Содержание
Продолжим изучать действия с обыкновенными дробями . Сейчас в центре внимания умножение обыкновенных дробей. В этой статье мы дадим правило умножения обыкновенных дробей, рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Также остановимся на умножении обыкновенной дроби на натуральное число. В заключение рассмотрим, как проводится умножение трех и большего количества дробей.
Навигация по странице.
Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь
Начнем с формулировки правила умножения обыкновенных дробей: умножение дроби на дробь дает дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.
То есть, умножению обыкновенных дробей a/b и c/d отвечает формула 
.
Приведем пример, иллюстрирующий правило умножения обыкновенных дробей. Рассмотрим квадрат со стороной 1 ед. , при этом его площадь равна 1 ед 2 . Разделим этот квадрат на равные прямоугольники со сторонами 1/4 ед. и 1/8 ед. , при этом исходный квадрат будет состоять из 4·8=32 прямоугольников, следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет 1/32 долю площади исходного квадрата, то есть, она равна 1/32 ед 2 . Теперь закрасим часть исходного квадрата. Все наши действия отражает рисунок ниже.
Стороны закрашенного прямоугольника равны 5/8 ед. и 3/4 ед. , значит, его площадь равна произведению дробей 5/8 и 3/4 , то есть, 
ед 2 . Но закрашенный прямоугольник состоит из 15 «маленьких» прямоугольников, значит, его площадь равна 15/32 ед 2 . Следовательно, 
. Так как 5·3=15 и 8·4=32 , то последнее равенство можно переписать как 
, что подтверждает формулу умножения обыкновенных дробей вида .
Заметим, что с помощью озвученного правила умножения можно умножать и правильные и неправильные дроби, и дроби с одинаковыми знаменателями, и дроби с разными знаменателями.
Рассмотрим примеры умножения обыкновенных дробей.
Выполните умножение обыкновенной дроби 7/11 на обыкновенную дробь 9/8 .
Произведение числителей умножаемых дробей 7 и 9 равно 63 , а произведение знаменателей 11 и 8 равно 88 . Таким образом, умножение обыкновенных дробей 7/11 и 9/8 дает дробь 63/88 .
Вот краткая запись решения: 
.
.
Не следует забывать про сокращение полученной дроби, если в результате умножения получается сократимая дробь, и про выделение целой части из неправильной дроби.
Выполните умножение дробей 4/15 и 55/6 .
Применим правило умножения обыкновенных дробей: 
.
Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 10 позволяет утверждать, что числитель и знаменатель дроби 220/90 имеют общий множитель 10 ). Выполним сокращение дроби 220/90 : НОД(220, 90)=10 и 
. Осталось выделить целую часть из полученной неправильной дроби: 
.
.
Заметим, что сокращение дроби можно проводить до вычисления произведений числителей и произведений знаменателей умножаемых дробей, то есть, когда дробь имеет вид 
. Для этого числа a , b , c и d заменяются их разложениями на простые множители, после чего сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.
Для пояснения, вернемся к предыдущему примеру.
Вычислите произведение дробей вида 
.
По формуле умножения обыкновенных дробей имеем 
.
Так как 4=2·2 , 55=5·11 , 15=3·5 и 6=2·3 , то 
. Теперь сокращаем общие простые множители: 
.
Остается лишь вычислить произведения в числителе и знаменателе, после чего выделить целую часть из неправильной дроби: 
.
.
Следует отметить, что для умножения дробей характерно переместительное свойство, то есть, умножаемые дроби можно менять местами: 
.
Умножение обыкновенной дроби на натуральное число
Начнем с формулировки правила умножения обыкновенной дроби на натуральное число: умножение дроби на натуральное число дает дробь, числитель которой равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби.
С помощью букв правило умножения дроби a/b на натуральное число n имеет вид 
.
Формула следует из формулы умножения двух обыкновенных дробей вида . Действительно, представив натуральное число как дробь со знаменателем 1, получим 
.
Рассмотрим примеры умножения дроби на натуральное число.
Выполните умножение дроби 2/27 на 5 .
Умножение числителя 2 на число 5 дает 10 , поэтому в силу правила умножения дроби на натуральное число, произведение 2/27 на 5 равно дроби 10/27 .
Все решение удобно записывать так: 
.
.
При умножении дроби на натуральное число полученную дробь часто приходится сокращать, а если она еще и неправильная, то представлять ее в виде смешанного числа.
Умножьте дробь 5/12 на число 8 .
По формуле умножения дроби на натуральное число имеем 
. Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 2 указывает на общий делитель 2 числителя и знаменателя). Выполним сокращение дроби 40/12 : так как НОК(40, 12)=4 , то 
. Осталось выделить целую часть: 
.
Вот все решение: 
.
Отметим, что сокращение можно было провести, заменив числа в числителе и знаменателе их разложениями на простые множители. В этом случае решение выглядело бы так: .
.
В заключение этого пункта заметим, что умножение дроби на натуральное число обладает переместительным свойством, то есть, произведение дроби на натуральное число равно произведению этого натурального числа на дробь: 
.
Умножение трех и большего количества дробей
То, как мы определили обыкновенные дроби и действие умножение с ними, позволяет утверждать, что все свойства умножения натуральных чисел распространяются и на умножение дробей.
Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют однозначно определить умножение трех и большего количества дробей и натуральных чисел. При этом все происходит по аналогии с умножением трех и большего количества натуральных чисел. В частности, дроби и натуральные числа в произведении можно для удобства вычисления переставлять местами, а при отсутствии скобок, указывающих порядок выполнения действий, мы можем сами расставить скобки любым из допустимых способов.
Рассмотрим примеры умножения нескольких дробей и натуральных чисел.
Выполните умножение трех обыкновенных дробей 1/20 , 12/5 , 3/7 и 5/8 .
Запишем произведение, которое нам нужно вычислить 
. В силу правила умножения дробей записанное произведение равно дроби, числитель которой равен произведению числителей всех дробей, а знаменатель – произведению знаменателей: 
.
Прежде чем вычислить произведения в числителе и знаменателе, целесообразно заменить все множители их разложениями на простые множители и провести сокращение (можно, конечно, сократить дробь и после умножения, но во многих случаях это требует больших вычислительных усилий): .
.
Выполните умножение пяти чисел 
.
В этом произведении удобно сгруппировать дробь 7/8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5/36 , это позволит упростить вычисления, так как при такой группировке очевидно сокращение. Имеем
.
.
Чтобы перемножить две дроби надо числитель первой дроби умножить на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй. Первое произведение станет числителем, а второе — знаменателем.
Пример: (5/7)*(21/25) = (5*21)/(7/25) = 105/525
Если числитель и знаменатель дроби делится на одно и тоже число дробь может быть сокращена путем деления числителя и знаменателя на это число. В данном примере оба числа делятся на 105. 105/525 = (105:105)/(525:105) = 1/5
Чтобы разделить дробъ на дробь надо числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. Первое произведение станет числителем, а второе — знаменателем.
Из-за блокировщика рекламы некоторые функции на сайте могут работать некорректно! Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы на этом сайте.
Чтобы пройти курс — зарегистрируйтесь, заполнив поля ниже.
Продолжим учиться выполнять действия с рациональными выражениями.
Запиши в тетрадь тему урока
"Произведение и частное дробей".
Правила очень просты:
При умножении — числитель дроби умножаем на числитель другой дроби и их произведение записываем в числитель результата; знаменатель умножаем на знаменатель и записываем их произведение в знаменатель результата.
Полученную в ответе дробь надо попробовать сократить.
Как?
Разложить числитель и знаменатель на множители и разделить (сократить) числитель и знаменатель на одинаковые множители.
Например:
Сэкономим время! Поскольку потом все-равно будет сокращать дробь, так разложим числители и знаменатель на множители сразу:
И сократим дробь на одинаковые множители m и (m+2), получим
Как делить дроби? Деление заменяем умножением на обратную дробь. Ну а умножать мы только что поучились 
Например:
Если в этих примерах что-то непонятно, то спроси учителя.
Ну, а если показалось все просто, то вперед!
Упрости выражение
Как?
Перемножь все числители, а потом все знаменатели.
Но не торопись! Воспользуйся, что все они являются множителями.
Подведи все множители под одну дробную черту и попробуй сократить у этой "крупной" дроби числовые множители, а вот буквенные все-таки лучше сначала перемножить, а потом уже сократить.
Если в твоей тетради уже получилось решение, то двигаемся дальше.
Так?
Представь в виде дроби
Алгоритм:
1) Разложить все числители и знаменатели на множители.
2) Записать произведение числителей в числитель,
а произведение знаменателей в знаменатель.
3) Сократить дробь.
ВСЕ! Ответ получен 
.
Если у тебя цель научиться, то ты пойдешь дальше, только после завершения решения. а если нет, то и проходить этот урок незачем.
Если есть ошибки, то обязательно исправь их!
Поделить — означает умножить на обратную дробь.
: 3 означает х на 1/3, : на 2/5 означает х на 5/2 и так далее.
Выполни деление:
Только сначала реши вопрос — с каким знаком будет результат.
Упростите выражение
Итак повторим:
Разложить на множители.
Деление заменить умножением на .
Сократить .
Если всему научились, то можно переходить к решению теста
Подведение итогов
Поздравляем, вы прошли тест до конца!
Теперь нажмите на кнопку Сдать тест для того, чтобы окончательно сохранить ваши ответы и получить оценку.
Внимание! После нажатия на кнопку вы не сможете внести изменения.