Выполняем элементарные преобразования над матрицей, чтобы узнать количество линейно-независимых строк.
Вычитаем из второй строки, умноженной на четверку, первую строку, умноженную на пятерку:
Вычитаем из третьей строки, умноженной на четыре, первую строку, умноженную на девять:
Вычитаем из третьей строки вторую строку:
Замечаем, что последняя строка матрицы нулевая, значит её можно вычеркнуть:
После элементарных преобразований количество строк уменьшилось и стало $ m=2 $, а количество столбцов $ n = 3 $. По формуле ранга матрицы берем минимальные число из $ m $ и $ n $, то есть $ m=2 $. Получили, что $ rang A = 2 $
Понятие ранга матрицы
Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.
Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.
Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это "сколько-то" должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это "сколько-то" должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое "сколько-то" (число строк и столбцов) обозначим через k.
Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.
Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).
При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.
Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.
При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:
— если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.
Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров
Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.
Например, дана матрица
.
,
окаймляющими будут такие миноры:
.
Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.
1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице ( r =1 ).
2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум ( r =2 ).
3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём ( r =2 ).
4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.
Пример 1. Найти ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка 
.
Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:
,
,
,
.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум ( r =2 ).
Пример 2. Найти ранг матрицы
.
Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.
Пример 3. Найти ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка этой матрицы 
, в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.
Пример 4. Найти ранг матрицы
.
Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.
Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)
Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.
Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:
1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;
3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;
4) удаление "нулевых" строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;
5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.
Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B , то 
.
Используя эту теорему, отправляясь от любой матрицы A всегда можно прийти к такой матрице B , вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы матрица B была трапециевидной.
Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.
Пример 5. Найти ранг матрицы
.
Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на — 2, а затем к третьей строке прибывам первую, умноженную на 2, и, наконец, из четвёртой вычтем первую. После этих трёх последовательно выполненных преобразований получим матрицу
.
Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу
.
Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.
Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).
Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Найти ранг матрицы
.
Пример 7. Найти ранг матрицы
.
В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.
Минор матрицы
Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.
Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.
Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.
Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.
Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.
При таком выборе элементов минором второго порядка будет — 1 3 0 2 = ( — 1 ) × 2 — 3 × 0 = — 2
Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0 0 1 1 = 0
Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:
Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:
0 0 3 1 1 2 — 1 — 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 4 ) — 3 × 1 × ( — 1 ) — 0 × 1 × 0 — 0 × 2 × ( — 4 ) = — 9
Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:
Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что
k ≤ m i n ( p , n ) = m i n ( 3 , 4 ) = 3
Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?
Число миноров вычисляют по следующей формуле:
C p k × C n k , г д е С p k = p ! k ! ( p — k ) ! и C n k = n ! k ! ( n — k ) ! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.
После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.
Ранг матрицы: методы нахождения
Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.
Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.
Нахождение ранга матрицы по определению
Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.
Алгоритм действий способом перебора миноров:
Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).
Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.
Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.
Найти ранг матрицы:
А = — 1 1 — 1 — 2 0 2 2 6 0 — 4 4 3 11 1 — 7
Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.
Минор 2-го порядка — 1 1 2 2 = ( — 1 ) × 2 — 1 × 2 = 4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.
Перебираем миноры 3-го порядка: С 3 3 × С 5 3 = 1 5 ! 3 ! ( 5 — 3 ) ! = 10 штук.
— 1 1 — 1 2 2 6 4 3 11 = ( — 1 ) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + ( — 1 ) × 2 × 3 — ( — 1 ) × 2 × 4 — 1 × 2 × 11 — ( — 1 ) × 6 × 3 = 0
— 1 1 — 2 2 2 0 4 3 1 = ( — 1 ) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + ( — 2 ) × 2 × 3 — ( — 2 ) × 2 × 4 — 1 × 2 × 1 — ( — 1 ) × 0 × 3 = 0
— 1 — 1 — 2 2 6 0 4 11 1 = ( — 1 ) × 6 × 1 + ( — 1 ) × 0 × 4 + ( — 2 ) × 2 × 11 — ( — 2 ) × 6 × 4 — ( — 1 ) × 2 × 1 — ( — 1 ) × 0 × 11 = 0
— 1 1 — 2 2 2 0 4 3 1 = ( — 1 ) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + ( — 2 ) × 2 × 3 — ( — 2 ) × 2 × 4 — 1 × 2 × 1 — ( — 1 ) × 0 × 3 = 0
— 1 — 1 0 2 6 — 4 4 11 — 7 = ( — 1 ) × 6 × ( — 7 ) + ( — 1 ) × ( — 4 ) × 4 + 0 × 2 × 11 — 0 × 6 × 4 — ( — 1 ) × 2 × ( — 7 ) — ( — 1 ) × ( — 4 ) × 11 = 0
1 — 1 0 2 6 — 4 3 11 — 7 = 1 × 6 × ( — 7 ) + ( — 1 ) × ( — 4 ) × 3 + 0 × 2 × 11 — 0 × 6 × 3 — ( — 1 ) × 2 × ( — 7 ) — 1 × ( — 4 ) × 11 = 0
1 — 2 0 2 0 — 4 3 1 — 7 = 1 × 0 × ( — 7 ) + ( — 2 ) × ( — 4 ) × 3 + 0 × 2 × 1 — 0 × 0 × 3 — ( — 2 ) × 2 × ( — 7 ) — 1 × ( — 4 ) × 1 = 0
— 1 — 2 0 6 0 — 4 11 1 — 7 = ( — 1 ) × 0 × ( — 7 ) + ( — 2 ) × ( — 4 ) × 11 + 0 × 6 × 1 — 0 × 0 × 11 — ( — 2 ) × 6 × ( — 7 ) — ( — 1 ) × ( — 4 ) × 1 = 0
Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.
Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров
Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.
Окаймляющий минор — минор M o k ( k + 1 ) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору M o k , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.
Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M o k , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.
Найти ранг матрицы:
А = 1 2 0 — 1 3 — 2 0 3 7 1 3 4 — 2 1 1 0 0 3 6 5
Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М = 2 — 1 4 1
Записываем все окаймляющие миноры:
1 2 — 1 — 2 0 7 3 4 1 , 2 0 — 1 0 3 7 4 — 2 1 , 2 — 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 — 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 — 1 4 — 2 1 0 3 6 , 2 — 1 3 4 1 1 0 6 5 .
Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.
Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.
Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.
Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.
Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров
А = 2 1 0 — 1 3 4 2 1 0 — 1 2 1 1 1 — 4 0 0 2 4 — 14
Поскольку элемент а 11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:
2 1 4 2 = 2 × 2 — 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 — 0 × 4 = 2
Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2 0 4 1 .
Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их ( 4 — 2 ) × ( 5 — 2 ) =6 штук).
2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 — 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 — 1 2 1 — 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 — 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 — 1 0 2 — 14 = 0
Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)
Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.
- путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
- путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;
путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.
Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).
Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:
- в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
- в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;
в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.
Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.
Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.
Проиллюстрируем этот процесс:
- для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:
1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n — 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n — 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n — 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k ( A ) = n
1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k ( A ) = k
- для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:
1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , R a n k ( A ) = p
1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0
- для квадратных матриц А порядка n на n:
1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n — 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n — 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n — 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k ( A ) = n
1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k ( A ) = k , k n
Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:
А = 2 1 — 2 6 3 0 0 — 1 1 — 1 2 — 7 5 — 2 4 — 15 7 2 — 4 11
Поскольку элемент а 11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1 а 11 = 1 2 :
А = 2 1 — 2 6 3 0 0 — 1 1 — 1 2 — 7 5 — 2 4 — 15 7 2 — 4 11
Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):
А ( 1 ) = 1 1 2 — 1 3 3 0 0 — 1 1 — 1 2 — 7 5 — 2 4 — 15 7 2 — 4 11
А ( 2 ) = = 1 1 2 — 1 3 3 + 1 ( — 3 ) 0 + 1 2 ( — 3 ) 0 + ( — 1 ) ( — 3 ) — 1 + 3 ( — 3 ) 1 + 1 ( — 3 ) — 1 + 1 2 ( — 3 ) 2 + ( — 1 ) ( — 1 ) — 7 + 3 ( — 1 ) 5 + 1 ( — 5 ) — 2 + 1 2 ( — 5 ) 4 + ( — 1 ) ( — 5 ) — 15 + 3 ( — 5 ) 7 + 1 ( — 7 ) 2 + 1 2 ( — 7 ) — 4 + ( — 1 ) ( — 7 ) 11 + 3 ( — 7 ) =
= 1 1 2 — 1 3 0 — 3 2 3 — 10 0 — 3 2 3 — 10 0 — 9 2 9 — 30 0 — 3 2 3 — 10
Элемент а 22 ( 2 ) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А ( 2 ) н а 1 а 22 ( 2 ) = — 2 3 :
А ( 3 ) = 1 1 2 — 1 3 0 1 — 2 20 3 0 — 3 2 3 — 10 0 — 9 2 9 — 30 0 — 3 2 3 — 10
А ( 4 ) = 1 1 2 — 1 3 0 1 — 2 20 3 0 — 3 2 + 1 3 2 3 + ( — 2 ) 3 2 — 10 + 20 3 × 3 2 0 — 9 2 + 1 9 2 9 + ( — 2 ) 9 2 — 30 + 20 3 × 9 2 0 — 3 2 + 1 3 2 3 + ( — 2 ) 3 2 — 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 — 1 3 0 1 — 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
- К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на 3 2 ;
- к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 9 2 ;
- к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 3 2 .
Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что R a n k ( A ( 4 ) ) = 2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.
Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!
