Интеграл от натурального логарифма в квадрате

Формула интегрирования по частям

Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
, , , , , , .

При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u , остальное – через dv .

Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.

Простой пример с логарифмом

Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x , dv = x 2 dx . Тогда
,
.

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C .

Пример логарифма в степени 2

Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.

Делаем подстановки
u = (ln x ) 2 , dv = x dx . Тогда
,
.

Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.

Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом

По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.

Делаем подстановки
u = ln( x 2 – 1) , dv = x dx .
Тогда
,
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln | x 2 – 1| , поскольку подынтегральное выражение определено при x 2 – 1 > 0 . Подставляем
.

Пример с арксинусом

Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.

Делаем подстановки
u = arcsin x ,
.
Тогда
,
.

Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| 1 . Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0 .

Пример с арктангенсом

Решим пример с арктангенсом:
.

Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x 8 = x 8 + x 6 – x 6 – x 4 + x 4 + x 2 – x 2 – 1 + 1 = ( x 2 + 1)( x 6 – x 4 + x 2 – 1) + 1 ;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.

Еще один пример с арксинусом

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0 имеем:
.
.
.

При x сделаем подстановку x = – t, t > 0 :
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-10-2014

Интеграл натурального логарифма выводится из формулы интегрирования по частям и равен:

$$ int ln x dx = xln x — x + C $$

Пример 1

Найти интеграл от натурального логарифма икс: $$ int ln x dx $$

Решение

Для взятия этого интеграла используем формулу интегрирования по частям: $ int udv = uv — vdu $:

$$ int ln x dx = egin u = ln x & du = frac \ dv = dx & v = x end = $$

$$ = xln x — int dx = xln x — x + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ int ln x dx = xln x — x + C $$

Используем интегрирование по частям:

$$ int ln^2 x dx = egin u = ln^2 x & du = 2ln x cdot frac \ dv = dx & v = x end = $$

$$ = xln^2 x — int 2ln x dx = xln^2 x — 2int ln x dx = $$

Снова используем формулу интегрирования по частям:

$$ = xln^2 x — 2egin u = ln x & du = frac \ dv = dx & v = x end = $$

$$ = xln^2 x — 2(xln x — int dx) = xln^2 x — 2xln x + 2int dx = $$

Приведём пример, как воспользоваться калькулятором интегралов онлайн, чтобы найти интегралы от логарифмов различной сложности.

Большая часть вводимых интегралов с логарифмом будет в результате с подробным решением.

Распространённые интегралы с логарифмами:

• Интеграл от натурального логарифма:

∫ lnx dx = ∫ log(x)/log(e) dx = x*ln(x) — x

• Интеграл от любого другого логарифма:

∫ logx dx = ∫ ln(x)*log(e) dx = (x*ln(x) — x)*log(e) = x*log(x) — x*log(e)

• Интеграл от логарифма в квадрате:

∫ (ln(x))^2 dx = x*(ln(x)^2 -2 ln(x) + 2)

Опубликовано: Март 11, 2017

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Пример 2

Взять интеграл от натурального логарифма в квадрате: $$ int ln^2 x dx $$

Решение