Содержание
Построение матрицы по заданной формуле отображения.
Пусть отображение задано с помощью формулы:
то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем , ,…, . Аналогично находим образы для ,…, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.
Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:
.
Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.
Отобразим сумму векторов:
Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:
.
Аналогично для умножения на константу:
Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1 = 1, x2 = 0, а затем x1 = 0, x2 = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).
Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:
.
Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.
Пример 2. .
Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).
Матрица линейного оператора:
.
2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.
Если задана система из n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.
Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.
Пусть — матрица оператора в базисе . По условию, для всех индексов . Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы — это векторы , а столбцы матрицы — векторы . Тогда матрица может быть найдена в виде .
Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис
в систему векторов .
Здесь , , , и получаем:
.
Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .
Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.
2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.
Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.
Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и . Построим матрицу одного из этих операторов, . Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.
.
Аналогично, ,
.
Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.
Матрица оператора: .
Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :
.
Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы , , ,…, .
, , , аналогично получим ,…, .
Матрица этого линейного оператора:
Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10219 — | 7588 — или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Матрица линейного оператора
Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соот ветствие вектор y . то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:
Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ?? и x 2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:
Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .
Разложим векторы x и y по базису e 1 ,e 2 . e n :
В силу линейности оператора A можно написать
Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.
В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:
Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица
которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .
Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .
Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ? Y .
Примеры линейных операторов
1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило
связывающее вектор-прообраз с вектором-образом
2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.
3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .
Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :
Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.
Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем
Действия над операторами
Сложение линейных операторов. Пусть x?E n , A и B — два линейных оператора в этом пространстве.
Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .
Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B — матрицы линейных операторов A и B .
Умножение линейного оператора на число. Пусть x?E n , линейный оператор A определён в E n , ? — некоторое число.
Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством .
?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.
Умножение линейных операторов. Пусть x? E n , y ? E n , z ? E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .
Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .
Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .
Рассмотрим матрицы – столбцы:
и обозначим через A, B и C — соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.
a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y
б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x
Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.
Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если . Равенство операторов обозначается как A = B .
Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть
1. Понятие линейного оператора
Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.
Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения
Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.
Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение
y=Ax, | (1) |
где A — m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:
, | (2) |
. |
Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.
Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда
(3) |
является разложением x в по базису .
Применим оператор A к базисным векторам :
(4) |
где aij − координаты полученного вектора в базисе .
Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем
Сделаем следующее обозначение:
(6) |
Тогда равенство (5) примет следующий вид:
(7) |
Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты yi, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента xj, j=1,2. n с коэффициентами aij i=1,2. m; j=1,2. n.
Построим матрицу A с элементами aij:
(8) |
Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:
y=Ax. | (9) |
Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .
2. Сложение линейных операторов
Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B — mxn − матрицы соответствующие этим операторам.
Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством
Cx= Ax+ Bx, x∈R, | (10) |
где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.
Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.
Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:
Cej= Aej+ Bej= | n | (aij+bij) ej |
∑ | ||
j= 1 |
Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.
C=A+B. | (11) |
3. Умножение линейных операторов
Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.
Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:
Cx= A( Bx), x ∈ R. | (12) |
Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.
Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C
y=Bx, z=Ay, z=Cx |
можно записать в виде матричных равенств
y=Bx, z=Ay, z=Cx |
где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
Cx=A(Bx)=(AB)x. |
Учитывая произвольность х, получим
C=AB. | (13) |
Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.
4. Умножение линейного оператора на число
Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.
Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:
Cx=λ ( Ax) | (14) |
Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства
y=Ax, z=λy, z=Cx |
можно записать в виде матричных равенств
y=Ax, z=λy, z=Cx |
где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
Cx=λ(Ax)=(λA)x. |
Учитывая произвольность х, получим
C=λA. | (15) |
Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.
5. Нулевой оператор
Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:
6. Противоположный оператор
Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:
7. Ядро линейного оператора
Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.
Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.
8. Образ линейного оператора
Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.
Образ линейного оператора обозначается символом im A.
9. Ранг линейного оператора
Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).