Метод галеркина для решения краевых задач

Метод Галеркина используется для приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных.

Рассмотрим краевую задачу

(3.1)

Для ее приближенного решения выберем какую-либо последовательность базисных функций

(3.2)

т. е. последовательность функций, удовлетворяющих соответствующим однородным краевым условиям

и обладающих свойством полноты. Последнее означает, что любую функцию из достаточно широкого класса, удовлетворяющую указанным однородным краевым условиям, можно разложить в ряд по функциям (3.2).

Чаще всего полагают

или , .

Кроме того, надо выбрать какую-нибудь функцию , удовлетворяющую краевым условиям, указанным в (3.1), например,

или

Приближенное решение задачи (3.1) ищется в виде

, (3.3)

где функции , , … мы задаем, а постоянные , , … , подбираем. Тогда краевые условия, указанные в (3.1), заведомо удовлетворяются, а при подстановке выражения (3.3) в дифференциальное уравнение получается невязка (т. е. разность между левой и правой частями уравнения)

.

С ее помощью получаем систему из уравнений с неизвестными для определения

.

3.2. Реализация метода Галеркина в|посредством| MathCad

Пример. Найти методом Галеркина приближенное решение краевой задачи

, .

Приведем решение краевой задачи с помощью|посредством| программного комплекса MathCad:

Сравним, значения точного и приближенного решений:

например, при имеем

Как видим, погрешность близка к 0,03 %. Для получения более точного решения необходимо использовать большее количество базисных функций.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9966 — | 7768 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

где % <х)— некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.60), а 0 и любой функции у(х)е G можно указать такое п и такие параметры а_х,а₂. а_п, что имеет место неравенство

x ), которая на [а, Ь] будет сколь угодно точно приближать функцию у(х) вместе с ее производными У(х) и у"(х).

Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций

причем с_кк 5*0, иначе (р_к <х)были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F(x), найдем

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.63), придем к равенству

Вычислим последний интеграл:

Таким образом, уравнение (2.64) принимает вид

Полагая здесь к= 1, получим d_xc_u =0, и гак как с_п ^0, то d_x = 0. Полагая к = 2, получим d₂— 0, и т. д. Следовательно, все коэффициенты d, в разложении функции F(x) равны нулю и поэтому F(x) тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (2.59), (2.60), видим, что если бы мы нашли такую функцию у(х), удовлетворяющую условиям (2.60), и чтобы ДтС*)) — /(*) было ортогонально 1, то это означало бы, что L(y(x)) = f(x) и задача (2.59), (2.60) была бы решена. Если же ортогональность есть только при к 2 и условия (2.66) принимают

вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных: с₀₁, с_и, и с₂₁. Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, с₀₁ = 1. Аналогично отыскивают коэффициенты c_ik = 0. к + 1) для к = 2. /?.

Для простых условий вида у(а) — А, у(Ь) = В, т. е. а о = Л) = U а, = Р = 0, функции

Метод Галёркина (метод Бубнова — Галёркина) — метод приближённого решения краевой задачи для дифференциального уравнения L [ ψ ( x ) ] = 0 <displaystyle L[psi (x)]=0> . Здесь оператор L [ ⋅ ] <displaystyle L[cdot ]> может содержать частные или полные производные искомой функции.

Содержание

Основа метода [ править | править код ]

Первым шагом в реализации метода Галёркина является выбор набора базисных функций, которые:

• удовлетворяют граничным условиям.
• в пределе бесконечного количества элементов базиса образуют полную систему.

Конкретный вид функций определяется из специфики задачи и удобства работы. Часто применяются тригонометрические функции, ортогональные полиномы (полиномы Лежандра, Чебышёва, Эрмита и др.).

Решение представляется в виде разложения по базису:

ψ ( x ) = ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) . <displaystyle psi (x)=sum _^alpha _phi _(x).>

Затем приближённое решение подставляется в исходное дифференциальное уравнение, и вычисляется его невязка. Для однородного уравнения:

L [ ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) ] = N ( x ) . <displaystyle Lleft[sum _^alpha _phi _(x)
ight]=N(x).>

Для неоднородного уравнения L [ u ] = f ( x ) <displaystyle L[u]=f(x)> невязка будет иметь вид N ( x ) = L [ u ] − f ( x ) <displaystyle N(x)=L[u]-f(x)> .

Далее выдвигается требование ортогональности невязки к базисным функциям, то есть:

∫ a b N ( x ) ϕ k ( x ) ρ ( x ) d x = 0. <displaystyle int limits _^(x)
ho (x)dx>=0.>

Отсюда получается однородная система уравнений для коэффициентов в разложении, и удаётся приближённо найти собственные значения задачи.

Пример [ править | править код ]

ψ ″ + λ ψ = 0 , <displaystyle psi »+lambda psi =0,>

с граничными условиями:

ψ ( 0 ) = ψ ( 1 ) = 0. <displaystyle psi (0)=psi (1)=0.>

Решение данного уравнения известно:

ψ ( x ) = sin ⁡ π n x , λ = π 2 n 2 , n = 1 , 2.. <displaystyle psi (x)=sin pi nx,quad lambda =pi ^<2>n^<2>,qquad n=1,2..>

Для первого нетривиального решения ( n = 1 ) <displaystyle (n=1)> собственное число равно λ = π 2 ≈ 9 , 869. <displaystyle lambda =pi ^<2>approx 9,869. > .

Теперь применим метод Галёркина. Выберем сперва одну базисную функцию:

ϕ 0 ( x ) = x ( 1 − x ) , ψ ( x ) = a 0 ϕ 0 ( x ) . <displaystyle phi _<0>(x)=x(1-x),qquad psi (x)=a_<0>phi _<0>(x).>

Подставляя в уравнение, получим невязку:

N ( x ) = a ( ϕ ″ + λ ϕ ) , <displaystyle N(x)=a(phi »+lambda phi ),>

и требование ортогональности невязки перепишется в виде:

∫ 0 1 ϕ ″ ϕ d x + λ ∫ 0 1 ϕ 2 d x = 0. <displaystyle int limits _<0>^<1><phi »phi dx>+lambda int limits _<0>^<1><phi ^<2>dx>=0.>

λ = − ∫ 0 1 ϕ ″ ϕ d x ∫ 0 1 ϕ 2 d x = ∫ 0 1 ( ϕ ′ ) 2 d x ∫ 0 1 ϕ 2 d x . <displaystyle lambda =-<int limits _<0>^<1> <phi »phi dx>over int limits _<0>^<1><phi ^<2>dx>>=<int limits _<0>^<1><(phi ‘)^<2>dx> over int limits _<0>^<1><phi ^<2>dx>>.>

В приводимом здесь примере получается λ = 10 <displaystyle lambda =10> , что менее чем на 1,5 % отличается от точного решения. Задание большего числа базисных функций позволяет уточнить уже известное значение λ, а также получить первое приближение для следующего (соответствующего n=2).

Представим решение в виде линейной комбинации n функций:

ψ ( x ) = ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) . <displaystyle psi (x)=sum _^alpha _phi _(x).>

N = ∑ k = 1 n N k ( x ) <displaystyle N=sum _^N_(x)> .

Система уравнений для коэффициентов разложения:

∑ k = 1 n α k ∫ a b ϕ j N k d x = 0 , j = 1.. n . <displaystyle sum _^alpha _int limits _^<phi _N_dx>=0,quad j=1..n.>

В этом случае собственные значения находятся из условия разрешимости системы (равенство нулю её определителя):

det ⁡ ( A j k ) = 0 , A j k = ∫ a b ϕ j N k d x <displaystyle operatorname left(A_
ight)=0,quad A_=int limits _^<phi _N_dx>>

Важно помнить, что сходимость метода Галёркина не всегда быстро достигается. Успешное применение возможно только для т. н. самосопряжённых задач, то есть инвариантных к эрмитовому сопряжению.

Разновидности [ править | править код ]

Метод Галёркина имеет несколько усовершенствованных вариантов:

• Метод Галёркина — Петрова — разложение решения производится по одному базису, а ортогональность невязки требуется к другому.
• Метод Галёркина — Канторовича — позволяет свести уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Например, в двумерной задаче решение представляется в виде: ψ ( x , y ) = ∑ n b n X n ( x ) Y n ( y ) , <displaystyle psi (x,y)=sum _b_X_(x)Y_(y),>и процедура Галёркина проводится применительно лишь к одним функциям (здесь X n ( x ) <displaystyle X_(x)>либо Y n ( y ) <displaystyle Y_(y)>). В итоге получается система ОДУ, для решения которых существуют эффективные численные методы. Данный приём подобен известному в квантовой механике методу Хартри — Фока.

Применение [ править | править код ]

Методы Галёркина давно применяются как для решения дифференциальных уравнений с частными производными, так и для формирования основы метода конечных элементов.

Применение метода к исследованию задач устойчивости гидродинамических течений было реализовано Г. И. Петровым, который доказал сходимость метода Галёркина для отыскания собственных значений широкого класса уравнений, включая уравнения для неконсервативных систем, такие, как например уравнения колебаний в вязкой жидкости.

В гидродинамике наиболее эффективно метод Галёркина работает в задачах о конвекции, в силу их самосопряжённости. Задачи о течениях таковыми не являются, и сходимость метода при неудачном выборе базиса может быть сильно затруднена.

Происхождение названия [ править | править код ]

Метод приобрёл популярность после исследований Бориса Галёркина (1915). Однако этот метод разработал не он, а Вальтер Ритц (1908), на которого Галёркин ссылается в своих первых публикациях. Его также применял Иван Бубнов (1913) для решения задач теории упругости. Поэтому иногда этот метод называют методом Бубнова — Галёркина. Теоретически метод был обоснован советским математиком Мстиславом Келдышем в 1942.