Почему 0 не является натуральным числом

Скачать:

Вложение	Размер
pochemu_nol_ne_naturalnoe_chislo.ppt	1.2 МБ
n603_issled_plyusiki.doc	137.5 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Проект «Почему ноль не натуральное число?» Выполнила ученица 5-а класса МОУ «СОШ № 100 им. С.Е.Цветкова» Андреева Елизавета Руководитель: учитель математики и информатики Папшева Виктория Владимировна г. Новокузнецк, 2010 г.

Цель проекта : Найти доказательство тому, что ноль не натуральное число.

Задачи: Найти определение, что такое «число» и «натуральные числа», используя словари и Интернет. Найти определение «ноля», используя различные источники информации. Доказать, что на ноль делить нельзя. Найти, где используется «ноль».

Команда «Плюсики» — участники телекоммуникационного проекта «Числа правят миром»

План работы: Найти в словаре, что такое «число». Найти в словаре, что такое «натуральное число». Найти определение слова «ноль». Выяснить, почему на ноль делить нельзя. Где можно встретить «ноль». Ответить на вопрос «Почему ноль не натуральное число?»

Что такое «число»? «Число – это знак, выражающий количество, цифра». «Для того, чтобы описать совокупность однородных предметов, надо указать, какие предметы и сколько их. Например, на этом столе лежат пять карандашей, в этой комнате семь стульев, в этом шкафу двести тридцать шесть книг… Слова: пять, семь, двести тридцать шесть,… суть числа». «Число – основное понятие математики – величина, при помощи которой производится счёт».

Что такое «число»? « ЧИСЛО, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось… ЧИСЛО, грамматическая категория, указывающая на количество предметов, обозначаемых данным словом…»

Что такое «число»? Одно яблоко Три яблока Тридцать два яблока

Что такое «натуральное число»? Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте. Для любого натурального числа существует только одно следующее. Единица является наименьшим натуральным числом, так как нет такого натурального числа, для которого она была бы следующим.

Что такое «натуральное число»? Натуральные числа, числа которые мы используем при счёте: один, два, три, четыре, …

Что такое «ноль»? Ноль – это число, обозначающее отсутствие чего – либо, пустоту. Цифра 0 означает отсутствие единиц разряда в записи числа. 102; 150; 1 023; 120 125 ; 105 000

Что такое «ноль»? В математике ноль – это действительное число, от прибавления (вычитания) которого ничего не меняется. Умножение любого элемента на ноль дает ноль. Это неотъемлемое свойство ноля , часть его определения. a + 0 = a a – 0 = a a • 0 = 0

Что такое «ноль»? Энциклопедический словарь Словарь символов Толковый словарь русского языка под ред. Д. Н. Ушакова Словарь Даля. Словарь Ожегова Новый толково-словообразовательный словарь русского языка. Автор Т. Ф. Ефремова.

Почему на ноль делить нельзя? Если a : b=c , то b •c=a . Допустим, делим число 10 на 0. (a=10, b=0) Мы должны найти такое число (c- ?), которое при умножении на 0 даст 10. (С •0 = 10 ?) Но: 1 •0=0 2•0=0 … С •0=0 … На ноль делить нельзя!

Где можно встретить “ноль»? Ноль-ноль: 1) при указании времени означает: ровно, точно, ни минутой раньше или позже. 2) (спорт.) обозначает ничейный исход игры, состязания. — абсолютный нуль Ноль внимания. Никакого внимания (не обращает). Ноль без палочки . О ком-либо, не представляющем ценности, имеющем небольшое значение. Быть равным нулю Быть очень незначительным, почти никаким. Начинать с нуля Приступать к какому-либо делу без предварительной подготовки.

Где можно встретить “ноль»? Свести к нулю. Сделать совершенно незначительным, уничтожить. Стричь под ноль (нуль) Стричь наголо. Рот на ноль. Значение: закрой рот, требование замолчать. пример текста: Рот на ноль! Так что если не знаешь, то рот на ноль. Рот на ноль! Ты мне ещё поговори тут. Нулевой вариант. Иносказательно о возвращении к исходному положению дел; о равноправной или компромиссной позиции сторон.

Почему ноль не натуральное число? Изначально определение натурального числа шло из нумерации, а нулевого предмета не существует, поэтому ноль не натуральное число.

Почему ноль не натуральное число? «А Вы используете ноль при счёте?»

Литература: Виленкин Н.Я. Математика 5 класс. – М.: Мнемозина, 2008. http://ru.wikipedia.org/wiki/Ноль_(группа) http://www.bibliotekar.ru/encSlov/index.htm http://www.dict.t-mm.ru/dal/ http://www.zastavki.com/rus/3D-graphics/wallpaper-7012-9.htm http://elenakosilova.narod.ru/studia3/math/translatio/zero.htm

Спасибо за внимание!

Энциклопедический словарь Нуль — (от лат. nullus — никакой) — число 0, от прибавления (или вычитания)которого к любому числу последнее не меняется: (а+0) = (-0+а) = а;произведение любого числа на нуль дает нуль: а ??0 = 0 ? а = 0. Деление нануль невозможно. В современной математике понятие нуля (нулевого элемента)рассматривают в алгебраических структурах более общей природы (напр.,алгебраических полях). Вернуться к перечню словарей

Словарь символов Ноль. Означает несуществование, ничто, неявленное, беспредельное, вечное, отсутствие качества и количества. В даосизме ноль символизирует пустоту и небытие. В буддизме — это пустота и безвещественность. В ученье Каббалы ноль — безграничность, свет беспредельный, единое. Для Пифагора ноль — это совершенная форма, монада, исток и простор для всего. В исламе — этосимвол Сущности Божества. Ноль также олицетворяет Космическое Яйцо, первичного андрогина, полноту. Изображенный в виде пустого круга, указывает как на отсутствие смерти, так и на абсолютную жизнь, находящуюся внутри круга. Ноль имеет тот же символизм, что и круг . Когда он изображается в виде эллипса, его стороны символизируют восхождение и нисхождение, разворачивание и свертывание. Вернуться к перечню словарей

Толковый словарь русского языка под ред. Д. Н. Ушакова НОЛЬ ноля, м. 1. Цифровой знак: 0. Ѓ Отсутствие величины (мат.). 2. Самый низкий, дурной балл (дореволюц. школьн.). 3. перен. Человек, не имеющий никакого значения (разг.). Мы почитаем всех — нулями, а единицами — себя. Пушкин. Для вас, быть может, он ничтожество, нуль. Чехов. Два ноля (разг. шутл.) — уборная. Сводиться (свестись) к нулю — превращаться в ничто, терять значение. Вернуться к перечню словарей

Словарь Даля. Нуль — м. ноль; счислительный знак, означающий ничто, ничего (0); но поставленный после другой цифры (справа), повышает ее десятью, умножает на десять. Считай по градуснику от нуля. Нулик, сверху и с боку цифры, означает градусы. Нулик под нуликом, у цифры, значит процент, со ста. Хоть каким нулищем помножай что, все нуль будет. Нулевой знак, нуль. Нулевой флаг, морск. в сигналах, означающий нуль. Дробь нулевого номера, самая крупная. Вернуться к перечню словарей

Словарь Ожегова 1) Ноль — Действительное число, от прибавления которого никакое число не меняется 2) Ноль — О ничтожном, незначительном, ничего не значащем человеке 3) Ноль — Цифровой знак "0", обозначающий такое число, а также, в составе цифровых обо значений, отсутствие единиц какого-нибудь разряда Вернуться к перечню словарей

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка. Автор Т. Ф. Ефремова. Ноль м. (а также нуль) 1) Цифровой знак "0", обозначающий отсутствие величины (прибавленный к любому числу справа удесятеряет его). 2) Условленная величина, от которой начинается исчисление подобных ей величин (времени, температуры и т.п.). 3) Самый низкий балл оценки знаний, поведения в школе (в Российском государстве до 1917 г.). 4) Что-л. бесконечно малое, ничтожное. 5) перен. Ничтожный, не имеющий никакого значения человек. Вернуться к перечню словарей

Предварительный просмотр:

Телекоммуникационный проект по математике

«Числа правят миром»

«Первое число есть измеряемое только единицей»

«Почему ноль не натуральное число?»

Давайте, сначала разберемся: что такое число? Обратимся к словарями.

Так в толковом словаре под ред. С.И.Ожегова и Н.Ю.Шведовой можно найти такое определение числа . «Число – основное понятие математики – величина, при помощи которой производится счёт».

В толковом словаре В.И.Даля, число – это знак, выражающий количество, цифра.

А вот в энциклопедическом словаре под ред. Ф.А.Брокгауза, И.А.Ефрона можно найти такое определение числа. «Для того, чтобы описать совокупность однородных предметов, надо указать, какие предметы и сколько их. Например, на этом столе лежат пять карандашей, в этой комнате семь стульев, в этом шкафу двести тридцать шесть книг… Слова: пять, семь, двести тридцать шесть,… суть числа».

В Современном толковом словаре, говорится о том, что « ЧИСЛО, одно из основных понятий математик; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось… ЧИСЛО, грамматическая категория, указывающая на количество предметов, обозначаемых данным словом…»

Тридцать два яблока

Итак, мы разобрались, что же такое ЧИСЛО!

Попробуем теперь найти определение натуральных чисел.

Опять обратимся к словарям, попробуем поискать ответ и в Интернете.

Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте.

Для любого натурального числа существует только одно следующее. Единица является наименьшим натуральным числом, так как нет такого натурального числа, для которого она была бы следующим.

Итак, натуральные числа, числа которые мы используем при счёте: один, два, три, четыре, …

А что же это за число такое – «НОЛЬ»?

Ноль – это число, обозначающее отсутствие чего – либо, пустоту.

Участники нашей команды «Плюсики» нашли еще много определений числа ноль и цифры 0

Цифра 0 означает отсутствие единиц разряда в записи числа.

Число ноль означает не одного.

Что такое ноль ? Это число, благодаря которому нельзя посчитать ни один пример.

В математике ноль – это действительное число, от прибавления которого ничего не меняется.

Умножение любого элемента на ноль дает ноль. Это неотъемлемое свойство ноля , часть его определения.

Деление на ноль невозможно, так как приводит к противоречию. Что значит запись 5:0, это значит, нужно найти такое число x, которое при умножение на ноль в результате давало 5. Нет такого числа! Найти невозможно, так как x·0=0 всегда!

«Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают …»

Ноль – это ничто! Ноль яблок, это значит – ни одного яблока. Пройти ноль километров – значит не сдвинуться с места. Бежать со скоростью ноль километров в час, значит стоять на месте. Да, вообще, ноль трудностей не вызывает. Прибавить или отнять ноль – это значит ничего не прибавит и ничего не отнять.

Ноль – не натуральное число (такими называю числа для нумерации объектов, хотя теперь мода пошла на «минусовые» (подземные этажи) и на «нулевые», но арифметика из-за этого «не волнуется». Изначально определение натурального числа шло из нумерации, а нулевого предмета не существует, поэтому ноль не натуральное число.

Итак на вопрос: «Входит ли в натуральные числа ноль?» – Можно задать ответный вопрос: «А Вы используете ноль при счёте?» — «Нет!». Поэтому ноль и не является натуральным числом.

В школах РФ действуют учебники по ма­тематике (5 кл.), где число нуль не считает­ся натуральным числом, а последствия такого утверждения устраняются дополнительными по­яснениями: при отсутствии какогонибудь раз­ряда в записи многозначного числа пишется число нуль. Или же в литературе для старших клас­сов говорится: ряд натуральных чисел расширя­ется присоединением к нему числа нуль. В даль­нейшем число нуль считается целым, рациональ­ным, действительным, комплексным числом.

Другими словами, возникает вопрос: поче­му число нуль, относясь к целым числам, не яв­ляется натуральным. По какой причине? Почему число 1 натуральное, а число 0 не натуральное?

Вникнем в сущность понятия «натураль­ное число». Число 1 свидетельствует о наличии одного элемента в множестве независимо от его реального содержания (человек, птица, яблоко и т.д.). Число 0 свидетельствует об отсутствии какогонибудь элемента в том или ином множестве. И число 1, и число 0 характеризуют то, что имеется 1 элемент или же отсутствует такой элемент в рассматриваемом множестве. В этом смысле эти числа являются «продуктами» одно­го и того же рода мышления, одного вида рассу­ждений.

Слово «натура» [4. С. 397] поясняется, как: «1) то же, что и природа; 2) то, что существует в действительности, настоящее». Следовательно, и число 1, и число 0 характеризуют данное мно­жество наличием или отсутствием в нём элемен­тов. В этом смысле они являются натуральными числами, они свидетельствуют о том, какое коли­чество вещей имеется (или не имеется).

В словаре [2. С. 256] разъясняется поня­тие «конечное множество» — пустое множе­ство, а также всякое множество, равномощное с множеством всяких целых положительных чи­сел, не превосходящих какогонибудь целого по­ложительного числа».

В математической энциклопедии [3. Т. 2, С. 723] поясняется понятие «кардинальное чис­ло» — трансфинитное число, мощность множе­ства по Г. Кантору, кардинал множества А, такое свойство этого множества, которое присуще лю­бому множеству В, равномощному множеству А. Там же, на странице 837 слово мощность по­ясняется как кардинальное число, а слова «на­туральное число» поясняется как кардиналь­ное число [3. Т. 3, С. 892], исключая при этом пустое множество. Здесь мы видим, что имеет­ся некоторое противоречие: мощность множе­ства — кардинальное число, или же кардиналь­ное число — мощность множества, мощность конечного множества — это натуральное число, а пустое множество относится к конечным. Та­кое противоречие устраняется в логическом сло­варе [2. С.375]: «Индуктивно натуральное число определяется следующим образом:

1. 0 является натуральным числом.

2. Если п — натуральное число, то и n´ -натуральное число(n=n+1).

3. Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, нет.

4. Для любого натурального числа n существует п´≠0».

Г.В. Дорофеев пишет [1. С. 6769]: «. в рамках теоретикомножественного подхода ут­верждение, что «0 не является натуральным чис­лом», неверно, а «расширение» множества нату­ральных чисел с помощью нуля некорректно». Свое мнение по этому вопросу он завершает фразой: «Трактовка нуля как натуральное число одновременно и удобна для математики, и есте­ственно «склеивает» два основных подхода к по­нятию натурального числа. Кроме того, учащим­ся согласиться с этим пониманием числа 0 зна­чительно проще, чем многим учителям, уже при­выкшим к такому толкованию этого понятия».

Х.Ш. Шихалиев (автор данной ста­тьи), занимающийся вопросом совершенство­вания содержания и методов обучения матема­тике в общеобразовательной школе (511 клас­сы), начиная с 70х годов прошлого века, и раз­работавший всю линию обучения математике на теоретикомножественной основе, утвержда­ет не только целесообразность реализации двух подходов к изучения числа в школе, но и необходимость сближения учения о числе в школе к его научной трактовке.

С точки зрения диалектики возникнове­ния и развития понятий «количественная и по­рядковая теории числа не являются различны­ми, независимыми друг от друга аспектами, а представляют две стороны единого эволюцион­ного процесса развития этого понятия. Каждая из этих теорий разъясняет и дополняет содержа­ние понятия, раскрывая его суть шире, полнее и яснее. Натуральное число появляется как мощ­ность конечного множества, а множество нату­ральных чисел в целом характеризуется и кри­сталлизуется как единое целое с помощью тео­рии порядкового числа. Когда теория порядко­вого числа не в состоянии развить учение о чис­ле дальше, мы общаемся к теории кардинально­го числа для сравнения различных бесконечных множеств по их мощностям» [6. С. 5354].

Это единство обеих теорий обосновыва­ется в книге И. К. Андронова и А. К. Окунева «Арифметика рациональных чисел». О един­стве теорий кардинального и порядкового числа можно найти и у Д. Гильберта. Общность обе­их теорий заключается в том, что, с одной сто­роны, ни одна теория в отдельности не в состо­янии раскрыть и развить понятие натурально­го числа полностью и в совершенстве. С другой стороны, их чередование в обосновании и раз­витии этого понятия полностью раскрывает ин­вариантность одной теории с инвариантностью другой, то есть понятие мощности становится результатом счёта и наоборот. По утверждению Фройденталя Г., различие заключается лишь в историческом плане, то есть в том, что «коли­чественное число — совершенно примитивное понятие, которое в развитии человечества было вскоре заменено более тонким»[5. С. 116].

Таким образом, понятия «натуральное число» и «множество натуральных чисел» ста­новятся понятными и логически завершенны­ми только в совместном рассмотрении карди­нального и порядкового подходов к ним, а не в раздельном их изучении. Первая теория поясня­ет содержательную сторону понятия числа, опе­рируя конкретными множествами, вторая теория усовершенствует математическую сторону поня­тия, отвлекаясь от его содержательной стороны, возвышая это понятие на новую ступень абстрак­ции. Затем снова возвращается к теории карди­нального числа, разъясняя содержательную сто­рону трансфинитных чисел. В таком подходе к этому понятию чётко видно философское разъ­яснение природы развития понятий. Такая пози­ция придерживается многими учеными и педаго­гами, в частности А.П. Менчинской.

Разработанные учебноэксперименталь­ные материалы [7, 8, 9, 10] и прошедшие апро­бацию неоднократно в VXI классах не продви­гаются за пределами региона, ссылаясь на то, что МОиН РФ запретило заниматься по учебным по­собиям, не имеющим их гриф. Нашим пособи­ям ранее такой гриф не давали по причине, что их содержание выходит за пределы имеющихся стандартов. Теперь «Новое поколение стандартов образования» стало ближе к нашим позициям. Можно надеяться на то, что наши пособия станут доступными для массового учителя математики. Более того, вопрос о числе нуль возник изза того, что учащийся, считавший запись: 0eN- истин­ным высказыванием, получил низкий балл, а дру­гой учащийся, считавший эту запись ложным вы­сказыванием, получил на балл выше. Выходит, что быть ближе к науке иногда вредно.

1. Дорофеев Г.В. Математика для каждо­го. М.: АЯКС, 1999. — 390 с.

2. Кондаков Н.И. Логический словарь. Справочник. М.: Наука, 1976. — 717 с.

3. Математическая энциклопедия. М.: Сов.энциклопедия, 1979.

4. Ожегов СИ., Шведова Н.Ю. Толко­вый словарь русского языка. М.: РАН, 2009. — 940 с.

5. Фройденталь Г. Математика как педа­гогическая наука. 4.1.- М.: Просвещ., 1982, 208 с.

6. Шихалиев Х.Ш. Об альтернативном подходе к разработке школьных курсов матема­тики. Махачакала: ДГПУ, 2010. — 196 с.

7. Шихалиев Х.Ш. Математика 56. Учебное пособие. -Махачкала: ДГПУ, 1997. — 246 с.

8. Шихалиев Х.Ш., Алиев Р.Г. Математи­ка 1011. Пробное учебное пособие. — Махач­кала: Лотос, 2007. — 160 с.

9. Шихалиев Х.Ш. Алгебра 79. Учебное пособие. — Махачкала: Лотос, 2007. — 256 с.

10. Шихалиев Х.Ш. Геометрия на плоскости 59. Учебное пособие. Махачкала: ДГПУ,1997. — 344 с.

Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный) — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом [1] .

Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n <displaystyle n> найдётся натуральное число, большее чем n <displaystyle n> . Отрицательные и нецелые (рациональные и вещественные) числа к натуральным не относят.

Свойства натуральных чисел и операций с ними изучают арифметика и (более углублённо) теория чисел.

Содержание

Место нуля [ править | править код ]

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

• натуральные числа — числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, четвёртый, пятый…);
• натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов…).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход [2] . Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего ноль [2] .

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N <displaystyle mathbb > . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения [3] :

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ N <displaystyle mathbb > обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается N 0 , Z + , Z ⩾ 0 <displaystyle mathbb _<0>,mathbb _<+>,mathbb _<geqslant 0>> и т. д. [2]

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел [ править | править код ]

Аксиомы Пеано для натуральных чисел [ править | править код ]

Множество N <displaystyle mathbb > будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция S <displaystyle S> c областью определения N <displaystyle mathbb > , называемая функцией следования ( S : N <displaystyle Scolon mathbb > ), и выполнены следующие условия:

1. элемент единица принадлежит этому множеству ( 1 ∈ N <displaystyle 1in mathbb >), то есть является натуральным числом;
2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если x ∈ N <displaystyle xin mathbb >, то S ( x ) ∈ N <displaystyle S(x)in mathbb >или, в более короткой записи, S : N → N <displaystyle Scolon mathbb o mathbb >);
3. единица не следует ни за каким натуральным числом ( ∄ x ∈ N ( S ( x ) = 1 ) <displaystyle
   exists xin mathbb (S(x)=1)>);
4. если натуральное число a <displaystyle a>непосредственно следует как за натуральным числом b <displaystyle b>, так и за натуральным числом c <displaystyle c>, то b <displaystyle b>и c <displaystyle c>— это одно и то же число (если S ( b ) = a <displaystyle S(b)=a>и S ( c ) = a <displaystyle S(c)=a>, то b = c <displaystyle b=c>);
5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) P <displaystyle P>доказано для натурального числа n = 1 <displaystyle n=1>(база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа n <displaystyle n>, вытекает, что оно верно для следующего за n <displaystyle n>натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть P ( n ) <displaystyle P(n)>— некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число n <displaystyle n>. Тогда, если P ( 1 ) <displaystyle P(1)>и ∀ n ( P ( n ) ⇒ P ( S ( n ) ) ) <displaystyle forall n;(P(n)Rightarrow P(S(n)))>, то ∀ n P ( n ) <displaystyle forall n;P(n)>).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см. [4] , а также краткое доказательство [5] ), что если ( N , 1 , S ) <displaystyle (mathbb ,1,S)> и ( N

) <displaystyle (< ilde <mathbb >>,< ilde <1>>,< ilde >)> — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) f : N → N

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N <displaystyle mathbb > какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом N <displaystyle mathbb > образует моноид. Как уже упоминалось выше, в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела) [ править | править код ]

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

Величина множества натуральных чисел [ править | править код ]

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала ( 0 , 1 ) <displaystyle (0,1)> . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например [6] , N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) 2 k ) <displaystyle mathbb =igcup limits _^<infty >left(igcup limits _^<infty >(2n+1)2^
ight)> ).

Операции над натуральными числами [ править | править код ]

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение: множитель × множитель = произведение;
• возведение в степень: a b <displaystyle a^>, где a <displaystyle a>— основание степени, b <displaystyle b>— показатель степени. Если a <displaystyle a>и b <displaystyle b>— натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

• вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
• деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p <displaystyle p>и остаток r <displaystyle r>от деления a <displaystyle a>на b <displaystyle b>определяются так: a = p ⋅ b + r <displaystyle a=pcdot b+r>, причём 0 ⩽ r b <displaystyle 0leqslant r . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на нуль, так как иначе a <displaystyle a>можно представить в виде a = p ⋅ 0 + a <displaystyle a=pcdot 0+a>, то есть можно было бы считать частным любое число, а остатком a <displaystyle a>.

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства [ править | править код ]

• Коммутативность сложения:

a + b = b + a <displaystyle a+b=b+a>.

• Коммутативность умножения:

a ⋅ b = b ⋅ a <displaystyle acdot b=bcdot a>.

• Ассоциативность сложения:

( a + b ) + c = a + ( b + c ) <displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)>.

• Ассоциативность умножения:

( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) <displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)>.

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

< a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ( b + c ) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a <displaystyle <eginacdot (b+c)=acdot b+acdot c\(b+c)cdot a=bcdot a+ccdot aend>>.

Алгебраическая структура [ править | править код ]

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z <displaystyle mathbb > и рациональных положительных чисел Q + ∗ <displaystyle mathbb _<+>^<*>> соответственно.

Теоретико-множественные определения [ править | править код ]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] <displaystyle [A]+[B]=[Asqcup B]>;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] <displaystyle [A]cdot [B]=[A imes B]>;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] <displaystyle <[A]>^<[B]>=[A^]>,

• A ⊔ B <displaystyle Asqcup B>— дизъюнктное объединение множеств;
• A × B <displaystyle A imes B>— прямое произведение;
• A B <displaystyle A^>— множество отображений из B в A.

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.