Содержание
В этом материале мы объясним, что такое положительные и отрицательные числа. После того, как будут сформулированы определения, мы покажем на примерах, что это такое, и раскроем основной смысл этих понятий.
Что такое положительные и отрицательные числа
Для того чтобы объяснить основные определения, нам понадобится координатная прямая. Она будет расположена горизонтально и направлено слева направо: так будет удобнее для понимания.
Положительные числа – это те числа, которые соответствуют точкам в той части координатной прямой, которая расположена справа от начала отсчета.
Отрицательные числа – это те числа, которые соотносятся с точками в части координатной прямой, расположенной с левой стороны от начала отсчета (нуля).
Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.
Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот). Ранее мы об этом уже упоминали в рамках статьи о противоположных числах.
Мы всегда записываем отрицательные числа с минусом.
После того, как мы ввели основные определения, мы можем без труда привести примеры. Так, к положительным относятся любые натуральные числа – 1 , 9 , 134 345 и др. Положительные рациональные числа – это, например, 7 9 , 76 2 3 , 4 , 65 и 0 , ( 13 ) = 0 , 126712 . и так далее. К положительным иррациональным числам относится число π , число e , 9 5 , 809 , 030030003 … (это так называемая бесконечная непериодическая десятичная дробь).
Приведем примеры отрицательных чисел. Это — 2 3 , − 16 , − 57 , 58 − 3 , ( 4 ) . Иррациональные отрицательные числа – это, например, минус пи, минус e и др.
Можно ли сразу сказать, что значение числового выражения log 3 4 — 5 является отрицательным числом? Ответ неочевиден. Нам придется выразить это значение десятичной дробью и потом посмотреть (подробнее см. в материале о сравнении действительных чисел).
Для того чтобы уточнить, что число положительное, перед ним иногда ставят плюс, так же, как и перед отрицательным – минус, но чаще всего он опускается. Не забывайте, что + 5 = 5 , + 1 2 3 = 1 2 3 , + 17 = 17 и так далее. По сути, это разные обозначения одного и того же числа.
В литературе также можно встретить определения положительных и отрицательных чисел, данные на основе наличия у них того или иного знака.
Положительное число – это число, имеющее знак плюс, а отрицательное – имеющее знак минус.
Есть также определения, основанные на положении данного числа относительно нуля (вспомним, что на правой стороне координатной прямой расположены большие числа, а на левой — меньшие).
Положительные числа – это все числа, значение которых больше нуля. Отрицательные числа – это все числа, меньшие нуля.
Выходит, что нуль является своеобразным разделителем: он отделяет отрицательные числа от положительных.
Отдельно остановимся на том, как правильно читать записи положительных и отрицательных чисел, хотя, как правило, с этим не возникает особых проблем. Для отрицательных чисел мы всегда озвучиваем минус, т.е. — 1 2 5 – это «минус одна целая две пятых».
В случае положительных чисел мы озвучиваем плюс только тогда, когда он явно указан в записи, т.е. + 7 – это «плюс семь». Названия математических знаков неправильно склонять по падежам. Например, верно будет прочесть фразу a = — 5 как « а равно минус пяти», а не «минусу пяти».
Основной смысл положительных и отрицательных чисел
Мы уже дали основные определения, но для того, чтобы делать верные подсчеты, необходимо понять сам смысл положительности или отрицательности числа. Попробуем помочь вам это сделать.
Положительные числа, то есть те, которые больше 0 , мы рассматриваем как прибыль, прибавку, увеличение количества чего-либо, а отрицательные – недостаток, убыток, расход, долг. Приведем примеры:
У нас есть 5 любых предметов, например, яблок. Цифра 5 – положительная, она указывает на то, что у нас что-то есть, мы обладаем некоторым количеством реально существующих предметов. А как тогда рассматривать — 5 ? Оно может, например, значить, что мы должны отдать кому-то пять яблок, которых у нас в данное время нет.
Проще всего это понять на примере денег: если у нас есть 6 , 75 тыс. рублей, то наш доход положительный: нам дали денег, и они у нас есть. В то же время в кассе эти расходы указываются как — 6 , 75 , то есть для них это убыток.
На градуснике рост температуры на 4 , 5 значений можно описать как + 4 , 5 , а снижение, в свою очередь, как — 4 , 5 . В приборах, предназначенных для измерения, часто используются положительные и отрицательные числа, поскольку с помощью них удобно отображать изменения величин. Например, в термометре отрицательные числа указываются синим цветом – это падение, холод, уменьшение тепла; положительные же отмечены красным – это цвет огня, роста, увеличения тепла. Эти цвета очень часто используются для записи таких чисел, т.к. они очень наглядны – с их помощью всегда можно четко выделить приход и расход, прибыток и убыток.
Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.
Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).
Например, −10 градусов холода:
Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).
При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.
Координатная прямая
Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:
Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.
Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.
Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞ , а положительное символом +∞ . Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:
Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.
Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:
Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.
Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:
Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B .
Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:
Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.
Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O
Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.
Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.
Сравнение отрицательных и положительных чисел
Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.
Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3
Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что
«Минус пять меньше, чем три»
Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.
Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.
Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1
Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что
Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.
Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3
Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что
Ноль больше, чем минус три
Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.
Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:
Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что
В ыработка вычислительных навыков – важнейшая цель, преследуемая программами по математике с 1 по 6 класс. От того, насколько быстро и правильно ребенок научится выполнять арифметические действия, будет зависеть скорость выполнения им логических (смысловых) операции в старших класах и уровень понимания предмета в целом. Репетитор по математике довольно часто сталкивается с вычислительными проблемами учащихся, мешающими добиваться высоких результатов.
С какими только учениками не приходится работать репетитору. Родителям нужна подготовка к ЕГЭ по математике, а их чадо не может разобраться в обыкновенных дробях или путается в отрицательных числах. Какие действия должны предприниматься репетитором по математике в таких случаях? Как помочь ученику? Времени на неспешное и последовательное изучение правил у репетитора нет, поэтому традиционные методы часто приходится заменять некими искусственными «полуфабрикатами-ускорителями», если можно так выразиться. В этой статье я опишу один из возможных путей формирования навыка выполнения действий с отрицательными числами, а именно вычитания таковых.
Предположим, что репетитор по математике имеет удовольствие работать с очень слабым учеником, знания которого дальше простейших вычислений с положительными числами не распространяются. Предположим также, что репетитору удалось объяснить законы сложения и вплотную подойти к правилу a-b=a+(-b). Какие моменты должен учесть репетитор по математике?
Сведения вычитания к сложению не является простым и очевидным преобразованием. Учебники предлагают строгие и точные математические формулировки: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо к числу «а» прибавить число, противоположное к « b». Формально к тексту не придерешься, но как только он начинает применяться репетитором по математике в качестве инструкции к выполнению конкретных вычислений — возникают проблемы. Одна только фраза чего стоит: «Чтобы вычесть – надо прибавить». Без внятного комментария репетитора ученик не разберется. В самом деле, что же делать: вычитать или складывать?
Если работать с правилом согласно замыслу авторов учебника, то помимо отработки понятия «противоположное число», нужно научить школьника соотносить обозначения «а» и «b» с реальными числами в примере. А на это потребуется время. Учитывая еще и тот факт, что ученик думает и пишет одновременно, задача репетитора по математике еще большет усложняется. Хорошей зрительной, смысловой и двигательной памятью слабый ученик не обладает, а поэтому лучше предложить альтернативный текст правила:
Чтобы из первого числа вычесть второе, нужно
А) Первое число переписать
Б) Поставить плюс
B) Заменить знак второго числа на противоположный
Г) Сложить полученные числа
Здесь этапы алгоритма четко разделяются по пунктам и не привязываются к буквенным обозначениям.
По ходу решения практического задания на переводы, репетитор по математике перечитывает этот текст ученику по нескольку раз (для запоминания). Я советую записать его в теоретическую тетрадь. Только после отработки правила перехода к сложению можно записать общую форму a-b=a+(-b)
Движение знаков «минус» и «плюс» в голове ребенка (как маленького, так и слабого взрослого) в чем-то напоминает броуновское. Навести порядок в этом хаосе репетитору по математике нужно как можно быстрее. В процессе решения примеров применяются опорные подсказки (словесные и визуальные), которые в сочетании аккуратным и подробным офофрмлением делают свое дело. Нужно помнить, что каждое слово, произнесенное репетитором по математике в момент решения любой задачи несет или подсказку или помеху. Каждая фраза анализируется ребенком на предмет установления связи с теми или иным математическим объектом (явлением) и его образом на бумаге.
Типичная проблема слабых школьников — отделение знака действия от знака числа в нем участвующего. Одинаковый визуальный образ мешает распознавать уменьшаемое «a» и вычитаемое «b» в разности a-b. Когда в процессе объяснений репетитор по математике читает выражение, нужно следить за тем, чтобы вместо «-» употреблялось слово «вычесть». Это обязательно! Например, запись 
следует читать так: «Из минус пяти вычесть минус три». Нельзя забывать и о правиле перевода в сложение: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо … ».
Если у репетитора по математике постоянно слетит с языка «минус 5 минус минус 3», то понятно, что ученику будет труднее представить себе структуру примера. Однозначное соответствие между словом и арифметическим действием помогает репетитору по математике точно транслировать информацию.
Как репетитору объяснить переход к сложению?
Конечно, можно обратиться к определению понятия «вычесть» и искать число, которое надо прибавить к «b» для получения «а». Однако, слабый ученик мыслит далек от строгой математики и репетитору в работе с ним потребуются некие аналогии с простыми действиями. Я часто говорю своим шестиклашкам: «В математике нет такого арифметического действия, как «разность». Запись 5 – 3 является простым обозначением результата сложения 5+(-3). Знак «плюс» просто опускают и не пишут».
Дети удивляются словам репетитора и непроизвольно запоминают, что нельзя вычитать числа напрямую. Репетитор по математике объявляет 5 и -3 слагаемыми, и для большей убудительности своих слов сравнивает результаты действий 5-3 и 5+(-3). После этого записывается тождество a-b=a+(-b)
Каков бы ни был ученик, и сколько бы времени не отводилось репетитору по математике на занятия с ним, нужно вовремя отработать понятие «противоположное число». Отдельного внимания репетитора по математике заслуживает запись «-х». Ученик 6 класса должен усвоить, что она отображает не отрицательное число, а противоположное к иксу.
Необходимо отдельно остановиться на вычислениях с двумя знаками «минус», расположенными рядом. Возникает проблема понимания операции их одновременного удаления. Нужно аккуратно пройти по всем пунктам изложенного алгоритма перехода к сложению. Будет лучше, если в работе с разностью -5- (-3) до каких-либо комментариев репетитор по математике выделит числа -5 и -3 в рамочку или подчеркнет их. Это поможет ученику выделить компоненты действия.
Нацеленность репетитора по математике на запоминание
Надежное запоминание – результат практического применения математических правил, поэтому репетитору важно обеспечить хорошую плотность самостоятельно решенных примеров. Для улучшения устойчиваости запоминания можно призвать на помощь визуальные подсказки — фишечки. Например, интересный способ перевовода вычитания отрицательного числа в сложение.
Репетитор по математике соединяет два минуса одной линией (как показано на рисунке), и взору ученика открывается знак «плюс» (в пересечении со скобкой).
Для предотвращения рассеивания внимания я рекомендую репетиторам по математике выделять уменьшаемое и вычитаемое рамками.
Если репетитор по математике использует рамки или кружочки для выделения компонентов арифметического действия, то ученик легче и быстрее найчится видеть структуру примера и соотносить ее с соответствующим правилом. Не следует располагать кусочки целого объекта при оформлении решений на разных строчках тетрадного листа, а также приступать к сложению до тех пор, пока оно не будет записано. Все действия и переходы в обязательном порядке показываются (по крайней мере на старте изучения темы).
Некоторые репетиторы по математике стремятся к 100% точному обоснованию правил перевода, считая эту стратегию единственно правильной и полезной для формирования вычислительных навыков. Однако, практика показывает, что этот путь не всегда приносит хорошие дивиденды. Потребность в осознании того, что человек делает, чаще всего появляется после запоминания этапов применяемого алгоритма и практического закрепления вычислительных операций.
Крайне важно отработать переход к сумме в длинном числовом выражении с несколькими вычитаниями, например 
. Перед тем, как приступить к подсчету или преобразованию, я заставляю ученика обвести в кружочки числа вместе с их знаками, расположенными слева. На рисунке показан пример того, как репетитор по математкие выделяет слагаемые
Для очень слабых шестиклассников можно дополнительно подкрашивать кружочки. Для положительных слагаемых использовать один цвет, а для отрицательных другой. В особых случаях беру в руки ножницы и режу выражение на кусочки. Их можно произвольно перекладывать, иммитируя таким образом перестановку слагаемых. Ребенок увидит, что знаки перемещаются вместе с самими слагаемыми. То есть, если знак минус стоял слева от числа 5, то куда бы мы не перекладывали соответствующую карточку, он от пятерки не оторвется.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике 5-6 класс. Москва. Строгино.
Очень познавательно.
Сложно деткам объяснить, что самой кажется элементарным.
Спасибо за подсказку.
Спасибо, Александр, все очень доступно, почему в школе так не объяснят… Сайтом вашим пользуемся, дочь в 7кл. тянет программу с трудом, теперь понимаю почему…