Меню Закрыть

Метод ложного положения mathcad

БлогNot. Методы решения нелинейных уравнений в MathCAD

Методы решения нелинейных уравнений в MathCAD

Реализуем для некоторого уравнения 4 наиболее популярных численных метода для решения нелинейных уравнений. При этом мы стремимся именно запрограммировать методы, а не воспользоваться встроенным инструментом Given. Find или функциями root , polyroot . Об этих способах решения почитайте, например, здесь.

Определим функцию уравнения f(x)=0 как функцию пользователя, интервал поиска решения зададим переменными a и b . Найти этот интервал можно, например, табличным или графическим методом:

Начальный интервал [a,b] должен быть таким, чтобы значения f(a) и f(b) имели противоположные знаки. Если искомый корень уравнения окажется единственным на интервале, то совсем хорошо 🙂

Логика метода дихотомии (возможно, более правильные названия — метод бисекции, метод половинного деления) довольно проста: если на концах выбранного интервала [a,b] знаки функции совпадают (произведение f(a)*f(b)>0 ), то вернуть результат "недопустимый интервал" (вернём в этом случае ответ "бесконечность"), в противном случае до тех пор, пока длина интервала не станет меньше заданной погрешности ε , будем находить середину текущего интервала c=(a+b)/2 , считать в ней значение функции и проверять, какую из половин отрезка [a,c] или [c,b] нужно отбросить для выполнения следующего шага — а именно, ту, в которой знак f(c) совпадает со знаком функции на левой или правой границе интервала (в листинге — проверка f(a)*f(c)>0 ). Для большей точности вернём середину "последнего" интервала [a,b] , меньшего ε :

В методе простой итерации исходное уравнение f(x)=0 представляется в эквивалентном виде φ(x)=x (что, вообще говоря, можно сделать бесконечным числом способов), а затем шаг метода выполняется по формуле xk+1 = φ(xk) , пока не будет достигнута заданная точность |xk+1-xk| . Если выбрать φ(x)=x-c*f(x) , то константу c целесообразнее всего искать методом релаксации, для которого c=2/(M+m) , где M — максимальное из значений первой производной на концах отрезка или в находящихся на нём точках перегиба функции (точках, где f»(x)=0 ), а m — минимальное из таких значений. Вот соответствующий расчёт в MathCAD:

Если заданной сходимости нет в течение 10000 шагов, в подпрограмме предусмотрен аварийный выход.

Численный метод Ньютона решения нелинейного уравнения основан на формуле вида xk+1 = xk-f(xk)/f'(xk) , обеспечивающей наилучшую сходимость, но требующей дополнительного вычисления производной на каждом шаге. Так как производные для MathCAD — не проблема, можно всё сделать "в лоб":

Видно, что сходимость метода — на 2 порядка выше (погрешность найденного решения

Наконец, существует метод хорд, в котором кривая f(x) заменяется прямой линией (хордой), стягивающей точки (a, f(a)) и (b, f(b)) . Формула этого метода зависит от знака выражения f(a)*f»(a) , то есть, имеет два варианта:
Если f(a)*f»(a)>0 , то x=b , xk+1=a-(f(a)(xk-a))/(f(xk)-f(a))
Если f(a)*f»(a) , то x=a , xk+1=xk-(f(xk)*(b-xk))/(f(b)-f(xk))

Читайте также:  Как добавить скайп в автозагрузку виндовс 10

Вот примерная реализация на MathCAD, как и в предыдущих двух случаях, контролируется максимальное число итераций, равное 10000:

Видно, что сходимость метода оказалась в нашем случае не столь высока.

Подсчитать, сколько шагов какому методу потребовалось, можете сами, немного поменяв выдачу подпрограмм.

Скачать этот пример в формате .xmcd (107 Кб)

05.09.2013, 15:07; рейтинг: 72147

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

управляемой самостоятельной работы студентов (УСР)

по учебной дисциплине

«Вычислительные методы и компьютерное моделирование»

Иностранный язык (английский).Информатика»

Всего УСР — 10 часов, 7 семестр

преподавателем кафедры физико-

(в соответствии с Положением об

управляемой самостоятельной работе

студентов БарГУ, утвержденным

ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ТЕМА: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В MS EXCEL. МЕТОД ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ.

– овладение учебным материалом дисциплины в объеме, требуемой учебной программой;

формирование навыков самообразования в учебной, научной, производственной и управленческой деятельности;

– развитие учебных способностей, умений, навыков и принятия самостоятельных решений в профессиональной деятельности.

Вопросы для изучения:

  1. Метод ложного положения MS Excel.

изучить один из методов решения нелинейных уравнений – метод ложного положения.

1. Изучить предлагаемый вопрос по литературным источникам.

2. Составить конспект.

3. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В MSEXCEL. МЕТОД ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ.

1. Метод ложного положения.

Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что простой корень уравнения находится на отрезке и на одном из концов отрезка выполняется условие Возьмем эту точку в качестве начального приближения. Пусть для определенности это будет . Положим Будем проводить из точки прямые через расположенные на графике функции точки с координатами Абсцисса точки пересечения такой прямой с осью есть очередное приближение

Геометрическая иллюстрация метода приведена на рисунке:

Прямые на этом рисунке заменяют касательные в методе Ньютона. Эта замена основана на приближенном равенстве:

Заменим в расчетной формуле Ньютона производную правой частью приближенного предыдущего равенства. В результате получим расчетную формулу метода ложного положения:

Метод ложного положения обладает только линейной сходимостью. Сходимость тем выше, чем меньше отрезок .

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода ложного положения такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство:

Пример:применим метод ложного положения для вычисления корня уравнения c точностью на отрезке .

то на отрезке есть корень.

Для ускорения сходимости возьмем более узкий отрезок , поскольку

Вторая производная функции равна .

Условие выполняется для точки .

В качестве начального приближения возьмем

По расчётной формуле метода ложного положения имеем:

Продолжая итерационный процесс, получим результаты, приведенные ниже:

a b f(x)=x 3 +2x-11 f ‘ (x)=3x 2 +2 f » (x)=6x Выбор x и х1 e
-8 x0=a, x1=b 0,001
xn-1 xn f(xn-1) f(xn) f(b) xn+1 ǀxn-xn-1ǀ
Читайте также:  Масс эффект 3 баньши

2. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие /В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. — 3-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 2008.

3. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н. В. Копченова, И. А. Марон. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1972.

Форма контроля:проверка конспекта.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8514 — | 8100 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Метод хорд ( метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось — Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

или .

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

.

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Читайте также:  Как подключить джойстик от иксбокса к компьютеру

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ) .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:

— если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить , ;

— если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

— если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

— если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения ( False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1: 0,

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2: 0" w />

Из второго условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона b .

В общем виде, для выявления неподвижного конца можно записать следующее условие: 0" w /> , где или .

Рис. 3. Примеры убывающей или возрастающей функции

Таким образом, в зависимости от вида функции получаются два выражения для упрощения поиска корня функции:

— если функция соответствует первому случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

— если функция соответствует второму случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

Случай сводится к рассматриваемому , если уравнение записать в форме: .

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.