Разложение правильной дроби на простейшие

Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации.

Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями.

Различают следующие виды простейших дробей:

1. 
2. 
3. 
4. 

где A , M , N , a , p , q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов.

Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?

Приведем математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.

К примеру, требуетя взять интеграл от дробно рациональной функции . После разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, все сводится к достаточно простым интегралам

Но об интегралах в другом разделе.

Разложить дробь на простейшие.

Вообще отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят разложение правильной дробно рациональной функции.

Выполним деление столбиком (уголком):

Следовательно, исходная дробь примет вид:

Таким образом, на простейшие дроби будем раскладывать

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов.

Во-первых, раскладываем знаменатель на множители.

Здесь все методы хороши – от вынесения за скобки, применения формул сокращенного умножения, до подбора корня и последующего деления столбиком (при знаменателе в виде многочлена с рациональными коэффициентами степени выше второй). Об этом подробнее в разделе теории – разложение многочлена на множители.

В нашем примере все просто – выносим х за скобки.

Во-вторых, раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Здесь стоит рассмотреть виды выражений, которые могут быть у Вас в знаменателе.

Если в знаменателе что-то вроде этого , количество линейных множителей роли не играет, (будь их 2 или 22 ), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого типа:

a , b , c и d — числа, A , B , C и D — неопределенные коэффициенты.

Если в знаменателе что-то вроде этого количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей (хоть 221ая степень), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого и второго типов:

a , b , c — числа, — неопределенные коэффициенты.

Возьмите на заметку: какая степень – столько и слагаемых.

Если в знаменателе что-то вроде этого количество квадратичных выражений роли не играет, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего типа:

p , q , r и s — числа, P , Q , R и S — неопределенные коэффициенты.

Если в знаменателе что-то вроде этого количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего и четвертого типов:

p , q , r и s — числа, — неопределенные коэффициенты.

ОБЫЧНО ВСТРЕЧАЕТСЯ КОМБИНАЦИЯ ЭТИХ ВАРИАНТОВ (как правило, довольно простая).

Если собрать все в кучу ,то дробь представится в виде суммы простейших дробей всех четырех типов:

Хватит теории, на практике все равно понятнее.

Пришло время вернуться к примеру. Дробь раскладывается в сумму простейших дробей первого и третьего типов с неопределенными коэффициентами A , B и C .

В-третьих, приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х .

То есть, пришли к равенству:

При x отличных от нуля это равенство сводится к равенству двух многочленов

А два многочлена являются равными тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают.

В-четвертых, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х .

При этом получаем систему линейных алгебраических уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных:

В-пятых, решаем полученную систему уравнений любым способом (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры), который нравится Вам, находим неопределенные коэффициенты.

В-шестых, записываем ответ.

Пожалуйста, не ленитесь, проверяйте ответ, приводя к общему знаменателю полученное разложение.

Метод неопределенных коэффициентов является универсальным способом при разложении дроби на простейшие.

Очень удобно использовать метод частных значений, если знаменатель представляет собой произведение линейных множителей, то есть имеет вид схожий с

Рассмотрим на примере, чтобы показать плюсы этого метода.

Разложить дробь на простейшие.

Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то производить деление нам не придется. Переходим к разложению знаменателя на множители.

Для начала выносим х за скобки.

Находим корни квадратного трехчлена (например, по теореме Виета):

Следовательно, квадратный трехчлен можно записать как

То есть, знаменатель примет вид

При данном знаменателе, исходная дробь раскладывается в сумму трех простейших дробей первого типа с неопределенными коэффициентами:

Полученную сумму приводим к общему знаменателю, но в числителе при этом скобки не раскрываем и не приводим подобные при А , В и С (на этом этапе как раз отличие от метода неопределенных коэффициентов):

Таким образом, пришли к равенству:

А теперь, для нахождения неопределенных коэффициентов, начинаем подставлять в полученное равенство «частные значения», при которых знаменатель обращается в ноль, то есть х=0 , х=2 и х=3 для нашего примера.

При х=0 имеем:

При х=2 имеем:

При х=3 имеем:

Как видите, различие метода неопределенных коэффициентов и метода частных значений лишь в способе нахождения неизвестных. Эти методы можно совмещать для упрощения вычислений.

Разложить дробно рациональное выражение на простейшие дроби.

Так как степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя и знаменатель уже разложен на множители, то исходное выражение представится в виде суммы простейших дробей следующего вида:

Приводим к общему знаменателю:

Приравниваем числители.

Очевидно, что нулями знаменателя являются значения х=1 , х=-1 и х=3 . Используем метод частных значений.

При х=1 имеем:

При х=-1 имеем:

При х=3 имеем:

Осталось найти неизвестные и

Для этого подставляем найденные значения в равенство числителей:

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых при одинаковых степенях х приходим к равенству двух многочленов:

Приравниваем соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях, тем самым составляем систему уравнений для нахождения оставшихся неизвестных и . Получаем систему из пяти уравнений с двумя неизвестными:

Из первого уравнения сразу находим , из второго уравнения

В итоге получаем разложение на простейшие дроби:

Если бы мы сразу решили применить метод неопределенных коэффициентов, то пришлось бы решать систему пяти линейных алгебраических уравнений с пятью неизвестными. Применение метода частных значений позволило легко отыскать значения трех неизвестных из пяти, что значительно упростило дальнейшее решение.

Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.

Простые дроби имеют название элементарных дробей.

Типы дробей

1. A x — a ;
2. A ( x — a ) n ;
3. M x + N x 2 + p x + q ;
4. M x + N ( x 2 + p x + q ) n .

A , M , N , a , p , q из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.

При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.

Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x — 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x — ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x — 3 2 ∫ d ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 — 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x — 3 2 ln x 2 + 1 — 2 a r c tan ( x ) + C

Произвести разложение дроби вида — 2 x + 3 x 3 + x .

Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.

Применим деление углом. Получаем, что

Отсюда следует, что дробь примет вид

2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + — 2 x + 3 x 3 + x

Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен — 2 x + 3 x 3 + x .

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:

• Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x 3 + x = x x 2 + 1 для упрощения выносят х за скобки.
• Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Рассмотрим на нескольких примерах:

Когда в знаменателе имеется выражение вида ( x — a ) ( x — b ) ( x — c ) ( x — d ) , количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа A x — a + B x — b + C x — c + D x — d , где a , b , c и d являются числами, A , B , C и D – неопределенными коэффициентами.

Когда знаменатель имеет выражение ( x — a ) 2 ( x — b ) 4 ( x — c ) 3 , количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:

A 2 x — a 2 + A 1 x — a + B 4 x — b 4 + B 3 x — b 3 + B 2 x — b 2 + B 1 x — b + + C 3 x — c 3 + C 2 x — c 2 + C 1 x — c

где имеющиеся a , b , c являются числами, а A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , C 1 , C 2 , C 3 — неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.

Когда знаменатель имеет вид типа x 2 + p x + q x 2 + r x + s , тогда количество квадратичных функций значения не имеет, а дробь принимает вид третьего типа P x + Q x 2 + p x + q + R x + S x 2 + r x + s ,где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P , Q , R и S – определенными коэффициентами.

Когда знаменатель имеет вид x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 , количество множителей значения не имеет также , как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида

P 4 x + Q 4 ( x 2 + p x + q ) 4 + P 3 x + Q 3 ( x 2 + p x + q ) 3 + P 2 x + Q 2 ( x 2 + p x + q ) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 ( x 2 + r x + s ) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R 1 , R 2 , S 1 , S 2 — неопределенными коэффициентами.

Когда имеется знаменатель вида ( x — a ) ( x — b ) 3 ( x 2 + p x + q ) ( x 2 + r x + s ) 2 , тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа

A x — a + B 3 x — b 3 + В 2 x — b 2 + В 1 x — b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается в сумму третьим типом вида 2 x — 3 x 3 + x = 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1 , где A , B и C являются неопределенными коэффициентами.

Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что

2 x — 3 x 3 + x = 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A ( x 2 + 1 ) + ( B x + C ) x x ( x 2 + 1 ) = A x 2 + A + B x 2 + C x x ( x 2 + 1 ) = = x 2 ( A + B ) + x C + A x ( x 2 + 1 )

Когда х отличен от 0 , тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2 x — 3 = x 2 ( A + B ) + x C + A . Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.

• Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
  A + B = 0 C = 2 A = — 3
• Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A + B = 0 C = 2 A = — 3 ⇔ A = — 3 B = 3 C = 2
• Производим запись ответа:
  2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 — 2 x — 3 x 3 + x = 2 — 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = = 2 — A x + B x + C x 2 + 1 = 2 — — 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x — 3 x + 2 x 2 + 1

Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид

2 + 3 x — 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x ( x 2 + 1 ) — ( 3 x + 2 ) x x ( x 2 + 1 ) = 2 x 3 + 3 x 3 + x

Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.

Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:

x — a x — b x — c x — d .

Произвести разложение дроби 2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x .

По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что

x 3 — 5 x 2 + 6 x = x ( x 2 — 5 x + 6 )

Квадратный трехчлен x 2 — 5 x + 6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:

x 1 + x 2 = 5 x 1 · x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2

Запись трехчлена может быть в виде x 2 — 5 x + 6 = ( x — 3 ) ( x — 2 ) .

Тогда изменится знаменатель: x 2 — 5 x 2 + 6 x = x ( x 2 — 5 x + 6 ) = x ( x — 3 ) ( x — 2 )

Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:

2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A x + B x — 3 + C x — 2

Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:

2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A x + B x — 3 + C x — 2 = = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 ) x ( x — 3 ) ( x — 2 )

После упрощения придем к неравенству вида

2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 ) x ( x — 3 ) ( x — 2 ) ⇒ ⇒ 2 x 2 — x — 7 = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 )

Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х = 0 , х = 2 и х = 3 .

Если х = 0 , получим:

2 · 0 2 — 0 — 7 = A ( 0 — 3 ) ( 0 — 2 ) + B · 0 · ( 0 — 2 ) + C · 0 · ( 0 — 3 ) — 7 = 6 A ⇒ A = — 7 6

Если x = 2 , тогда

2 · 2 2 — 2 — 7 = A ( 2 — 3 ) ( 2 — 2 ) + B · 2 · ( 2 — 2 ) + C · 2 · ( 2 — 3 ) — 1 = — 2 C ⇒ C = 1 2

Если x = 3 , тогда

2 · 3 2 — 3 — 7 = A ( 3 — 3 ) ( 3 — 2 ) + B · 3 · ( 3 — 2 ) + C · 3 · ( 3 — 3 ) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3

Ответ: 2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = A x + B x — 3 + C x — 2 = — 7 6 · 1 x + 8 3 · 1 x — 3 + 1 2 · 1 x — 2

Метод коэффициентов и метод частных значений отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.

Произвести разложение выражения x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 на простейшие дроби.

По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C ( x — 3 ) 3 + C ( x — 3 ) 2 + C x — 3

Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C ( x — 3 ) 3 + C ( x — 3 ) 2 + C x — 3 = = A ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + B ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + + C 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3

Приравняем числители и получим, что

x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + B ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 + + C 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2

Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х = 1 , х = — 1 и х = 3 . Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:

— 5 = — 16 A ⇒ A = 5 16

— 15 = 128 B ⇒ B = — 15 128

157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8

Отсюда следует, что нужно найти значения C 1 и C 3 .

Поэтому подставим полученный значения в числитель, тогда

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 = = 5 16 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 — 15 128 ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 + 157 8 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2

Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 — 85 64 + C 2 — 6 C 1 + + x 2 673 32 — 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 — C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 — 9 C 1 — 3997 128

Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C 1 и C 3 . Теперь необходимо решить систему:

25 128 + C 1 = 1 — 85 64 + C 2 — 6 C 1 = 3 673 32 — 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 — C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 — 9 C 1 — 3997 128 = 11

Первое уравнение дает возможность найти C 1 = 103 128 , а второе C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 · 103 128 = 293 32 .

Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C 3 x — 3 3 + C 2 x — 3 2 + C 1 x — 3 = = 5 16 1 x — 1 — 15 128 1 x + 1 + 157 8 · 1 x — 3 3 + 293 32 1 x — 3 2 + 103 128 1 x — 3

При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.

Пусть у нас имеется правильная рациональная дробь многочленов от переменной x :
,
где Р_m ( x ) и Q_n ( x ) – многочлены степеней m и n , соответственно, m . Мы считаем, что нам известно разложение многочлена Q_n ( x ) на множители:
Q_n ( x ) = s ( x-a ) n_a ( x-b ) n_b . ( x 2 +ex+f ) n_e ( x 2 +gx+k ) n_g . .
См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>>
Примеры разложения многочленов на множители >>>

Далее мы приводим наиболее эффективные методы разложения правильной рациональной дроби на простейшие.

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие следующий:
.
Здесь A_i, B_i, E_i, . – действительные числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно определить.

Например,
.
Здесь A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.

Методы разложения рациональной дроби на простейшие

Сначала мы записываем разложение с неопределенными коэффициентами в общем виде. . Затем освобождаемся от знаменателей дробей, умножая уравнение на знаменатель исходной дроби Q_n . В результате получаем уравнение, содержащее и слева и справа многочлены от переменной x . Это уравнение должно выполняться для всех значений x . Далее существует три основных метода определения неопределенных коэффициентов.

1) Можно присвоить переменной x определенные значения. Задавая несколько таких значений, мы получим систему уравнений, из которой можно определить неизвестные коэффициенты A_i, B_i, . .
2) Поскольку полученное уравнение и с лева и справа содержит многочлены, то можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Из полученной системы можно определить неопределенные коэффициенты.
3) Можно продифференцировать уравнение и присвоить переменной x определенные значения.

На практике, удобно комбинировать эти методы. Разберем их применение на конкретных примерах.

Пример

Разложить правильную рациональную дробь на простейшие.

1. Устанавливаем общий вид разложения.
(1.1) ,
где A, B, C, D, E – коэффициенты, которые нужно определить.

2. Избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим уравнение на знаменатель исходной дроби ( x– 1) 3 ( x– 2)( x– 3) . В результате получаем уравнение:
(1.2)
.

3. Подставим в (1.2) x = 1 . Тогда x – 1 = 0 . Остается
.
Отсюда .
Подставим в (1.2) x = 2 . Тогда x – 2 = 0 . Остается
.
Отсюда .
Подставим x = 3 . Тогда x – 3 = 0 . Остается
.
Отсюда .

4. Осталось определить два коэффициента: B и C . Это можно сделать тремя способами.
1) Подставить в формулу (1.2) два определенных значения переменной x . В результате получим систему из двух уравнений, из которой можно определить коэффициенты B и C .
2) Открыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x .
3) Продифференцировать уравнение (1.2) и присвоить переменной x определенное значение.

В нашем случае, удобно применить третий способ. Возьмем производную от левой и правой частей уравнения (1.2) и подставим x = 1 . При этом замечаем, что члены, содержащие множители ( x– 1) 2 и ( x– 1) 3 дают нуль, поскольку, например,
, при x = 1 .
В произведениях вида ( x– 1) g ( x ) , дифференцировать нужно только первый множитель, поскольку
.
При x = 1 второй член обращается в нуль.

Дифференцируем (1.2) по x и подставляем x = 1 :
;
;
;
3 = –3 A + 2 B ; 2 B = 3 + 3 A = 6 ; B = 3 .

Итак, мы нашли B = 3 . Остается найти коэффициент C . Поскольку при первом дифференцировании мы отбросили некоторые члены, то дифференцировать второй раз уже нельзя. Поэтому применим второй способ. Поскольку нам нужно получить одно уравнение, то нам не нужно находить все члены разложения уравнения (1.2) по степеням x . Мы выбираем самый легкий член разложения – x 4 .

Выпишем еще раз уравнение (1.2):
(1.2)
.
Раскрываем скобки и оставляем только члены вида x 4 .
.
Отсюда 0 = C + D + E , C = – D – E = 6 – 3/2 = 9/2 .

Сделаем проверку. Для этого определим C первым способом. Подставим в (1.2) x = 0 :
0 = 6 A – 6 B + 6 C + 3 D + 2 E ;
;
. Все правильно.

Определение коэффициента при старшей степени 1/(x–a)

В предыдущем примере мы сразу определили коэффициенты у дробей , , , присваивая, в уравнении (1.2), переменной x значения x = 1 , x = 2 и x = 3 . В более общем случае, всегда можно сразу определить коэффициент при старшей степени дроби вида .

То есть если исходная дробь имеет вид:
,
то коэффициент при равен . Таким образом, разложение по степеням начинается с члена .

Поэтому в предыдущем примере мы сразу могли искать разложение в виде:

.

В некоторых простых случаях, можно сразу определить коэффициенты разложения. Например,

.

Пример с комплексными корнями знаменателя

Теперь разберем пример, в котором знаменатель имеет комплексные корни.

Пусть требуется разложить дробь на простейшие:
.

1. Устанавливаем общий вид разложения:
.
Здесь A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.

2. Освобождаемся от знаменателей дробей. Для этого умножаем уравнение на знаменатель исходной дроби :
(2.1) .

3. Заметим, что уравнение x 2 + 1 = 0 имеет комплексный корень x = i , где i – комплексная единица, i 2 = –1 . Подставим в (2.1), x = i . Тогда члены, содержащие множитель x 2 + 1 дают 0 . В результате получаем:
;
.
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
–A + B = – 1 , A + B = – 1 .
Складываем уравнения:
2 B = –2 , B = –1 , A = –B –1 = 1 – 1 = 0 .
Итак, мы нашли два коэффициента: А = 0 , B = –1 .

4. Заметим, что x + 1 = 0 при x = –1 . Подставим в (2.1), x = –1 :
;
2 = 4 E , E = 1/2 .

5. Далее удобно подставить в (2.1) два значения переменной x и получить два уравнения, из которых можно определить C и D . Подставим в (2.1) x = 0 :
0 = B + D + E , D = –B – E = 1 – 1/2 = 1/2 .

6. Подставим в (2.1) x = 1 :
0 = 2( A + B ) + 4( C + D ) + 4 E ;
2( C + D ) = –A – B – 2 E = 0 ;
C = –D = –1/2 .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-04-2015