5x-12>cdot sqrt[3]+sqrt[3]<(x+4)^2>$ разность кубических корней исчезла. Именно выражение $sqrt[3]<(5x-12)^2>+sqrt[3]<5x-12>cdot sqrt[3]+sqrt[3]<(x+4)^2>$ будет сопряжённым к выражению $sqrt[3]<5x-12>-sqrt[3]$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $sqrt[3]<5x-12>-sqrt[3]$:
Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (см. формулу №1). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:
Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим формулу №4. Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, – разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе – с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $lim_frac<sqrt[3]
Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум.
Так как $lim_(sqrt[4]<5x+6>-2)=0$ и $lim_(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $frac<0><0>$. Для раскрытия оной неопределённости используем формулу №4. Сопряжённое выражение к числителю имеет вид
Домножая числитель и знаменатель дроби $frac<sqrt[4]<5x+6>-2>$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:
Так как $5x-10=5cdot(x-2)$ и $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. формулу №2), то:
Так как $lim_(sqrt[5]<3x-5>-1)=0$ и $lim_(sqrt[3]<3x-5>-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $frac<0><0>$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $frac<sqrt[5]
Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой – третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них – число $15$. Его называют наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^<15>=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями:
Корни исчезли, остались лишь степени. И дробь $frac<sqrt[5]<3x-5>-1><sqrt[3]<3x-5>-1>$ станет такой:
Однако это ещё не всё. Переменная $x o 2$, но к чему стремится переменная $t$? Рассудим так: если $t^<15>=3x-5$, то $t=sqrt[15]<3x-5>$. Так как $x o 2$, то $<(3x-5)> o 1$, $sqrt[15]<3x-5> o 1$, посему $t o 1$. Теперь можем вернуться к нашему пределу:
Корни исчезли, – но неопределённость $frac<0><0>$ осталась. Чтобы убрать её, нужно учесть, что при $t=1$ имеем $t^3-1=1^3-1=0$ и $t^5-1=1^5-1=0$. Из сказанного следует, что $t=1$ — корень многочленов $t^3-1$ и $t^5-1$. Следовательно, оные многочлены делятся на $t-1$. Разделим многочлен $t^5-1$ на $t-1$ с помощью схемы Горнера:
Результаты применения схемы Горнера можно записать так: $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$. К многочлену $t^3-1$ можно также применить схему Горнера, но лучше использовать формулу №2: $t^3-1=t^3-1^3=(t-1)(t^2+t+1)$. Вернёмся к рассматриваемому пределу:
Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:
Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи
Тип 1 $ igg [frac<0> <0>igg ] $
Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.
| Пример 1 |
| Найти предел с корнем $$ lim limits_ |
| Решение |
Подставляем $ x o 4 $ в подпределельную функцию:
Получаем неопределенность $ [frac<0><0>] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+sqrt $
Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду:
Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:
Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Тип 2 $ igg [frac<infty> <infty>igg ] $
Пределы с корнем такого типа, когда $ x o infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.
| Пример 2 |
| Решить предел с корнем $$ lim limits_ |
| Решение |
Вставляем $ x o infty $ в предел и получаем $ [frac<infty><infty>] $. Определяем, что в числителе старшая степень это $ x^2 $, а в знаменателе $ sqrt
Теперь выполняем сокращение:
Снова подставляем $ x o infty $ в предел, имеем:
Тип 3 $ igg [infty-infty igg ] $
Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.
| Пример 3 |
| Вычислить предел корня $$ lim limits_ |
| Решение |
При $ x o infty $ в пределе видим:
После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:
Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $
После раскрытия скобок и упрощения получаем:
Далее выносим $ x $ за скобки и сокращаем:
Снова подставляем $ x o infty $ в предел и вычисляем его:
Методы решений
Для вычисления пределов с корнями, применяются приемы и методы, аналогичные методам вычисления пределов с многочленами (см. «Решение пределов с дробями из многочленов»). При этом возможны следующие дополнительные приемы, специфичные для функций с корнями:
1) убрать корни с помощью подстановки, применяя теорему о пределе сложной функции; Примеры ⇓
2) разделить числитель и знаменатель на x s (в случае неопределенности вида ∞/∞ при x → ∞ ), где s – некоторое подобранное число; Пример ⇓
3) выразить бесконечно малые функции, содержащие корни, через бесконечно малые линейные функции, используя приведенные ниже формулы (то же самое в случае разности бесконечно больших функций); Примеры ⇓
4) иногда удобно бесконечно малую функцию преобразовать в сумму или разность бесконечно малых функций, пределы от которых легко находятся. Пример ⇓
В последних двух случаях применяются следующие формулы:
;
;
;
. . . . . . . .
.
Например:
;
;
.
Эти же формулы применяют и для раскрытия разности бесконечно больших функций: .
Примеры решений
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих примеров.
Найти предел последовательности:
решение ⇓ ;
найти следующие пределы функций с корнями:
⇓ , ⇓ , ⇓ , ⇓ , ⇓ .
Решение подстановкой
Пример 1
Подставим . Тогда .
При . Мы имеем неопределенность вида .
Замечаем, что от корня можно освободится, если сделать подстановку . Отсюда ; при .
Тогда функцию за знаком предела можно представить как сложную:
,
где , .
Далее необходимо применить теорему о пределе сложной функции. Для ее применения должны выполняться два условия:
1) должны существовать пределы , ;
2) должна существовать такая проколотая окрестность точки , на которой значения функции не равны .
В нашем случае функция непрерывна на всей области определения . Поэтому
.
Предел функции мы вычислим позже.
Рассмотрим условие 2). Оно является важным, если функция не является непрерывной в точке . В нашем случае не определена при . Поэтому, если бы в любой проколотой окрестности точки , существовали такие точки , для которых , то сложная функция была бы не определена в этих точках и поэтому не имела бы предела. Однако, если существует такая окрестность точки , на которой функция строго монотонна, то условие 2) выполняется автоматически. В нашем случае, строго возрастает на всей области определения. Поэтому второе условие выполнено. В самом деле, поскольку строго монотонна, то она может принимать значение только в одной точке. Это точка , которая не принадлежит ни одной проколотой окрестности точки . А если это была бы другая точка, то мы могли бы сузить проколотую окрестность, чтобы эта точка оказалась за ее пределами.
Теперь вычисляем второй предел:
.
Он не содержит корней. То есть мы свели задачу к пределу от разности дробей многочленов. Применяем методы, изложенные на странице «Решение пределов с дробями из многочленов».
Разложим знаменатель на множители и приводим дроби к общему знаменателю:
;
.
Делим числитель и знаменатель на . При имеем:
.
Находим предел:
.
Пример 2
Все примеры ⇑ Найти предел последовательности:
.
Преобразуем элемент заданной последовательности, воспользовавшись свойствами корней:
.
Далее, если мы найдем предел функции
,
то согласно определению предела функции по Гейне, искомый предел заданной последовательности будет равняться этому пределу: , поскольку при .
Находим предел отношения многочленов, выделяя и сокращая в числителе и знаменателе множитель :
.
Неопределенность ∞ / ∞
Пример 3
Все примеры ⇑ Найти предел отношения корней:
.
Здесь, при числитель и знаменатель стремятся к . У нас неопределенность вида . Для ее раскрытия, последовательно выносим бесконечно большую часть в числителе и знаменателе за скобки. При имеем:
;
;
;
;
.
Линеаризация бесконечно малых (больших) функций
Пример 4
Все примеры ⇑ Найти предел дроби с корнями:
.
Подставим в числитель и знаменатель:
;
.
Числитель и знаменатель обращаются в нуль. Мы имеем неопределенность вида 0/0 .
Для ее раскрытия, линеаризуем бесконечно малые функции, используя формулу:
(П4.1) .
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.
Здесь , .
Пример 5
Подставим в числитель и знаменатель:
;
.
Мы имеем неопределенность вида 0/0 .
Чтобы упростить вычисления, здесь удобно представить бесконечно малые функции в числителе и знаменателе в виде сумм и разностей других бесконечно малых функций:
(П5.1) .
Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где .
Заметим, что .
Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где .
Заметим, что .
Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где .
.
Наконец, применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где .
.
Подставляем полученные выражения в (П5.1):
.
Делим числитель и знаменатель на x . В результате мы освобождаемся от неопределенности и находим предел непрерывной функции:
.
Можно было записать и так:
.
После чего вычислить пределы:
.
Пример 6
Все примеры ⇑ Найти предел функции с корнями при x стремящемся к бесконечности:
.
Поскольку, при , и , то мы имеем неопределенность вида +∞ – (+∞) .
Применим формулу:
(П6.1) .
Подставим :
.
Отсюда, при имеем:
(П6.2) .
В числителе опять неопределенность +∞ – (+∞) . Применяем формулу (П6.1) еще раз. Подставим :
.
Отсюда
.
Подставим в (П6.2):
,
где .
Теперь у нас неопределенность вида ∞/∞ . Для раскрытия этой неопределенности, преобразуем знаменатель. Выделим бесконечно большую часть и вынесем ее за скобки. При имеем:
;
;
;
;
;
.
Делим числитель и знаменатель в функции на . При имеем:
.
Находим предел.
При , ,
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математики. Том 1. Москва, 1957.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва, 1997.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 02-02-2019 Изменено: 06-02-2019