Содержание
Найти обратную матрицу для матрицы
И проверить выполнение условий А А-1 = А-1А = Е.
Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.
Убедимся, что матрица А – невырожденная. ΔА = 1·4 — 2·(-1) ≠ 0, следовательно, А-1 существует.
Вычислим алгебраические дополнения к элементам А:
Применим способ вычисления обратной матрицы:
.
Не забудьте, что обратная матрица образована из алгебраических дополнений к элементам Транспонированной матрицы!
Найдем произведения А А-1 и А-1А:
Таким образом, найденная матрица А-1 отвечает определению обратной матрицы.
Ответ: .
Найти обратную матрицу для матрицы
.
Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.
Следовательно, матрица А невырожденная, и обратная матрица существует.
Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:
Обратная матрица имеет вид:
Ответ: .
Найти обратную матрицу для матрицы
.
Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.
Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу:
.
Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует.
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:
.
Ответ: .
Найти обратную матрицу для матрицы
.
Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.
.
Ответ:
Является обратной к матрице
Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е.
Проверим невырожденность матрицы А:
Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е.
Для того, чтобы выполнялось условие АВ = Е, X, Y, Z должны быть решением системы уравнений
Проверим, будет ли равно единичной матрице произведение ВА:
Значит, при найденных значениях X, Y, Z В = А-1.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным операциям над матрицами.
На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними. Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Примеры по темам:
Матрицы: основные определения и понятия
Задание. Чему равен элемент $ a_ <23>$ матрицы $ A=left( egin
ight) $ ?
Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:
Таким образом, $a_<23>=7$.
Ответ. $a_<23>=7$
Умножение матрицы на число
Теоретический материал по теме — умножение матрицы на число.
Задание. Пусть $A=left( egin
ight)$ . Найти матрицу 2$A$.
Ответ. $2 A=left( egin
ight)$
Сложение и вычитание матриц
Теоретический материал по теме — сложение и вычитание матриц.
Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$, если $A=left( egin
ight), B=left( egin
ight)$
Умножение матриц
Теоретический материал по теме — умножение матриц.
Задание. Вычислить $A B$ и $B A$, если $A=left( egin
ight), B=left( egin
ight)$
Решение. Так как $A=A_<3 imes 2>$ , а $B=B_<2 imes 2>$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $C=C_<3 imes 2>$ , а это матрица вида $C=left( egin
ight)$ .
Вычисли элементы матрицы $C$ :
$ c_<11>=a_ <11>cdot b_<11>+a_ <12>cdot b_<21>=1 cdot 1+(-1) cdot 2=-1 $
$ c_<12>=a_ <11>cdot b_<12>+a_ <12>cdot b_<22>=1 cdot 1+(-1) cdot 0=1 $
$ c_<21>=a_ <21>cdot b_<11>+a_ <22>cdot b_<21>=2 cdot 1+0 cdot 2=2 $
$ c_<22>=a_ <21>cdot b_<12>+a_ <22>cdot b_<22>=2 cdot 1+0 cdot 0=2 $
$ c_<31>=a_ <31>cdot b_<11>+a_ <32>cdot b_<21>=3 cdot 1+0 cdot 2=3 $
$ c_<31>=a_ <31>cdot b_<12>+a_ <32>cdot b_<22>=3 cdot 1+0 cdot 0=3 $
Выполним произведения в более компактном виде:
Найдем теперь произведение $D=B A=B_ <2 imes 2>cdot A_<3 imes 2>$. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.
Ответ. $A B=left( egin
ight)$ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .
Транспонирование матрицы
Теоретический материал по теме — транспонирование матрицы.
Задание. Найти матрицу $A^
ight)$
Минор и алгебраическое дополнение
Задание. Найти минор $M_<23>$ к элементу $a_<23>$ определителя $left| egin
ight|$ .
Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:
Задание. Найти алгебраическое дополнение $A_<23>$ к элементу $a_<23>$ определителя $left| egin
ight|$ .
Вычисление определителя
Задание. Вычислить определитель второго порядка $left| egin
ight|$
Решение. $left| egin
ight|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$
Задание. Вычислить определитель $left| egin
ight|$ методом треугольников.
Решение. $left| egin
ight|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$
$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$
Задание. Вычислить определитель $left| egin
ight|$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Задание. Вычислить определитель $Delta=left| egin
ight|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
Ответ. $Delta=-80$
Нахождение обратной матрицы
Задание. Для матрицы $A=left( egin
ight)$ найти обратную методом присоединенной матрицы.
Решение. Приписываем к заданной матрице $A$ справа единичную матрицу второго порядка:
От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):
От второй строки отнимаем две первых:
Первую и вторую строки меняем местами:
От второй строки отнимаем две первых:
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:
Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.
Таким образом, получаем, что $A^<-1>=left( egin
ight)$
Задание. Найти обратную матрицу для $A=left( egin
ight)$
Решение. Шаг 1. Находим определитель: $Delta=left| egin
ight|=2-1=1
eq 0$
Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=left( egin
ight)$
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
$Delta=left| egin
ight|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1-$
$-1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12
eq 0$
Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^<-1>$ к матрице $A$ находится по формуле:
Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):
Нахождение ранга матрицы
Теоретический материал по теме — нахождение ранга матрицы.
Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:
От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей — две четвертых:
Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей — три третьих:
Меняем местами первую и вторую строчки:
Далее четвертую и первую строки:
Ответ. $operatorname
Задание. Найти ранг матрицы $A=left( egin
ight)$ , используя метод окаймления миноров.
Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор $M_<1>=1
eq 0$ . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор $M_<2>^<1>=left| egin
ight|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор $M_<1>$ окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_<2>^<2>=left| egin
ight|=5
eq 0$ , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор $M_<2>^<2>$ . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:
так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор
преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:
И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$ равен двум: $operatorname
Ответ. $operatorname
Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.
Размер матрицы определяется её порядками — количеством строчек $m$ и столбцов $n$, которые в ней присутствуют. Строчки образованы элементами, стоящими на горизонтальных линиях, а столбцы — элементами, стоящими на прямых вертикальных линиях. В случае если количество строчек эквивалентно количеству столбцов — порядок рассматриваемой таблички определяется лишь одним значением $m = n$.
Для любого элемента матрицы номер строчки, в которой он находится, записывается первым в индексе, а номер столбца — вторым, то есть запись $a_
Сложение и вычитание
Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.
Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:
Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_
Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_
Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.
Решите следующие матричные примеры: $A + B$; $A – B$.
$A=egin
$B=egin
Объяснение:
Действия выполняем для каждой пары элементов $a_
$A+B=egin
$A-B=egin
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Умножение матрицы на число
Для того чтобы произвести умножение матричной таблички на какое-либо число, нужно каждый её элемент умножить на это число, то есть любой элемент новой матрицы $C$, являющейся результатом произведения $A$ на $λ$ будет равен $с_
Умножьте $A$ на $λ$, где $A=egin
$A cdot λ = 5 cdot egin
Произведение матричных таблиц
Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.
Для осуществления умножения двух матриц $A cdot B$ количество столбцов в $A$ должно совпадать с количеством строчек в $B$.
Математически это можно записать так:
То есть видя перемножаемые исходные матрицы можно сразу определить порядки получаемой новой. Например, если необходимо перемножить $A_<3 imes 2>$ и $B_<2 imes 3>$ — полученный результат будет иметь размер $3 imes 3$:
Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.
$A imes B = ?$, если $A=egin
$A imes B = egin
$A imes B= egin
Нахождение определителя матрицы
Определитель матрицы обозначается как $Δ$ или $det$.
Детерминант возможно найти только для квадратных разновидностей матриц.
В простейшем случае, когда матрица состоит из всего одного элемента, её определитель равен этому элементу: $det A = |a_<11>|= a_<11>$
Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:
Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:
В случае если определитель матрицы задан размером $3 imes 3$, то найти его можно используя мнемонические правила: Саррюса или треугольников, также можно разложить матрицу по строчке или столбцу или воспользоваться преобразованиями Гаусса.
Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.
Обратные матрицы
По аналогии с обычным умножением числа на обратное ему число $(1+frac1x= 1)$, умножение обратной матрицы $A^<-1>$ на исходную матрицу даёт в результате единичную матрицу $E$.
Самый простой метод решения при поиске обратной матрицы — Жордана-Гаусса. Рядом с матрицей-подопытным кроликом записывается единичная того же размера, а затем исходная с помощью преобразований приводится к единичной, причём все выполняемые действия повторяются и с $E$.
Получить обратную матрицу.
Решение:
Пишем вместе $A$ и справа от неё соответствующего размера $E$:
$ egin
Получаем нуль в последней строчке на первой позиции:прибавляем к ней верхнюю, умноженную на $-3$:
$ egin
Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:
$ egin
Делим вторую на $-2$:
$ egin
Транспонирование матричных таблиц
Транспонирование — это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.
Транспонируйте матрицу $A$ и проверьте себя, найдя определитель $A$ и транспонированной матричной таблички.
$A=egin
Решение:
Применим метод Саррюса для детерминанта:
$det A= 1 cdot 5 cdot (-3) + 2 cdot 6 cdot (-1) + 3 cdot 4 cdot (-2) – 2 cdot 4 cdot (-3) – 1 cdot 6 cdot (-2) – 3 cdot 5 cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.
Мы получили вырожденную матрицу.
Теперь произведём транспонирование $A$, для этого повалим матрицу на её правый бок:
$A^T = egin
Найдём для $A^T$ определитель, используя то же правило:
$det A^T = 1 cdot 5 cdot (-3) + 4 cdot (-2) cdot 3 + (-1) cdot 2 cdot 6 – 4 cdot 2 cdot (-3) – 1 cdot (-2) cdot 6 – (- 1) cdot 5 cdot 3 = — 15 -24 — 12+24+12+15 = 0$.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь