Содержание
Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислите.
По сути ( sqrt <4-x^2>) — это уравнение окружности, с радиусом 2 ( ( x^2+y^2=r^2 ) )
Причем нам дана верхняя часть этой окружности и нужно найти площадь 1/4 круга
Вычисление площади является основным в теории площадей. Возникает вопрос о ее нахождении, когда фигура имеет неправильную форму или необходимо прибегнуть к ее вычислению через интеграл.
Данная статья рассказывает о вычислении площади криволинейной трапеции по геометрическому смыслу. Это позволяет выявлять связь между интегралом и площадью криволинейной трапеции. Если дана функция f ( x ) , причем непрерывная на интервале [ a ; b ] , знак перед выражением не меняется.
Криволинейная трапеция
Фигура, обозначенная как G , ограничена линиями вида y = f ( x ) , y = 0 , x = a и x = b , называется криволинейной трапецией. Она принимает обозначение S ( G ) .
Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Для вычисления криволинейно трапеции необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на количество n частей x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n с точками, определенными на a = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i — x i — 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n — 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Отсюда имеем, что P ⊂ G ⊂ Q , причем при увеличении количества точек разбиения n , получим неравенство вида S — s ε , где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка [ a ; b ] . Иначе это запишется как lim λ → 0 S — s = 0 . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f ( x ) d x .
Из последнего равенства получим, что определенный интеграл вида ∫ a b f ( x ) d x является площадью криволинейной трапеции для заданной непрерывной функции вида y = f ( x ) . Это и есть геометрический смысл определенного интеграла.
При вычислении ∫ a b f ( x ) d x получим площадь искомой фигуры, которая ограничивается линиями y = f ( x ) , y = 0 , x = a и x = b .
Замечание: Когда функция y = f ( x ) является неположительной из отрезка [ a ; b ] , тогда получаем, что площадь криволинейной трапеции вычисляется, исходя из формулы S ( G ) = — ∫ a b f ( x ) d x .
Вычислить площадь фигуры, которая ограничена заданными линиями вида y = 2 · e x 3 , y = 0 , x = — 2 , x = 3 .
Для того, чтобы решить, необходимо для начал построить фигуру на плоскости, где имеется прямая y = 0 , совпадающая с О х , с прямыми вида x = — 2 и x = 3 , параллельными оси о у , где кривая y = 2 · e x 3 строится при помощи геометрических преобразований графика функции y = e x . Построим график.
Отсюда видно, что необходимо найти площадь криволинейной трапеции. Вспоминая геометрический смысл интеграла, получаем, что искомая площадь и будет выражена определенным интегралом, который необходимо разрешить. Значит, необходимо применить формулу S ( G ) = ∫ — 2 3 2 · e x 3 d x . Такой неопределенный интеграл вычисляется, исходя из формулы Ньютона-Лейбница
S ( G ) = ∫ — 2 3 2 · e x 3 d x = 6 · e x 3 — 2 3 = 6 · e 3 3 — 6 · e — 2 3 = 6 · e — e — 2 3
Ответ: S ( G ) = 6 · e — e — 2 3
Замечание: Для нахождения площади криволинейной трапеции не всегда можно построить фигуру. Тогда решение выполняется следующим образом. При известной функции f ( x ) неотрицательной или неположительной на отрезке [ a ; b ] , применяется формула вида S G = ∫ a b f ( x ) d x или S G = — ∫ a b f ( x ) d x .
Произвести вычисление площади, ограниченной линиями вида y = 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) , y = 0 , x = — 2 , x = 4 .
Для построения этой фигуры получим, что у = 0 совпадает с О х , а х = — 2 и х = 4 являются параллельными О у . График функции y = 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) = 1 3 ( x + 1 ) 2 — 3 — это парабола с координатами точки ( — 1 ; 3 ) , являющейся ее вершиной с направленными вверх ветвями. Чтобы найти точки пересечения параболы с О х , необходимо вычислить:
1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) = 0 ⇔ x 2 + 2 x — 8 = 0 D = 2 2 — 4 · 1 · ( — 8 ) = 36 x 1 = — 2 + 36 2 = 2 , x 2 = — 2 — 36 2 = — 4
Значит, парабола пересекает ох в точках ( 4 ; 0 ) и ( 2 ; 0 ) . Отсюда получим, что фигура, обозначенная как G , получит вид, изображенный на рисунке ниже.
Данная фигура не является криволинейной трапецией, потому как функция вида y = 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) изменяет знак на промежутке [ — 2 ; 4 ] . Фигура G может быть представлена в виде объединений двух криволинейных трапеций G = G 1 ∪ G 2 , исходя из свойства аддитивности площади, имеем, что S ( G ) = S ( G 1 ) + S ( G 2 ) . Рассмотрим график, приведенный ниже.
Отрезок [ — 2 ; 4 ] считается неотрицательной областью параболы, тогда отсюда получаем, что площадь будет иметь вид S G 2 = ∫ 2 4 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x . Отрезок [ — 2 ; 2 ] неположительный для функции вида y = 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) , значит, исходя из геометрического смысла определенного интеграла, получим, что S ( G 1 ) = — ∫ — 2 2 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x . Необходимо произвести вычисления по формуле Ньютона-Лейбница. Тогда определенный интеграл примет вид:
S ( G ) = S ( G 1 ) + S ( G 2 ) = — ∫ — 2 2 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x + ∫ 2 4 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x = = — 1 3 x 3 3 + x 2 — 8 x — 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 — 8 x 2 4 = = — 1 3 2 3 3 + 2 2 — 8 · 2 — — 2 3 3 + ( — 2 ) 2 — 8 · ( — 2 ) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 — 8 · 4 — 2 3 3 + 2 2 — 8 · 2 = = — 1 3 8 3 — 12 + 8 3 — 20 + 1 3 64 3 — 16 — 8 3 + 12 = 124 9
Стоит отметить, что нахождение площади не верно по принципу S ( G ) = ∫ — 2 4 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 — 8 x — 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 — 8 · 4 — — 2 3 3 + — 2 2 — 8 · — 2 = 1 3 64 3 — 16 + 8 3 — 20 = — 4
Так как полученное число является отрицательным и представляет собой разность S ( G 2 ) — S ( G 1 ) .
Ответ: S ( G ) = S ( G 1 ) + S ( G 2 ) = 124 9
Если фигуры ограничены линиями вида y = c , y = d , x = 0 и x = g ( y ) , а функция равна x = g ( y ) , причем непрерывна и имеет неменяющийся знак на промежутке [ c ; d ] , то их называют криволинейными тарпециями. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Геометрический смысл определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла ∫ c d g ( y ) d y заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида x = g ( y ) , расположенной на интервале [ c ; d ] .
Справедливо считать, что S ( G ) = — ∫ c d g ( y ) d y имеет место быть для непрерывной и неположительной функции x = g ( x ) , расположенном на отрезке [ c ; d ] .
Произвести вычисление фигуры, которая ограничена осью ординат и линиями x = 4 ln y y + 3 , y = 1 , y = 4 .
Построение графика x = 4 ln y y + 3 не является простым. Поэтому необходимо решить без чертежа. Вспомним, что функция определена для всех положительных значений y . Рассмотрим значения функции, имеющиеся на отрезке [ 1 ; 4 ] . По свойствам элементарных функций знаем, что логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Тогда не отрезке [ 1 ; 4 ] является неотрицательной. Значит имеем, что ln y ≥ 0 . Имеющееся выражение ln y y , определенное на том же отрезке, неотрицательно. Можно сделать вывод, что функция x = 4 ln y y + 3 является положительной на интервале, равном [ 1 ; 4 ] . Получаем, что фигура на этом интервале является положительной. Тогда ее площадь должна вычисляться по формуле S ( G ) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y .
Необходимо произвести вычисление неопределенного интеграла. Для этого необходимо найти первообразную функции x = 4 ln y y + 3 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Получаем, что
∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d ( ln y ) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 ln 2 y + 3 y + C ⇒ S ( G ) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 · 4 — ( 2 ln 2 1 + 3 · 1 ) = 8 ln 2 2 + 9
Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.
Ответ: S ( G ) = 8 ln 2 2 + 9
Итоги
В данной статье мы выявили геометрический смысл определенного интеграла и изучили связь с площадью криволинейной трапеции. Отсюда следует, что мы имеем возможность вычислять площадь сложных фигур при помощи вычисления интеграла для криволинейной трапеции. В разделе нахождения площадей и фигур, которые ограниченными линиями y = f ( x ) , x = g ( y ) , данные примеры рассмотрены подробно.
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Проверено экспертом
Построим график функции f(x)=|x-3|
План построения графика:
1) Строим f(x)=x-3, прямую проходящую через точки (0;-3), (3;0)
2) Нижнюю часть графика f(x)=x-3, отобразить относительно оси Ох и получим график функции f(x)=|x-3|
На графике отметим ограченные линии [0;6]. Видим что они образуют прямоугольные треугольники с катетами 3.
Площадь фигуры ограниченными линиями будет сумма площадей прямоугольных треугольников.
Назовём первый треугольник ARC, а другой — KLC
Площадь ARC = AR*RC = 3*3 = 9 кв. ед.
Площадь KLC = KL * LC = 3*3 = 9 кв. ед.
Площадь ограниченной фигуры: S=S₁+S₂=9+9 = 18 кв.ед.
Ответ: 18.