Меню Закрыть

Проверка адекватности математической модели

Содержание

Первый вопрос, который задает исследователь после получения коэффициентов математической модели – пригодность модели. Проверка пригодности модели называется проверкой адекватности модели.

Предсказанное по математической модели значение параметра оптимизации всегда отличается от фактического значения на какую-то величину, или иными словами, фактические значения параметра оптимизации имеют разброс относительно линии регрессии. Для характеристики среднего разброса относительно линии регрессии вполне подходит остаточная сумма квадратов, но она зависит от числа коэффициентов и уравнений: введите столько коэффициентов, сколько вы провели независимых опытов и получите остаточную сумму, равную нулю. Поэтому в статистике остаточную сумму относят на один "свободный" опыт. Число таких опытов называется числом степеней свободы f. Числом степеней свободы называется разность между числом опытов (строк матрицы) и числом коэффициентов, которые уже вычислены по результатам опытов независимо друг от друга.

Если, например, проведен ПФЭ типа 2 3 и определены коэффициенты линейной зависимости, то число степеней свободы f= N – (k+1)=8 – (3+1)=4. Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы называется остаточной дисперсией или дисперсией адекватности (S 2 ад)

. (25)

В статистике разработан критерий, который удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется критерием Фишера (F-критерий) и определяется следующим образом

. (26)

Дисперсии в формуле определяются со своими значениями степеней свободы.

Проверка гипотезы состоит в сравнении расчетного значения критерия Фишера с табличным (прил. Д).

В нашем случае S 2 ад=12,24 (по результатам табл. 6), S 2 =7,5, Fрасч=1,63, что меньше табличного значения 1,99.

2.18. Построение математических моделей планов 2-го и выше порядков

Полный факторный эксперимент рекомендуется использовать при построении линейных моделей, которые в реальных технологических задачах встречается нечасто. Для моделей высокого порядка следует использовать ненасыщенные планы 2-го и более порядка, параметры которых приводятся, например, в [7], позволяющие получать адекватные модели полиномов с общей формулой

. (27)

На практике при работе с задачами в области строительного материаловедения удачно используются ненасыщенные планы Хартли на гиперкубе второго и третьего порядков, план- матрицы которых приведены в табл. 7, 8.

№ п/п Факторы план-матрицы эксперимента
Х1 Х2
–1 –1
+1 +1
–1
+1
–1
+1
–1 +1
+1 –1

Все этапы проведения эксперимента соответствуют полному факторному эксперименту.

Расчет коэффициентов математической модели и построении ее графического образа проводится при использовании специального программного обеспечения, основанного на использовании матричного исчисления.

Рассмотрим пример построения и анализа математической модели на примере упражнения 6.

Упражнение 6. Разработать комплексную противоморозную добавку, обеспечивающую заданные параметры бетонной смеси и бетона в условиях твердения при температуре минус 15 о С:

· удобоукладываемость бетонной смеси должна быть не менее 15 см;

· живучесть бетонной смеси должна быть не менее 1 часа с момента изготовления;

· прочность бетона через 8 часов твердения должна быть не менее 0,8 МПа;

· прочность бетона через 28 суток твердения должна быть не менее 25 МПа.

№ п/п Факторы план- матрицы эксперимента
Х1 Х2 Х 3
–1 –1 +1
+1 –1 –1
–1 +1 –1
+1 +1 +1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1 –1 +1
+1 –1 +1
–1 +1 –1
+1 +1 –1

Предварительно проведенные исследования определили состав комплексной добавки, который должен был в себя включать противоморозную добавку карбоната калия K2CO3 (Х1) и пластифицирующую – лигносульфонат технический ЛСТ (Х2).

Осадка конуса после приготовления бетонной смеси для всех составов бетона составляла 15 +1 см.

Матрица планирования и результаты работы приведены в табл. 9.

№ п/п Х1 Х2 ОК, см, через 1 час Rсж 8 часов , МПа Rсж 28 сут , МПа
Код Физ. значение, % от Ц Код Физ. значение, % от Ц
–1 –1 0,6 0,2 9,7
+1 +1 1,8 0,8 25,4
–1 1,2 0,1 37,5
+1 1,2 1,8 24,4
–1 0,6 0,8 14,4
+1 1,8 1,3 15,6
1,2 0,8 15,7
–1 +1 1,8 0,4 2,0
+1 –1 0,6 1,4 37,5
Читайте также:  Что такое синтетическая ошибка на андроиде

Примечание. В таблице приведены средние значения контролируемых параметров.

При обработке результатов эксперимента были получены полиномы второй степени, коэффициенты которых приведены в табл. 10.

Нормируемый параметр Коэффициенты математической модели
В В1 В2 В11 В12 В22
Осадка конуса, см, через час после приготовления 13,3 1,11 7,39 0,56 1,58 −6,28
Прочность бетона на сжатие, МПа, через 8 часов твердения 0,97 0,49 0,03 −0,20 −0,20 −0,05
Прочность бетона на сжатие, МПа, через 28 суток твердения 20,9 6,56 −2,87 7,55 −0,73 −8,27

Получение конечного результата – состава комплексной добавки, базируется на анализе полученных математических моделей, а точнее на анализе их графических образов, приведенных на рис. 6.

По каждому варьируемому фактору определяются подобласти параметра оптимизации, в которых выполняются граничные условия задачи. Наложение подобластей друг на друга позволяет выделить подобласть, в которой выполняются все граничные условия.

В нашем случае это подобласть, ограниченная точками A, B, C, D.

Конечным итогом данной работы является экспериментальное подтверждение выбранного состава комплексной противоморозной добавки на практике.

3. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кубланов Михаил Семенович

Предлагаются формулировки основных терминов, устоявшихся в практике математического моделирования задач динамики полета летательных аппаратов. Обсуждаются способы проверки адекватности .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кубланов Михаил Семенович

CHECK OF THE MATHEMATICAL MODEL ADEQUACY

The wording of key terms established in the practice of mathematical modeling of the aircraft flight dynamics is proposed. We discuss the methods for adequacy checking.

Текст научной работы на тему «Проверка адекватности математических моделей»

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Предлагаются формулировки основных терминов, устоявшихся в практике математического моделирования задач динамики полета летательных аппаратов. Обсуждаются способы проверки адекватности.

Ключевые слова: математическое моделирование, технические системы, динамика полета, адекватность.

В последние годы математическое моделирование как метод исследования сложных систем находит широкое применение для различных задач. Как показала практика, понятие адекватности математических моделей (ММ) и сопутствующие термины нуждаются в том, чтобы их уточненная формулировка была единообразно понимаемой и продуктивной. Именно из-за различий в понимании этой терминологии, к сожалению, появляются исследования, претендующие на научность, но таковыми не являющиеся ввиду отсутствия адекватности.

В теории моделирования [1-7] под адекватностью модели понимают соответствие результатов, полученных на модели, поведению реального объекта. (В [8] дается определение адекватности ММ как соответствия ММ экспериментальным данным по выбранному критерию.) Это соответствие следует оценивать с точки зрения целей исследования, поэтому для моделей в различных областях знаний могут использоваться совершенно непохожие приемы, методы и критерии проверки адекватности.

Общее понятие модели сводится к тому, что модель — это заместитель оригинала, позволяющий изучить некоторые его свойства в определенных условиях. Заметим, что в этом определении оговаривается не только назначение модели, но и ее заведомо ограниченные возможности — ограниченные целями исследования.

Особенностью ММ является то, что получение с их помощью каких-либо результатов связано с вычислениями, т.е. с получением результатов вычислительного эксперимента (ВЭ). ВЭ -это получение результатов с помощью ММ для какого-либо конкретного случая исследований. Таким образом, адекватность ММ — это соответствие результатов ВЭ поведению реального объекта. Для проверки адекватности ММ служит контрольный ВЭ, воспроизводящий реальный известный случай поведения оригинала в конкретных условиях.

Что касается иностранизмов, то они не вносят в теорию никаких принципиально новых понятий. Так, например, верификация — это процесс проверки адекватности модели (независимо от результата). Валидация модели — установление факта удовлетворения модели заявленным свойствам (самой модели, может быть независимо от оригинала). Это понятие, скорее, административное, чем научное.

При проверке соответствия модели оригиналу (проверке адекватности, верификации) для технических систем и процессов, характеризующихся измеримыми величинами — параметрами — необходимо провести сравнение соответствующих параметров модели и оригинала в одних и тех же условиях. Какими критериями оценивать это соответствие (или несоответствие, ошибочность), подсказывает определение ММ как заместителя оригинала. ММ должна быть инструментом получения информации в виде числовых данных и функциональных зависимостей, характеризующих поведение оригинала. Полная аналогия с теорией ошибок измерений, которая на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей [9] утверждает, что ошибка при многократных измерениях распределена по нормальному закону — закону ошибок. Итак,

Читайте также:  Моргает экран телевизора samsung

если мы покажем, что рассогласование ММ и оригинала ведет себя как простая малая ошибка измерений, то тем самым положительно ответим на вопрос об адекватности. Поэтому для адекватности ММ поведению оригинала достаточно убедиться в выполнении двух свойств: точности и непротиворечивости [4-6].

Приведенные выше термины применимы для любых моделей в любых областях деятельности человека. Однако для применения на практике необходима конкретизация этих понятий для определенных видов задач.

Точность в технических задачах означает, что обобщенная характеристика рассогласования соответствующего параметра модели и оригинала (Ли = имодели — иоригинала) должна быть не больше, чем заранее заданное значение приемлемой погрешности. В качестве такой характеристики может выступать наибольшее по модулю значение рассогласования, среднее значение рассогласования, но чаще всего используется доверительный интервал для математического ожидания рассогласования [4-6]. Заметим, что доверительный интервал дает только оценку разброса значений рассогласования с заданной доверительной вероятностью, например, рассогласование результатов ВЭ с поведением реального объекта не выходит за границы (- 0,52 км/ч; + 0,27 км/ч) с вероятностью 0,99 или в относительных величинах — за границы (- 0, 104 %; + 0,054 %) в 99 % случаев.

Очевидно, что доверительный интервал не дает единой жесткой числовой характеристики адекватности, как хотелось бы авторам работы [10], предложившим понятие "степени адекватности" в виде дополнительной величины в процентах к относительной приведенной погрешности (при молчаливом задании доверительной вероятности) Л; = (1 — Лт/т;тах)х100%, где Л; -степень адекватности ММ по 1-му параметру; Лт; — максимальное отклонение ьго расчетного параметра от математического ожидания с заданной вероятностью Р = 0,95; т1тах — максимальное значение ьго расчетного параметра в исследуемом диапазоне времени. Универсальной такая оценка "степени адекватности" быть не может, т.к. в некоторых задачах величина т;тах, стоящая в знаменателе, может обращаться в ноль, а доверительная вероятность 0,95 может не удовлетворять исследователя.

Простейший пример проверки адекватности на основании одной только точности и одновременно пример единственной числовой оценки точности приведен в статье [11], выдержки из которой приведены ниже.

Необходимость расширить возможности модели на случаи прерванного взлета и посадки с учетом отказов систем самолета, оказывающих влияние на параметры движения по ВПП, наталкивается на непреодолимые трудности получения результатов качественных данных линейных испытаний (ЛИ). Практически единственным источником информации для этого оказывается Руководство по летной эксплуатации самолета (РЛЭ) [12].

Проверку адекватности ММ и решение задачи идентификации приходится проводить на основе точечных данных о значениях некоторых нормируемых показателей движения воздушного судна (ВС), т.к. зависимостей параметров полета от времени в РЛЭ нет. В этих условиях в качестве сравниваемых параметров можно использовать данные о дистанциях исследуемых этапов, а в качестве идентифицируемых параметров модели — законы управления, также регламентированные РЛЭ.

При проверке адекватности по единичным значениям параметров требование непротиворечивости отпадает, и адекватность становится эквивалентной точности, которую единственно и следует оценить.

Расчет дистанций прерванного взлета в РЛЭ [12] проводится с помощью номограмм для угла отклонения закрылков 5з = 28°. Для проверки адекватности были выбраны крайние случаи для продолженного взлета самолета массой 110 т и 90 т. Дистанция прерванного взлета по номограммам определяется с точностью до 50 м. Расчетные условия ВЭ соответствовали

РЛЭ. Совпадение дистанций обеспечено лишь соблюдением предписанного РЛЭ порядка процедур прерванного взлета. Результаты ВЭ представлены в табл. 1.

Читайте также:  Adobe air что это такое

Сравнение расчетов дистанций прерванного взлета самолета Ту-154М с данными РЛЭ

Расчетные варианты Взлетная дистанция

температура высота масса У v отк РЛЭ ВЭ

МСА — 15° 3000 м 110 т 259 км/ч 3860 м 3889 м

МСА + 30° 0 м 110 т 259 км/ч 3800 м 3834 м

МСА + 30° 2500 м 90 т 239 км/ч 3800 м 3815 м

МСА + 20° 3000 м 90 т 239 км/ч 3570 м 3578 м

Представленные результаты своим рассогласованием, не превосходящим 0,8 %, свидетельствуют о высокой степени адекватности математической модели прерванного взлета самолета Ту-154М данным РЛЭ.

Конец выдержки из работы [11].

Следует особо отметить, что в приведенном примере достигается погрешность не более 34 м, что существенно меньше, чем погрешность данных РЛЭ в 50 м. При таком итоге оценки погрешности безусловно достаточно для доказательства адекватности ММ.

Итак, ранее мы отметили, что одной характеристики точности для проверки адекватности недостаточно. Только в случаях выражения результатов ВЭ в виде одного числа (а не функции) точность может служить единственной проверкой адекватности. В подавляющем большинстве современных задач требуется воспроизведение в ММ сложных функциональных зависимостей, причем подчас важнее, чтобы эти зависимости имели логическое объяснение, а точность — вопрос второстепенный.

Более того, точность не может быть самоцелью, т.к. существует множество причин, оправдывающих существование значительных систематических погрешностей, как например, в летной эксплуатации при нерегистрируемом изменении высоты местности, эксплуатационной потере тяги двигателей и т.п. [6]. Ниже приводится фрагмент раздела 7.5 этой работы, включая графики (об упоминаемых понятиях идентификации и эвристического метода см. далее).

В 1994 г. была проведена идентификация ММ движения самолета Ил-76ТД № 76473 по записи системы регистрации полета реального рейса 7257 от 16.03.94 г. Вообще говоря, записи системы регистрации полета не годятся в качестве данных для идентификации, т.к. большое количество информации об условиях полета в них не содержится. Однако отобранная запись была разъяснена и дополнена экипажем.

В ММ использованы характеристики самолета, предоставленные АК им. С.В. Ильюшина. Конфигурация самолета (отклонения стабилизатора 5ст, закрылков 5з, предкрылков 5пр) и способы пилотирования (моменты и скорости перекладки руля высоты и режима работы двигателей) принимались такими же, как в реальном полете.

Идентификация ММ проводилась только в продольном канале управления по значениям следующих параметров полета: Нг — высота по радиовысотомеру; Упр — скорость полета по прибору; S — угол тангажа; ny — вертикальная перегрузка; 5В — угол отклонения руля высоты.

Как выявили результаты контрольного ВЭ, взлет был осуществлен с "роллинг-старта" (без остановки на исполнительном старте на ВПП после руления), причем зарегистрированному взлетному режиму соответствовала тяга двигателей примерно на 10 % меньшая стендовой. В последствии пилоты подтвердили правоту этих фактов.

САМОЛЕТ Ил-76ТД N1 76473 N РЕР1СН: 7257 №ТЙ: 16. 3. Ь

САМОЛЕТ Ил-76ТД N1 76473 N РЕПСЯ: 7257 ДАТА: 16. 3. 4

Адекватность модели — совпадение свойств (функций/параметров/характеристик и т. п.) модели и соответствующих свойств моделируемого объекта. Адекватностью называется совпадение модели моделируемой системы в отношении цели моделирования.

Оценка адекватности модели — проверка соответствия модели реальной системе. Оценка адекватности модели реальному объекту оценивается по близости результатов расчетов экспериментальным данным.

Два основных подхода к оценке адекватности:

1) по средним значениям откликов модели и системы

Проверяется гипотеза о близости средних значений каждой n-й компоненты откликов модели Yn известным средним значениям n-й компоненты откликов реальной систем.

2) по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов систем

Сравнение дисперсии проводят с помощью критерия F (проверяют гипотезы о согласованности), с помощью критерия согласия χ 2 <displaystyle chi ^<2>> (при больших выборках, n>100), критерия Колмогорова-Смирнова (при малых выборках, известны средняя и дисперсия совокупности), Кохрена и др.

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.