Масса материальной пластины лежащей в плоскости

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp Вариант 5 &nbsp &nbsp Вариант 6

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp Вариант 10 &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp Вариант 12

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp Вариант 15 &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp Вариант 18

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp Вариант 20 &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp Вариант 24

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 25 &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp Вариант 30

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 8.31 Пластинка &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp задана неравенствами, &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp — поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область (R) в плоскости (Oxy.) Пусть плотность пластины в точке (left(
ight)) в области (R) равна (
ho left(
ight).) Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде [m = iintlimits_R <
ho left(
ight)dA> .] Статический момент пластины относительно оси (Ox) определяется формулой [ = iintlimits_R
ight)dA> .] Аналогично находится статический момент пластины относительно оси (Oy) : [ = iintlimits_R
ight)dA> .] Координаты центра масс пластины , занимающей область (R) в плоскости (Oxy) с плотностью, распределенной по закону (
ho left(
ight),) описываются формулами [ <ar x = frac<<>> > = <frac<1>iintlimits_R
ight)dA> > = <frac<<iintlimits_R
ight)dA> >> <<iintlimits_R <
ho left(
ight)dA> >>,> ] [ <ar y = frac<<>> > = <frac<1>iintlimits_R
ight)dA> > = <frac<<iintlimits_R
ight)dA> >> <<iintlimits_R <
ho left(
ight)dA> >>.> ] Для однородной пластины с плотностью (
ho left(
ight) = 1) для всех (left(
ight)) в области (R) центр масс определяется только формой области и называется центроидом .

Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть (
ight)>) является непрерывной функцией в замкнутой области (R) в плоскости (Oxy.) Среднее значение (mu) функции (
ight)>) в области (R) определяется формулой [mu = frac<1>iintlimits_R
ight)dA> ,] где (S = iintlimits_R ) − площадь области интегрирования (R.)

Пример 12.1.Найдём массу части плоскости , ограниченной координатными плоскостями, если плотность в каждой точке .

Решение. Построим заданную часть плоскости ( см. рис. 12.1). .

Поверхность G однозначно проецируется на координатную плоскость XOY, поэтому для вычисления массы (12.5) применим формулу (12.1).

Рисунок 5.1

где , .

Подставляем всё в подынтегральное выражение и вычисляем интеграл.

.

Ответ: .

Пример 12.2. Вычислим координаты центра масс части поверхности полусферы , вырезанной цилиндром , если плотность .

Решение. Построим заданные поверхности и выделим нужную часть полусферы (на рис. 12.2 она выделена синим цветом). Поверхность удобно проецируется на плоскость в область, ограниченную окружностью .

Рисунок 12.2

Используя формулы (12.5) и (12.1) составим интеграл для вычисления массы части поверхности.

где .

Вычислим частные производные.

.

Упростим подкоренное выражение и получим интеграл

Выберем способ его вычисления. В данном случае удобнее перейти к полярным координатам и учесть симметрию относительно оси .

Составим повторный интеграл и вычислим его:

.

Далее, по формулам (12.6) вычисляем координаты центра масс. С учётом симметрии поверхности и функции плотности, без вычисления определяем, что ордината центра масс равна нулю. Для двух других координат составляем интегралы и вычисляем их.

.

.

Ответ: С .

Занятие 13. Понятие гладкой и кусочно-гладкой поверхности. Ориентированные поверхности и их ориентация. Нормаль к поверхности. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного ин-теграла. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода.ОЛ-1гл.6, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4§ 12.

Практика: ОЛ-6 №№ 2350, 2351 (№ 2351 решить двумя способами: 1) с помощью вычисления составных интегралов, 2) сведением к поверхностному интегралу 1-го рода) или: ОЛ-5 №№ 10.84, 85, 87, 94.

Домашнее задание к занятию 13:

ОЛ-6 № 2349 (решить двумя способами) или ОЛ-5 №№ 10.83, 86, 88.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10611 — | 7993 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно