В магнитном поле всегда запасена энергия. Она соответствует работе, затрачиваемой на создание поля, и высвобождается, когда поле исчезает.
W | энергия магнитного поля, создаваемого проводником с током, | Джоуль |
---|---|---|
L | индуктивность проводника, | Генри |
I | сила тока в проводнике, | Ампер |
то работа, производимая током за время dt (U и I не постоянны), определяется выражением
— противо-ЭДС, возникающая в результате самоиндукции. Отсюда получаем, что
и полная энергия равна
Это выражение справедливо для магнитного поля любой конфигурации.
В магнитном поле всегда запасена энергия. Она соответствует работе, затрачиваемой на создание поля, и высвобождается, когда поле исчезает.
W | энергия магнитного поля, создаваемого проводником с током, | Джоуль |
---|---|---|
L | индуктивность проводника, | Генри |
I | сила тока в проводнике, | Ампер |
то работа, производимая током за время dt (U и I не постоянны), определяется выражением
— противо-ЭДС, возникающая в результате самоиндукции. Отсюда получаем, что
и полная энергия равна
Это выражение справедливо для магнитного поля любой конфигурации.
Если в контуре с индуктивностью L течёт ток I, то в момент размыкания цепи возникает индукционный ток и им совершается работа. Эта работа совершается за счёт энергии исчезнувшего при размыкании цепи магнитного поля. На основании закона сохранения и превращения энергию магнитного поля превращается главным образом в энергию электрического поля, за счёт которой происходит нагревание проводников. Работа может быть определена из соотношения
Так как , то
Уменьшение энергии магнитного поля равно работе тока, поэтому
(16.18)
Формула справедлива для любого контура и показывает, что энергия магнитного поля зависит от индуктивности контура и силы тока, протекающего по нему.
Рассчитаем энергию однородного магнитного поля длинного соленоида, индуктивность которого определяется по формуле L = μμn 2 V. B этом случае формула энергии примет вид
Учитывая, что напряжённость поля внутри бесконечно длинного соленоида Н=In, получаем
(16.19)
Выразим энергию через индукцию магнитного поля B= μμH:
(16.20)
(16.21)
Вследствие того, что магнитное поле соленоида однородно и локализовано внутри соленоида, энергия распределена по объёму соленоида с постоянной плотностью
(16.22)
Учитывая последние три формулы, получаем
Учитывая правило Ленца, можно заметить, что явление самоиндукции аналогично проявлению инертности тел в механике. Так, вследствие инертности тело не мгновенно приобретает определённую скорость, а постепенно. Так же постепенно происходит и его торможение. То же самое, как мы видели, происходит и с силой тока при самоиндукции. Эту аналогию можно провести и дальше.
и
эти уравнения эквивалентны.
Эквивалентны и формулы
Примеры решения задач
Пример. В магнитном поле, изменяющемся по закону B=Bcosωt (B=5мТл,
ω=5с -1 ), помещён круговой проволочный виток радиусом r=30см, причём нормаль к витку образует с направлением поля угол α=30º. Определите ЭДС индукции, возникающую в витке в момент времени t=10с.
Дано: B=Bcosωt; B=5мТл=5∙10 -3 Тл; ω=5с -1 ; r=30см=0,3 м; α=30º; t=10 с.
Решение: Согласно закону Фарадея,
, (1)
Где магнитный поток, сцепленный с витком при произвольном его расположении относительно магнитного поля.
По условию задачи B=Bcosωt, а площадь кольца S=πr 2 , поэтому
Подставив выражение (2) в формулу (1) и продифференцировав, получаем искомую ЭДС индукции в заданный момент времени:
Пример В соленоиде длиной ℓ=50см и диаметром d=6см сила тока равномерно увеличивается на 0,3А за одну секунду. Определите число витков соленоида, если сила индукционного тока в кольце радиусом 3,1 см из медной проволоки (ρ=17нОм∙м), надетом на катушку, Iк=0,3 А.
Дано: ℓ=50см=0,5 м; d=6см=0,06м; ;rк=3,1см=3.1∙10 -2 м; ρ=17нОм∙м=17∙10 -9 Ом∙м; Iк=0,3 А.
Решение. При изменении силы тока в соленоиде возникает ЭДС самоиндукции
(1)
где — индуктивность соленоида. Подставив это выражение в (1)
с учётом
.
ЭДС индукции, возникающая в одном кольце, в N раз меньше, чем найденное значение ЭДС самоиндукции в соленоиде, состоящем из N витков, т.е.
. (2)
Согласно закону Ома, сила индукционного тока в кольце
, (3)
где — сопротивление кольца. Поскольку ℓк=πd, а Sк=πrк 2 , выражение (3) примет вид
Подставив в эту формулу выражение (2), найдём искомое число витков соленоид
.
Пример В однородном магнитном поле подвижная сторона (её длина ℓ=20см) прямоугольной рамки (см. рисунок) перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью υ=5 м/с. Определите индукцию В магнитного поля, если возникающая в рамке ЭДС индукции εi=0,2 В.
Решение. При движении в магнитном поле подвижной стороны рамки поток Ф вектора магнитной индукции сквозь рамку возрастает, что, согласно закону Фарадея,
, (1)
приводит к возникновению ЭДС индукции.
Поток вектора магнитной индукции, сцепленный с рамкой,
Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что B и ℓ — величины постоянные, получаем
откуда искомая индукция магнитного поля
Пример В однородном магнитном поле с индукцией В=0,2 Тл равномерно вращается катушка, содержащая N=600 витков, с частотой n=6 с -1 . Площадь S поперечного сечения катушка 100см 2 . Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определите максимальную ЭДС индукции вращающейся катушки.
Дано: В=0,2 Тл; N=600; n=6 с -1 ; S=100см 2 =10 -2 м 2 .
Решение. Согласно закону Фарадея,
где Ф – полный магнитный поток, сцеплённый со всеми витками катушки. При произвольном расположении катушки относительно магнитного поля
где круговая частота ω=2πn. Подставив ω в (1), получим
Пример Однослойная длинная катушка содержит N=300 витков, плотно прилегающих друг к другу. Определите индуктивность катушки, если диаметр проволоки d=0,7 мм (изоляция ничтожной толщины) и она намотана на картонный цилиндр радиусом r=1 см. .
Дано: N=300; d=0,7 мм=7∙10 -4 м; r=1 см=10 -2 м.
Решение. Индуктивность катушки
(1)
где Ф – полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками катушки; I — сила тока в катушке.
Учитывая, что полный магнитный поток
(N-число витков катушки; В – магнитная индукция; S – площадь поперечного сечения катушки); магнитная индукция в катушке без сердечника
(μ – магнитная постоянная; ℓ- длина катушки), длина катушки
(d-диаметр проволоки; витки вплотную прилегают друг к другу), площадь поперечного сечения катушки
Получим осле подстановки записанных выражений в формулу (1) искомую индуктивность катушки:
Пример Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации k=0,1 включена в сеть с источником переменного напряжения с ЭДС ε1=220 В. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, определите напряжение U2 на зажимах вторичной обмотки, если её сопротивление R2=5 Ом и сила тока в ней I2=2А.
Решение. В первичной обмотке под действием переменной ЭДС ε1 возникает переменный ток I1, создающий в сердечнике трансформатора переменногый магнитный поток Ф, который пронизывает вторичную обмотку. Согласно закону Ома, для первичной обмотки
где R1 – сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I1R1 при быстропеременных полях мало по сравнению с ε1 и ε2. Тогда можем записать:
(1)
ЭДС взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,
(2)
Из выражений (1) и (2) получаем
,
где — коэффициент трансформации, а знак «-» показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Следовательно, ЭДС во вторичной обмотке
Напряжение на зажимах вторичной обмотки
Пример Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d=0,4 мм имеет длину ℓ=0.5 м и поперечное сечение S=60см 2 . За какое время при напряжении U=10 В и силе тока I=1,5 А в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии поля внутри соленоида? Поле считать однородным.
Дано: d=0,4 мм=0,4∙10 -4 м; ℓ=0,5 м; S=60см 2 =6∙10 -3 м 2 ; I=1,5А; U=10В; Q=W.
Решение. При прохождении тока I при напряжении U в обмотке за время t выделяется теплота
Энергия поля внутри соленоида
(2)
где (N – общее число витков соленоида). Если витки вплотную прилегают друг к другу, то ℓ=Nd, откуда . Подставив выражение для В иN в (2), получаем
. (3)
Согласно условию задачи, Q=W. Приравняв выражение (1) и (3),найдём искомое время:
Пример Катушка без сердечника длиной ℓ=50 см содержит N=200 витков. По катушке течёт ток I=1А. Определите объёмную плотность энергии магнитного поля внутри катушки..
Решение. Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия единицы объёма)
, (1)
где — энергия магнитного поля (L — индуктивность катушки); V=Sℓ- объём катушки (S — площадь катушки; ℓ- длина катушки).
Магнитная индукция поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ равна
.
Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида,
.
Учитывая, что Ф=LI, получаем формулу для индуктивности соленоида:
(2)
Подставив выражение (2) в формулу (1) с учётом того, что , найдём искомую объёмную плотность энергии магнитного поля внутри катушки: