Меню Закрыть

Матрицы задачи с ответом

Содержание

Найти обратную матрицу для матрицы

И проверить выполнение условий ­А А-1 = А-1А = Е.

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Убедимся, что матрица А – невырожденная. ΔА = 1·4 — 2·(-1) ≠ 0, следовательно, А-1 существует.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам А:

Применим способ вычисления обратной матрицы:

.

Не забудьте, что обратная матрица образована из алгебраических дополнений к элементам Транспонированной матрицы!

Найдем произведения ­А А-1 и А-1А:

Таким образом, найденная матрица А-1 отвечает определению обратной матрицы.

Ответ: .

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Следовательно, матрица А невырожденная, и обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Обратная матрица имеет вид:

Ответ: .

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу:

.

Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует.

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

.

Ответ: .

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

.

Ответ:

Является обратной к матрице

Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е.

Проверим невырожденность матрицы А:

Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е.

Для того, чтобы выполнялось условие АВ = Е, X, Y, Z должны быть решением системы уравнений

Проверим, будет ли равно единичной матрице произведение ВА:

Значит, при найденных значениях X, Y, Z В = А-1.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным операциям над матрицами.

На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними. Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Примеры по темам:

Матрицы: основные определения и понятия

Задание. Чему равен элемент $ a_ <23>$ матрицы $ A=left( egin <1>& <4>& <0>\ <-1>& <3>& <7>end
ight) $ ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, $a_<23>=7$.

Ответ. $a_<23>=7$

Умножение матрицы на число

Теоретический материал по теме — умножение матрицы на число.

Задание. Пусть $A=left( egin <3>\ <-1>end
ight)$ . Найти матрицу 2$A$.

Ответ. $2 A=left( egin <6>\ <-2>end
ight)$

Сложение и вычитание матриц

Теоретический материал по теме — сложение и вычитание матриц.

Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$, если $A=left( egin <1>& <2>\ <2>& <-1>\ <3>& <0>end
ight), B=left( egin
<-1>& <1>\ <1>& <2>\ <0>& <0>end
ight)$

Умножение матриц

Теоретический материал по теме — умножение матриц.

Задание. Вычислить $A B$ и $B A$, если $A=left( egin <1>& <-1>\ <2>& <0>\ <3>& <0>end
ight), B=left( egin
<1>& <1>\ <2>& <0>end
ight)$

Решение. Так как $A=A_<3 imes 2>$ , а $B=B_<2 imes 2>$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $C=C_<3 imes 2>$ , а это матрица вида $C=left( egin<11>> & <12>> \ <21>> & <22>> \ <31>> & <32>>end
ight)$ .

Вычисли элементы матрицы $C$ :

$ c_<11>=a_ <11>cdot b_<11>+a_ <12>cdot b_<21>=1 cdot 1+(-1) cdot 2=-1 $

$ c_<12>=a_ <11>cdot b_<12>+a_ <12>cdot b_<22>=1 cdot 1+(-1) cdot 0=1 $

$ c_<21>=a_ <21>cdot b_<11>+a_ <22>cdot b_<21>=2 cdot 1+0 cdot 2=2 $

$ c_<22>=a_ <21>cdot b_<12>+a_ <22>cdot b_<22>=2 cdot 1+0 cdot 0=2 $

$ c_<31>=a_ <31>cdot b_<11>+a_ <32>cdot b_<21>=3 cdot 1+0 cdot 2=3 $

$ c_<31>=a_ <31>cdot b_<12>+a_ <32>cdot b_<22>=3 cdot 1+0 cdot 0=3 $

Выполним произведения в более компактном виде:

Найдем теперь произведение $D=B A=B_ <2 imes 2>cdot A_<3 imes 2>$. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $A B=left( egin <-1>& <1>\ <2>& <2>\ <3>& <3>end
ight)$ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

Транспонирование матрицы

Теоретический материал по теме — транспонирование матрицы.

Читайте также:  Directx пишет что установлен

Задание. Найти матрицу $A^$, если $A=left( egin <1>& <0>\ <-2>& <3>end
ight)$

Минор и алгебраическое дополнение

Задание. Найти минор $M_<23>$ к элементу $a_<23>$ определителя $left| egin <1>& <2>& <-1>\ <1>& <0>& <3>\ <7>& <8>& <4>end
ight|$ .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

Задание. Найти алгебраическое дополнение $A_<23>$ к элементу $a_<23>$ определителя $left| egin <1>& <2>& <-1>\ <1>& <0>& <3>\ <7>& <8>& <4>end
ight|$ .

Вычисление определителя

Задание. Вычислить определитель второго порядка $left| egin <11>& <-2>\ <7>& <5>end
ight|$

Решение. $left| egin <11>& <-2>\ <7>& <5>end
ight|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Задание. Вычислить определитель $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
ight|$ методом треугольников.

Решение. $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
ight|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$

Задание. Вычислить определитель $left| egin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>end
ight|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Задание. Вычислить определитель $Delta=left| egin <-2>& <1>& <3>& <2>\ <3>& <0>& <-1>& <2>\ <-5>& <2>& <3>& <0>\ <4>& <-1>& <2>& <-3>end
ight|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ. $Delta=-80$

Нахождение обратной матрицы

Задание. Для матрицы $A=left( egin <7>& <4>\ <5>& <3>end
ight)$ найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице $A$ справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что $A^<-1>=left( egin <3>& <-4>\ <-5>& <7>end
ight)$

Задание. Найти обратную матрицу для $A=left( egin <1>& <1>\ <1>& <2>end
ight)$

Решение. Шаг 1. Находим определитель: $Delta=left| egin <1>& <1>\ <1>& <2>end
ight|=2-1=1
eq 0$

Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=left( egin <1>& <0>& <2>\ <2>& <-1>& <1>\ <1>& <3>& <-1>end
ight)$

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

$Delta=left| egin <1>& <0>& <2>\ <2>& <-1>& <1>\ <1>& <3>& <-1>end
ight|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1-$

$-1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12
eq 0$

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^<-1>$ к матрице $A$ находится по формуле:

Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

Нахождение ранга матрицы

Теоретический материал по теме — нахождение ранга матрицы.

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей — две четвертых:

Читайте также:  Текстовый редактор для ipad

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей — три третьих:

Меняем местами первую и вторую строчки:

Далее четвертую и первую строки:

Ответ. $operatorname A=2$

Задание. Найти ранг матрицы $A=left( egin <1>& <2>& <-1>& <-2>\ <2>& <4>& <3>& <0>\ <-1>& <-2>& <6>& <6>end
ight)$ , используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор $M_<1>=1
eq 0$ . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор $M_<2>^<1>=left| egin <1>& <2>\ <2>& <4>end
ight|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор $M_<1>$ окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_<2>^<2>=left| egin
<1>& <-1>\ <2>& <3>end
ight|=5
eq 0$ , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор $M_<2>^<2>$ . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$ равен двум: $operatorname A=2$

Ответ. $operatorname A=2$

Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.

Размер матрицы определяется её порядками — количеством строчек $m$ и столбцов $n$, которые в ней присутствуют. Строчки образованы элементами, стоящими на горизонтальных линиях, а столбцы — элементами, стоящими на прямых вертикальных линиях. В случае если количество строчек эквивалентно количеству столбцов — порядок рассматриваемой таблички определяется лишь одним значением $m = n$.

Для любого элемента матрицы номер строчки, в которой он находится, записывается первым в индексе, а номер столбца — вторым, то есть запись $a_$ обозначает, что элемент стоит в $i$-ой строчке и в $j$-ом столбце.

Сложение и вычитание

Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.

Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:

Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_ + b_$, например, элемент с индексом $11$ равен $a_ <11>+ b_<11>$,а весь результат целиком выглядит так:

Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_ – b_$.

Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.

Решите следующие матричные примеры: $A + B$; $A – B$.

$A=egin 0 & 5 & 2 \ 1 & -1 & 3 \ -2 & 0 & 7 \ end$

$B=egin 0 & 3 & 2 \ -4 & 0 & -1 \ 0 & 7 & -3 \ end$

Объяснение:

Действия выполняем для каждой пары элементов $a_$ и $b_$ соответственно:

$A+B=egin 0+0 & 5+3 & 2+2 \ 1-4 & -1+0 & 3 — 1\ -2+0 & 0+7 & 7 — 3 \ end=egin 0 & 8 & 4 \ -3 & -1 & 2 \ -2 & 7 & 4\ end$

$A-B=egin 0-0 & 5-3 & 2-2 \ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \ end=egin 0 & 2 & 0 \ 5 & -1 & 4 \ -2 & -7 & 10 \ end$

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Умножение матрицы на число

Для того чтобы произвести умножение матричной таблички на какое-либо число, нужно каждый её элемент умножить на это число, то есть любой элемент новой матрицы $C$, являющейся результатом произведения $A$ на $λ$ будет равен $с_=λ cdot a_$.

Умножьте $A$ на $λ$, где $A=egin 1 & 0 & 2 \ -1 & 3 & 0 \ 2 & 1 & 3 \ end$, а $λ=5$:

$A cdot λ = 5 cdot egin 1 & 0 & 2 \ -1 & 3 & 0 \ 2 & 1 & 3 \ end = egin 1 cdot 5 & 0 cdot 5 & 2 cdot 5 \ -1 cdot 5 & 3 cdot 5 & 0 cdot 5 \ 2 cdot 5 & 1cdot 5 & 3cdot 5 \ end = egin 5 & 0 & 10 \ -5 & 15 & 0 \ 10 & 5 & 15 \ end$.

Читайте также:  Пропал вай фай на ноутбуке win 10

Произведение матричных таблиц

Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.

Для осуществления умножения двух матриц $A cdot B$ количество столбцов в $A$ должно совпадать с количеством строчек в $B$.

Математически это можно записать так:

То есть видя перемножаемые исходные матрицы можно сразу определить порядки получаемой новой. Например, если необходимо перемножить $A_<3 imes 2>$ и $B_<2 imes 3>$ — полученный результат будет иметь размер $3 imes 3$:

Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.

$A imes B = ?$, если $A=egin 1 & 0 & 2 \ -1 & 3 & 0 \ 2 & 1 & 3 \ end$ и $B = egin 3 & — 1 & 2 \ -4 & 0 & 2 \ 1 & 1 & 2 \ end$.

$A imes B = egin (1 cdot 3 + 0 cdot (-4) + 2 cdot 1) & (1 cdot(-1) + 0 cdot 0 + 2 cdot 1) & (1 cdot 2 + 0 cdot 2 + 2 cdot 2) \ (-1) cdot 3 + 3 cdot (-4) + 0 cdot 1) & (-1 cdot(-1) + 3 cdot 0 + 0 cdot 1) & (-1 cdot 2 + 3 cdot 2 + 0 cdot 2) \ (2 cdot 3 + 1 cdot (-4) + 3 cdot 1) & 2 cdot (-1) + 1 cdot 0 + 3 cdot 1) & (2 cdot 2 + 1 cdot 2 + 3 cdot 2) \ end $

$A imes B= egin (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \ end = egin 5 & 1 & 6 \ -15 & 1 & 4 \ 5 & 1 & 12 \ end$.

Нахождение определителя матрицы

Определитель матрицы обозначается как $Δ$ или $det$.

Детерминант возможно найти только для квадратных разновидностей матриц.

В простейшем случае, когда матрица состоит из всего одного элемента, её определитель равен этому элементу: $det A = |a_<11>|= a_<11>$

Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:

Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:

В случае если определитель матрицы задан размером $3 imes 3$, то найти его можно используя мнемонические правила: Саррюса или треугольников, также можно разложить матрицу по строчке или столбцу или воспользоваться преобразованиями Гаусса.

Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.

Обратные матрицы

По аналогии с обычным умножением числа на обратное ему число $(1+frac1x= 1)$, умножение обратной матрицы $A^<-1>$ на исходную матрицу даёт в результате единичную матрицу $E$.

Самый простой метод решения при поиске обратной матрицы — Жордана-Гаусса. Рядом с матрицей-подопытным кроликом записывается единичная того же размера, а затем исходная с помощью преобразований приводится к единичной, причём все выполняемые действия повторяются и с $E$.

Получить обратную матрицу.

Решение:

Пишем вместе $A$ и справа от неё соответствующего размера $E$:

$ egin 1& 2 & 1& 0\ 3 & 4& 0 & 1 \ end$

Получаем нуль в последней строчке на первой позиции:прибавляем к ней верхнюю, умноженную на $-3$:

$ egin 1& 2 & 1 & 0\ 0 & -2 & -3 & 1 \ end$

Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:

$ egin 1& 0 & -2 & 1\ 0 & -2 & -3 & 1 \ end$

Делим вторую на $-2$:

$ egin 1& 0 & -2 & 1\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \ end$

Транспонирование матричных таблиц

Транспонирование — это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.

Транспонируйте матрицу $A$ и проверьте себя, найдя определитель $A$ и транспонированной матричной таблички.

$A=egin 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ — 1 & -2 & -3\ end$

Решение:

Применим метод Саррюса для детерминанта:

$det A= 1 cdot 5 cdot (-3) + 2 cdot 6 cdot (-1) + 3 cdot 4 cdot (-2) – 2 cdot 4 cdot (-3) – 1 cdot 6 cdot (-2) – 3 cdot 5 cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.

Мы получили вырожденную матрицу.

Теперь произведём транспонирование $A$, для этого повалим матрицу на её правый бок:

$A^T = egin 1 & 4 & -1 \ 2 & 5 & -2 \ 3 & 6 & -3 \ end$

Найдём для $A^T$ определитель, используя то же правило:

$det A^T = 1 cdot 5 cdot (-3) + 4 cdot (-2) cdot 3 + (-1) cdot 2 cdot 6 – 4 cdot 2 cdot (-3) – 1 cdot (-2) cdot 6 – (- 1) cdot 5 cdot 3 = — 15 -24 — 12+24+12+15 = 0$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.