Момент инерции равностороннего треугольника относительно центра

Разобьем пластину на тонкие стержни массой dm длиной 2x и высотой dy, как показано на рисунке. Так как для стержня длины момент инерции относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр масс равен , то момент инерции такого стержня относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, по теореме Штейнера , равен:

,

где массу стержня можно выразить из пропорции

,

где – площадь стержня, а – площадь равностороннего треугольника.

Тогда масса стержня: , а его момент инерции:

С учетом того, что для равностороннего треугольника , получим:

Тогда . Но по теореме Штейнера , тогда, учитывая, что , получим выражение для :

Контрольные вопросы

1. В чем заключается физический смысл момента инерции?

2. От чего зависит момент инерции?

3. Сформулируйте теорему Штейнера.

4. С помощью теоремы Штейнера объясните, относительно какой оси момент инерции тела минимален (максимален)?

5. Получите расчетную формулу для момента инерции плоской прямоугольной пластины относительно оси, проходящей через центр масс, и лежащей в плоскости пластины.

6. Получите расчетную формулу для момента инерции пластины в форме равностороннего треугольника относительно оси, лежащей в плоскости пластины и проходящей через одну из его сторон.

7. Как нужно проводить эксперимент в данной работе, чтобы расчетные формулы, которыми вы пользовались, были справедливы

Лабораторная работа №7

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9508 — | 7341 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Определить момент инерции J проволочного равностороннего треугольника со стороной а=10 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10, а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3.10, б). Масса т треугольника равна 12 г и равномерно распределена по длине проволоки.

Найти момент инерции плоского треугольника массы $%m$% со сторонами $%a,b,c$% относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через вершину, противолежащую стороне $%a$%.

задан 11 Дек ’15 22:30

Uchenitsa
1.3k ● 18 ● 80
97&#037 принятых

Мыслится, что треугольник невесомый,т.е. его собственный момент инерции равен нулю?

Я нашёл подобный пример у себя в одной книжке, но там момент инерции равностороннего треугольника.

@epimkin, я нашла пример на вычисление момента инерции относительно оси, параллельной одной из сторон, но это только половина задачи(

Вопрос был закрыт. Причина — "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший — Uchenitsa 12 Дек ’15 13:57

3 ответа

Пусть дан треугольник $%MNK,MN=b,NK=a,MK=c$%. Зададим систему координат $%oxyz$%: точка $%o$% совпадает с точкой $%M$%, ось $%ox$% — вдоль $%MK$%, $%oy$% — перпендикулярно $%MK$%, $%oz$% составляет правую тройку с $%ox$% и $%oy$%. В задаче требуется найти момент инерции относительно оси $%oz$%.

Так как тело плоское, то $%I_z =I_x+I_y$%. Вычислим $%I_x$% и $%I_y$%:
Обозначим $%h$% — высота треугольника, опущенная из вершины $%N,;c_1$% — длина отрезка стороны $%c$% от точки $%M$% до основания высоты, $%S$% — площадь треугольника. Тогда $$ I_x = sum_m_i(y_i^2+z_i^2) = int y^2 dm =\ = fracleft(int_<0>^<frac>int_<0>^y^2 dydx +int_<0>^<frac>int_^y^2 dydx
ight) = frac <6>$$
Аналогично получаем $$ I = frac<6>(cc_1+c_1^2+c^2) $$
Учитывая то, что $%S = frac<2>$%, $%h^2=b^2-c_1^2$%, $%c_1 = frac <2c>$% (из геометрии), получаем ответ:
$$ I_z=frac<12>(3b^2+3c^2-a^2) $$