Серия
Как работать с формулой, чтобы выразить из нее указанную переменную
1. а) Если формула содержит дроби, то сначала нужно избавиться от них, умножив обе части формулы на общий знаменатель;
б) если формула содержит корень, то нужно избавиться от него, возведя обе части формулы в квадрат;
в) если формула содержит дроби и корень, то нужно выполнить действия а) и б) в удобной последовательности.
2. Слагаемое (слагаемые), содержащие переменную, которую нужно выразить, перенести в левую часть, если они не находятся там. Иногда для этого достаточно просто поменять местами левую и правую части формулы.
3. Привести левую часть к виду, в котором нужная переменная будет являться одним из множителей. Иногда для этого нужно будет сгруппировать слагаемые, то есть выполнить разложение на множители левой части формулы.
4. Разделить обе части формулы на лишние множители, находящиеся в левой части, чтобы произошло сокращение, и нужная переменная осталась в левой части одна-единственная.
5. Если полученная таким образом переменная находится в степени, то нужно извлечь из обеих частей формулы корни этой же степени.
При разборе примеров, объясняйте себе каждый шаг!!
Серия
Как работать с формулой, чтобы выразить из нее указанную переменную
1. а) Если формула содержит дроби, то сначала нужно избавиться от них, умножив обе части формулы на общий знаменатель;
б) если формула содержит корень, то нужно избавиться от него, возведя обе части формулы в квадрат;
в) если формула содержит дроби и корень, то нужно выполнить действия а) и б) в удобной последовательности.
2. Слагаемое (слагаемые), содержащие переменную, которую нужно выразить, перенести в левую часть, если они не находятся там. Иногда для этого достаточно просто поменять местами левую и правую части формулы.
3. Привести левую часть к виду, в котором нужная переменная будет являться одним из множителей. Иногда для этого нужно будет сгруппировать слагаемые, то есть выполнить разложение на множители левой части формулы.
4. Разделить обе части формулы на лишние множители, находящиеся в левой части, чтобы произошло сокращение, и нужная переменная осталась в левой части одна-единственная.
5. Если полученная таким образом переменная находится в степени, то нужно извлечь из обеих частей формулы корни этой же степени.
При разборе примеров, объясняйте себе каждый шаг!!
Этот урок – полезное дополнение к предыдущей теме " Тождественные преобразования уравнений ".
Умение делать такие вещи – штука не просто полезная, она – необходимая. Во всех разделах математики, от школьной до высшей. Да и в физике тоже. Именно по этой причине задания подобного рода обязательно присутствуют и в ЕГЭ и в ОГЭ. Во всех уровнях – как базовом, так и профильном.
Собственно, вся теоретическая часть подобных заданий представляет собой одну единственную фразу. Универсальную и простую до безобразия.
Удивляемся, но запоминаем:
Любое равенство с буквами, любая формула – это ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ!
А где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений . Вот и применяем их в удобном нам порядке и – готово дело.) Читали предыдущий урок? Нет? Однако… Тогда эта ссылочка – для вас.
Ах, вы в курсе? Отлично! Тогда применяем теоретические знания на практике.
Начнём с простого.
Как выразить одну переменную через другую?
Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется равенство:
Здесь две переменные – икс и игрек.
Что означает это задание? Оно означает, что мы должны получить некоторое равенство, где слева стоит чистый икс. В гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов. А справа – что уж получится.
И как же нам получить такое равенство? Очень просто! С помощью всё тех же старых добрых тождественных преобразований! Вот и применяем их в удобном нам порядке, шаг за шагом добираясь до чистого икса.
Анализируем левую часть уравнения:
Здесь нам мешаются тройка перед иксом и —2y. Начнём с —2у, это попроще будет.
Перекидываем —2у из левой части в правую. Меняя минус на плюс, разумеется. Т.е. применяем первое тождественное преобразование:
Полдела сделано. Осталась тройка перед иксом. Как от неё избавиться? Разделить обе части на эту самую тройку! Т.е. задействовать второе тождественное преобразование.
Вот и всё. Мы выразили икс через игрек. Слева – чистый икс, а справа – что уж получилось в результате "очищения" икса.
Можно было бы сначала поделить обе части на тройку, а затем – переносить. Но это привело бы к появлению дробей в процессе преобразований, что не очень удобно. А так, дробь появилась лишь в самом конце.
Напоминаю, что порядок преобразований никакой роли не играет. Как нам удобно, так и делаем. Самое главное – не порядок применения тождественных преобразований, а их правильность!
А можно из этого же равенства
А почему – нет? Можно! Всё то же самое, только на этот раз нас интересует слева чистый игрек. Вот и очищаем игрек от всего лишнего.
Первым делом избавляемся от выражения 3х. Перебрасываем его в правую часть:
Осталась двойка с минусом. Делим обе части на (-2):
И все дела.) Мы выразили y через х. Переходим к более серьёзным заданиям.
Как выразить переменную из формулы?
Не проблема! Точно так же! Если понимать, что любая формула – тоже уравнение.
Например, такое задание:
выразить переменную с.
Формула – тоже уравнение! Задание означает, что через преобразования из предложенной формулы нам надо получить какую-то новую формулу. В которой слева будет стоять чистая с, а справа – что уж получится, то и получится…
Однако… Как нам эту самую с вытаскивать-то?
Как-как… По шагам! Ясное дело, что выделить чистую с сразу невозможно: она в дроби сидит. А дробь умножается на r… Значит, первым делом очищаем выражение с буквой с, т.е. всю дробь целиком. Здесь можно поделить обе части формулы на r.
Следующим шагом надо вытащить с из числителя дроби. Как? Легко! Избавимся от дроби. Нету дроби – нету и числителя.) Умножаем обе части формулы на 2:
Осталась элементарщина. Обеспечим справа букве с гордое одиночество. Для этого переменные a и b переносим влево:
Вот и всё, можно сказать. Осталось переписать равенство в привычном виде, слева направо и – ответ готов:
Это было несложное задание. А теперь задание на основе реального варианта ЕГЭ:
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле
где с = 1500 м/с – скорость звука в воде,
f – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).
Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.
"Многа букафф", да… Но буквы – это лирика, а общая суть всё равно та же самая. Первым делом надо выразить эту самую частоту отражённого сигнала (т.е. букву f) из предложенной нам формулы. Вот этим и займёмся. Смотрим на формулу:
Напрямую, естественно, букву f никак не выдернешь, она снова в дробь запрятана. Причём и в числитель и в знаменатель. Поэтому самым логичным шагом будет избавиться от дроби. А там – видно будет. Для этого применяем второе преобразование – умножаем обе части на знаменатель.
А вот тут – очередные грабли. Прошу обратить внимание на скобки обеих частях! Частенько именно в этих самых скобочках и кроются ошибки в подобных заданиях. Точнее, не в самих скобочках, а в их отсутствии.)
Скобки слева означают, что буква v умножается на весь знаменатель целиком. А не на его отдельные кусочки…
Справа же, после умножения, дробь исчезла и остался одинокий числитель. Который, опять же, весь целиком умножается на буковку с. Что и выражается скобками в правой части.)
А вот теперь скобки и раскрыть можно:
Дальше дело нехитрое. Всё что с f собираем слева, а всё что без f – справа. Займёмся переносом:
Отлично. Процесс идёт.) Теперь буковка f слева стала общим множителем. Выносим её за скобки:
Осталось всего ничего. Делим обе части на скобку (v—c) и – дело в шляпе!
В принципе, всё готово. Переменная f уже выражена. Но можно дополнительно "причесать" полученное выражение – вынести f за скобку в числителе и сократить всю дробь на (-1), тем самым избавившись от лишних минусов:
Вот такое выражение. А вот теперь и числовые данные подставить можно. Получим:
Вот и всё. Надеюсь, общая идея понятна.
Делаем элементарные тождественные преобразования с целью уединить интересующую нас переменную. Главное здесь — не последовательность действий (она может быть любой), а их правильность.
В этих двух уроках рассматриваются лишь два базовых тождественных преобразования уравнений. Они работают всегда. На то они и базовые. Помимо этой парочки, существует ещё множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но не всегда, а лишь при определённых условиях.
Например, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат (или наоборот, извлечение корня из обеих частей) будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны.
Или, скажем, логарифмирование обеих частей уравнения будет тождественным преобразованием, если обе части заведомо положительны. И так далее…
Подобные преобразования будут рассматриваться в соответствующих темах.
А здесь и сейчас — примеры для тренировки по элементарным базовым преобразованиям.
Средняя скорость лыжника (в км/ч) на дистанции в два круга рассчитывается по формуле:
где V1 и V2 – средние скорости (в км/ч) на первом и втором кругах соответственно. Какова была средняя скорость лыжника на втором круге, если известно, что первый круг лыжник пробежал со скоростью 15 км/ч, а средняя скорость на всей дистанции оказалась равной 12 км/ч?
Задача на основе реального варианта ОГЭ:
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с 2 ) можно вычислить по формуле a=ω 2 R, где ω – угловая скорость (в с -1 ), а R – радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 8,5 с -1 , а центростремительное ускорение равно 289 м/с 2 .
Задача на основе реального варианта профильного ЕГЭ:
К источнику с ЭДС ε=155 В и внутренним сопротивлением r=0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой:
При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 150 В? Ответ выразите в омах.
Ответы (в беспорядке): 4; 15; 2; 10.
А уж где числа, километры в час, метры, омы – это как-нибудь сами…)
Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!
Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!
Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!
Идёт приём заявок
Подать заявку 
Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Описание презентации по отдельным слайдам:
Выразить переменную из формулы Дудников Ю. А. МБОУ Качалинская СОШ 2017
1. В той части формулы, где содержится переменная, которую нужно выразить, расставьте порядок действий. В одночленах и многочленах, не содержащих искомую величину, порядок действий не расставляем. 2. Найдите в выражении последнее действие, и перенести одночлен или многочлен, исполняющий это действие через знак равенства первым, но уже с противоположным действием. Таким образом, перенесите из одной части равенства в другую все известные величины. В заключение перепишите формулу так, чтобы неизвестная переменная стояла слева. Порядок выражения переменной
1 2 1 2 3 S a t 2 = 1 2 2 S a t 2 = 2 S a t 2 =
a = 1 1 2 1 0 — t υ υ 0 t a = + υ υ t a = + 0 υ υ t a — = 0 υ υ
1 2 1 2 3 1 1 2 b + S = a h h = + 2 ) ( a b ( ) h b a 2 S + = h a b 2 S — = h b a a b
1 2 1 1 a = υ υ 0 — t Заново расставляем порядок действий, так как нужная переменная оказалась в другой части формулы. t — t = υ 0 a υ
1 2 1 2 3 1 1 2 υ + S = υ 0 t t = + 2 0 ) ( υ υ ( ) t 0 υ υ 2 S + = t 0 υ υ 2 S — = t 0 υ υ υ υ
1 2 1 ( ) c 0 t t к c 0 t t к c 0 t t к Q m + = c 0 t t к
3 1 2 1 2 1 υ υ 1 2 S 2 = 0 2 — a υ — 2 S a 2 = υ 2 0 2 S a 2 = + 2 0 υ υ 2 S a = 2 + 0 υ υ 2 2 S a = + 0 υ υ
1 3 2 2 3 3 g ℓ = T 2 π g ℓ = T 2 π 2 2 g ℓ = T 4 π 2 2 g ℓ T 4 π = g
3 2 1 1 4 3 2 1 1 2 ν h = + ν кр h m 2 2 υ ν h — = ν кр h m 2 2 υ 2 ν h — = ν кр h m 2 υ ( ) 2 ν h — = ν кр h m 2 υ ( ) ν h — = ν кр h m 2 υ ( ) ν h — = ν кр h m 2 υ ( )
1 = T T х — Т η н н = T T х — Т η н н — T T х = Т η н н — — T х = Т η н — ( 1 ) — 1 = T T х — н η 1 = T T х — н η
— k d = — C 2 d — k d = C 2 d ( ) — — k d = C 2 d — C + k d = C 2 d + C ( ) + k 1 = C 2 d + C + k 1 = C 2 d + C
1 1 1 2 1 2 2 + S = υ 0 t 3 t = + 2 0 ) ( υ υ υ ( ) t 0 υ υ 2 S + = t 0 υ υ 2 S — = t 0 υ υ υ υ
2 2 3 5 1 4 x a + t k + b = 1 x a — t k + b = 1 2 2 3 1 4 ( x a — t k + b = 1 2 2 3 1 ) 2 ( x a — t k + b = 1 2 ) 2 ) ( 1 ( x a — t k + b = 1 ) 2 ) ( (
1 2 1 4 3 1 3 2 2 4 1 3 2 1 1 S = ) + K 2 E m a x — b ( + K E m ) 2 a x — b ( = S + K E m 2 a x — b = S 2 a x + K E m + b = S m + K E + b = S S 2 a x + K E + b = S S m x a + K E + b = S S m
h + g R G = ) 2 M ( h + g R G = ) 2 M ( h + g R G = ) 2 M ( h + g R G = M h — g R G = M
1 1 2 Приведем к общему знаменателю левую часть формулы Если дроби равны, то обратные им дроби тоже равны. Перевернем дроби, для того чтобы неизвестная переменная оказалась в числителе. F 1 1 = + f 1 d F 1 1 = — f 1 d F d 1 = — f F d F d 1 = — f F d F d = — f F d
1 1 2 1 Приведем к общему знаменателю левую часть формулы Переворачиваем дробь. k 1 2 = + f 3 d k 1 2 = — f 3 d k d = — f k d 2 3 — k d 2 = f k d 3 1 k d 2 = — f k d 3 1
X A + = ( ) ω φ t s i n r c r c X A — = a ω t s i n r c ω 1
U U X β = 2 l o g 0 δ U U X β = 2 l o g 0 δ U U X β = 0 δ 2 U U X β = 0 δ 2
f 0 f 1 = — c υ ( f 0 f 1 = — c υ ) ( )
В каждой задаче по физике требуется из формулы выразить неизвестную, следующим шагом подставить численные значения и получить ответ, в некоторых случаях необходимо только выразить неизвестную величину. Способов выведения неизвестной из формулы много. Если посмотреть страницы Интернета, то мы увидим множество рекомендаций по этому поводу. Это говорит о том, что единого подхода к решению этой проблемы научное сообщество еще не выработало, а те способы, которые используются, как показывает опыт работы в школе – все они малоэффективны. До 90% учащихся выпускных классов не умеют правильно выразить неизвестное. Те же, кто умеют это делать – выполняют громоздкие преобразования. Очень странно, но физики, математики, химики имеют разные подходы, объясняя методы переноса параметров через знак равенства (предлагают правила треугольника, креста или пропорций др.) Можно сказать, что имеют разную культуру работы с формулами. Можно представить, что происходит с большинством учеников, которые встречается с разными трактовками решения данной проблемы, последовательно посещая уроки этих предметов. Эту ситуацию описывает типичный диалог в сети:
Научите выражать из формул величины. 10 класс, мне стыдно не знать, как из одной формулы делать другую.
Да не переживай — это проблема многих моих одноклассников, хоть я и в 9 кл. Учителя показывают это чаще всего методом треугольника, но мне кажется, что это неудобно, да и запутаться легко. Покажу наиболее простой способ, которым я пользуюсь.
Допустим, дана формула:
Ну более простая. тебе из этой формулы нужно найти время. Ты берешь и в эту формулу подставляешь числа только разные, исходя из алгебры. Допустим:
и тебе наверное хорошо видно, что чтобы найти время в алгебраическом выражении 5 нужно 45/9 т.е переходим к физике: t=s/v
У большинства учащихся формируется психологический блок. Часто учащиеся отмечают, что при чтении учебника трудности в первую очередь вызывают те фрагменты текста, в которых много формул, что «длинные выводы все равно не понять», но при этом возникает чувство неполноценности, неверия в свои силы.
Я, предлагаю следующее решение данной проблемы – большинство учащихся все — таки могут решать примеры и, следовательно, расставлять порядок действий. Используем это их умение.
1. В той части формулы, где содержится переменная, которую нужно выразить, надо расставь порядок действий, причем в одночленах, не содержащих искомую величину этого делать не будем.
2. Затем в обратной последовательности вычислений перенесите элементы формулы в другую часть формулы ( через знак равенства) с противоположным действием ( « минус» — «плюс», «разделить» — « умножить», « возведение в квадрат» – «извлечение корня квадратного»).
То есть найдем в выражении последнее действие и перенесем одночлен или многочлен, исполняющий это действие, через знак равенства первым, но уже с противоположным действием. Таким образом, последовательно, находя последнее действие в выражении, перенесите из одной части равенства в другую все известные величины. В заключение перепишем формулу так, чтобы неизвестная переменная стояла слева.
Получаем четкий алгоритм работы, точно знаем, сколько преобразований необходимо выполнить. Можем для тренировки использовать уже известные формулы, можем выдумывать свои. Для начала работы над усвоением данного алгоритма была создана презентация.
Опыт работы с учащимися показывает, что данный способ хорошо воспринимается ими. Реакция учителей на мое выступление на фестивале «Учитель профильной школы» также говорит о положительном зерне, заложенном в этой работе.