Содержание
рХУФШ P – ПУОПЧБОЙЕ РЕТРЕОДЙЛХМСТБ, ПРХЭЕООПЗП ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ C НЕОШЫЕЗП ПУОПЧБОЙС BC ТБЧОПВЕДТЕООПК ФТБРЕГЙЙ ABCD ОБ ЕЈ ВПМШЫЕЕ ПУОПЧБОЙЕ AD . оБКДЙФЕ DP Й AP , ЕУМЙ ПУОПЧБОЙС ФТБРЕГЙЙ ТБЧОЩ a Й b ( a > b ).
рПДУЛБЪЛБ
пРХУФЙФЕ РЕТРЕОДЙЛХМСТ ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ B ОБ AD .
тЕЫЕОЙЕ
рХУФШ Q – ПУОПЧБОЙЕ РЕТРЕОДЙЛХМСТБ, ПРХЭЕООПЗП ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ B ОБ AD . йЪ ТБЧЕОУФЧБ РТСНПХЗПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ABQ Й DCP УМЕДХЕФ, ЮФП AQ = DP , Б ФБЛ ЛБЛ BCPQ – РТСНПХЗПМШОЙЛ, ФП PQ = BC = b . рПЬФПНХ DP = ½ (AD – PQ) = ½ (a – b), AP = AD – DP = a – ½ (a – b) = ½ (a + b).
пФЧЕФ
йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС
| web-УБКФ | |
| оБЪЧБОЙЕ | уЙУФЕНБ ЪБДБЮ РП ЗЕПНЕФТЙЙ т.л.зПТДЙОБ |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| ЪБДБЮБ | |
| оПНЕТ | 1921 |
рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .
Дан остроугольный треугольник. Верно ли, что ортоцентр — точка, сумма расстояний от которой до вершин треугольника и до прямых, содержащих его стороны, минимальна?
задан 29 Апр ’16 21:11
1 ответ
Пусть $%P$% — точка внутри остроугольного треугольника $%ABC$%. Рассмотрим сумму расстояний от точки до вершины $%A$% и до противоположной ей стороны $%BC$%. Докажем, что эта сумма принимает минимальное значение тогда и только тогда, когда $%P$% лежит на высоте $%AA_1$% (и тогда эта сумма равна длине высоты).
Пусть $%P_a$% — проекция точки $%P$% на сторону $%BC$%. Нас интересует минимум суммы расстояний $%PA+PP_a$%. Обозначим через $%K$% проекцию $%P$% на высоту $%AA_1$%. Ввиду того, что треугольник остроугольный, $%A_1$% лежит между $%B$% и $%C$%, и весь треугольник разбивается на два прямоугольных. В какой бы из этих частей ни лежала точка $%P$%, она проектируется на высоту в точку $%K$%, лежащую между $%A$% и $%A_1$%, откуда $%KA+KA_1=AA_1$%.
Ясно, что $%PKA_1P_a$% — прямоугольник, откуда $%KA_1=PP_a$%. Имеет место неравенство $%PAge KA$% (гипотенуза и катет треугольника $%APK$%), причём равенство имеет место при $%K=P$%, когда точка лежит на высоте. В остальных случаях неравенство строгое, и тогда $%PA+PP_a > KA+PP_a=KA+KA_1=AA_1$%, и сумма расстояний оказывается длиннее высоты.
Из сказанного следует, что $%(PA+PP_a)+(PB+PP_b)+(PC+PP_c)ge AA_1+BB_1+CC_1$% (сумма длин высот), и равенство имеет место в том и только в том случае, когда точка принадлежит всем высотам, то есть совпадает с ортоцентром.
отвечен 30 Апр ’16 0:20
falcao
243k ● 1 ● 34 ● 48
@falcao, можно ли так рассуждать?
Пусть $%A’$% — основание перпендикуляра, опущенного из точки $%P$% на прямую $%BC$%. Сумма расстояний от $%P$% до $%A$% и до прямой $%BC$% равна $%AP+PA’ge AA’$%, следовательно, она не меньше высоты, опущенной из $%A$%. Наименьшее значение этой суммы достигается, когда точка $%P$% лежит на высоте. Таким образом, точка $%P$% должна лежать на высоте, опущенной из $%A$%. То же рассуждение показывает, что она лежит на двух других высотах. Следовательно, искомая точка — ортоцентр.
@FedorTokarev: да, можно. Это в точности то же самое рассуждение, но короче изложенное. Если к нему добавить доказательство того, что выполняется указанное неравенство, то одно совпадёт с другим.
Решение задачи № 222
Вокруг прямоугольника ABCD описана окружность, проведены диагонали AC и BD с точкой пересечения O, на дуге CD выбрана произвольная точка E, и в ней к окружности проведена касательная, пересекающая продолжение стороны BC в точке F. Построить одной линейкой точку пересечения окружности, описанной около треугольника CFE, и диагонали AC.