Последовательность называется возрастающей если

такая последовательность что для всех выполняется неравенство Иногда такие последовательности наз. строго возрастающим и, а термин "В. п." применяется к последовательностям, удовлетворяющим для всех плишь условию Такие последовательности наз. также неубывающими. Всякая ограниченная сверху неубывающая последовательность имеет конечный предел, а всякая не ограниченная сверху имеет бесконечный предел, равный +бесконечн. Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Смотреть что такое "ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ" в других словарях:

возрастающая последовательность — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ascending sequence … Справочник технического переводчика

Возрастающая подпоследовательность — Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности состоит в отыскании наиболее длинной возрастающей подпоследовательности в данной последовательности элементов. Содержание 1 Постановка задачи 2 Родственные алгоритмы … Википедия

Возрастающая функция — Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Содержание 1 Определения 2… … Википедия

Числовая последовательность — Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия

Монотонность последовательности — Монотонная последовательность последовательность , удовлетворяющая одному из следующих условий: для любого номера выполняется неравенство (неубывающая последовательность), для любого номера выполняется неравенство (невозрастающая… … Википедия

МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются и метрически (т. е. на основе теории меры )характеризуются множества чисел, обладающих определенными арифметич. свойствами. М. т. ч. тесно связана с теорией вероятностей, что иногда дает возможность… … Математическая энциклопедия

Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности — утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих… … Википедия

МАННА ТЕОРЕМА — теорема, дающая оценку плотности суммы двух последовательностей. Пусть А= <0, а 1, а.2,. . ., а i, . >возрастающая последовательность целых чисел и Плотностью последовательности Аназ. величина А р и ф м е т и ч е с к о й суммой двух… … Математическая энциклопедия

ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВО — пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS )и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной… … Математическая энциклопедия

Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей

Возрастающие и убывающие последовательности

Ограниченные и неограниченные последовательности

Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x_n , то говорят, что задана числовая последовательность

Число x₁ называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x₂ — членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x_n называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы .

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

с помощью формулы, выражающей зависимость члена x_n от его номера n .

Пример 1 . Числовая последовательность

задана с помощью формулы общего члена

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x_n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .

Пример 2 (Числа Фибоначчи). Числовая последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

может быть задана с помощью рекуррентной формулы

с начальными условиями

Возрастающие и убывающие последовательности

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Пример 3 . Последовательность натуральных чисел

является возрастающей последовательностью.

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

x_{n + 1} Пример 4 . Последовательность

является убывающей последовательностью.

Пример 5 . Числовая последовательность

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .

Ограниченные и неограниченные последовательности

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

m Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями .

Пример 6 . Числовая последовательность

ограничена снизу, например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху.

Пример 7 . Последовательность

является ограниченной последовательностью, поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Разделы: Математика

Цель: Дать понятие, определение последовательности, конечной, бесконечной, различные способы задания последовательностей, их различие, научить применять при решении примеров.

I. Организационный момент.

II. Фронтальная проверка домашнего задания:

1) ученик на доске задачу № 2.636 (из II части “Сборника заданий для письменного экзамена в 9 кл.)

2) ученик. Построить график

3) фронтально со всем классом № 2.334 (а).

III. Объяснение нового материала.

Школьная лекция – это такая форма организации учебного процесса, которая ориентирует учащихся при изучении той или иной темы на главное и предполагает широкую демонстрацию личностного отношения учителя и учащихся к учебному материалу. Т.к. урок-лекция предусматривает крупноблочное изложение учителем материала, то речевое общение учителя и учащихся является главным в ее технологии. Слово учителя оказывает эмоциональное, эстетическое воздействие и создает определенное отношение к предмету. С помощью лекции осуществляется руководство различными видами деятельности учащихся на занятии, а через знания, умения и навыки формируется познание как основа учебной деятельности.

I. Выпишите в порядке возрастания двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 3.

Каждому порядковому номеру от 1 до 9 поставьте в соответствие определенное двузначное число:

Между множеством первых девяти натуральных чисел и множеством двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 3, установилось соответствие. Это соответствие является функцией.

Областью определения служит

Если соответствие обозначить f, то

f (1)=13;

f (2)=23;

f (9)=93.

Функция, область определения которой – множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью.

Конечная последовательность – это функция, заданная на множестве первых n натуральных чисел.

а) 3; 5; 7; 9	о.о.ф.
м.з.ф. <3;5;7;9>.

Эту последовательность можно задать с помощью пар.

II.

М.з.ф. g(1) = ;

g(3) =; …

g(60) =

Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.

1 —> 2; 2 —> 4; ……. n —> 2n

— члены последовательности.

Замечание: следует различать понятие множества и понятие последовательности.

— одно и то же множество.

б) однако, последовательности 10; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

III. Рассмотрим последовательность:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. —> бесконечная, возрастающая

2) 10; 9; 8; 7; 6. —> конечная, убывающая.

а)

;

Последовательность называется возрастающей, если каждый член ее, начиная со второго, больше своего предыдущего.

б)

;

Дается определение убывающей последовательности.

Возрастающие или убывающие последовательности называются монотонными.

1; 0; 1; 0; 1; 0. — колеблющаяся;

5; 5; 5; 5; ….. — постоянная.

IV. Последовательности можно изобразить геометрически. Т.к. последовательности – это функция, областью определения которой служит множество N, то графиком, видимо, является множество точек плоскости (х; у).

Пример: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Построим график этой последовательности

Пример: Докажите, что последовательность, заданная в таком виде

V. Способы задания последовательностей.

Т.к. последовательность – это функция, определенная на множестве N, то существует пять способов задания последовательностей:

II. Способ описания

I. Табличный – очень неудобный. Составляем таблицу и по ней определяем, какой член? какое место он занимает……..

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169

II. Способ описания.

Пример: Последовательность такова, что каждый ее член записывается с помощью цифры 4, и число цифр равно номеру числа последовательности.

; ; .

III. Аналитический способ ( с помощью формулы).

пример:

Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n члена последовательности.

2)

и ученики составляют эти последовательности, и наоборот: подберите формулу для членов последовательностей:

а) 1; ; ;…………..
б) .
в)
г)
д) 1;-2;3;-4;5;-6;………….

IV. Графический способ – тоже не очень удобный, обычно им и не пользуются.

Ученики должны четко знать, что соединять точки графика нельзя!

V. Рекуррентный способ.

Пример: В последовательности каждый член, начиная со второго, равен квадрату предшествующего.

Можно составить сколько угодно таких последовательностей:

в)

Здесь мы не знаем , поэтому достаточно указать первый член.

, а каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих членов.

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предшествующие члены, называют рекуррентной.

Итак, еще раз обратить внимание учеников на то, что если последовательность задана рекуррентным способом, то:

1) обязательно известен первый член последовательности;

2) дана формула, позволяющая определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

1) , а каждый член, начиная со второго, равен произведению своего номера и предыдущего числа.

(Факториал).

2)

Напишите первые шесть членов последовательности.

На дом: из учебника Галицкого М.Л., Гольдмана А.М., Звавича Л.И. “Сборник задач по алгебре 8-9 кл.”

Стр.163 №№ 12.1 (г, д, е, ж), 12.2 (г, д, е), 12.4 (з, и, л), 12.5 (б,г).

Из сборника заданий 9 кл. (экзаменационный материал) № 2.641 (а).

Примечание: Начиная следующее занятие, можно ученикам дать понятие последовательности, ограниченной снизу, сверху, и решать задачи.