Докажите что число является иррациональным

Ответ

Предположим, что √5 — рациональное число.

Тогда его можно представить в виде несократимой дроби, а именно √5 = a/b, где a,b — натуральные числа.

Т.к. 5b² делится на 5, то и a² делится на 5.

Тогда a=5c, где c — натуральное.

Получаем 5b² = (5c)², 5b²=25c², b²=5c², а значит что и b делится на 5. Таким образом мы имеем: a делится на 5 и b делится на 5, что противоречит условию, что a/b это несократимая дробь. Следовательно √5 — иррациональное число

Определение иррационального числа

Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя представить в виде рациональной дроби $frac$ .

Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Множество иррациональных чисел обозначают $I$ и оно равно: $I=R / Q$ .

Например. Иррациональными числами являются:

• $sqrt$ для любого натурального $n$, не являющегося точным квадратом;
• $e^$ для любого рационального $x
  eq 0$ ;
• $ln x$ для любого положительного рационального $x
  eq 1$ ;
• $pi$, а также $pi^$ для любого целого $n
  eq 0$ .

Операции над иррациональными числами

На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.

Например. Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 ldots$ и $0,0101101110 ldots$ . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе — последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:

$$0,1010010001 ldots+0,0101101110 ldots=0,111111=0,(1)=frac<1><9>$$

Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число $frac<1><9>$ , которое является рациональным.

Задание. Доказать, что число $sqrt<3>$ является иррациональным.

Доказательство. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $sqrt<3>$ число рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби $sqrt<3>=frac$ , где $m$ и $n$ — взаимно простые натуральные числа.

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Число 3$cdot n^<2>$ делится на 3. Поэтому $m^<2>$ и, следовательно, $m$ делится на 3. Полагая $m=3 cdot k$, равенство $3 cdot n^<2>=m^<2>$ можно записать в виде

$$3 cdot n^<2>=(3 cdot k)^ <2>Leftrightarrow 3 cdot n^<2>=9 cdot k^ <2>Leftrightarrow n^<2>=3 cdot k^<2>$$

Из последнего равенства следует, что $n^<2>$ и $n$ делятся на 3, следовательно, дробь $frac$ можно сократить на 3. Но по предположению дробь $frac$ несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число $sqrt<3>$ непредставимо в виде дроби $frac$ и, следовательно, иррационально.

Задача. Доказать, что корень из 3 иррациональное число.

Решение. Проведем доказательство от противного. Допустим, что (sqrt<3>) рациональное число, то есть представляется в виде несократимой дроби (frac), где (m) и (n) — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
(sqrt <3>= frac Rightarrow 3 = frac Rightarrow m^2 = 3n^2.)

Отсюда следует, что (m^2) кратно 3, значит, и (m) кратно 3 (если бы целое (m) не было кратно 3, то и (m^2) не было бы кратно 3). Пускай (m=3r), где (r) — целое число. Тогда
((3r)^2=3n^2 Rightarrow 9r^2=3n^2 Rightarrow n^2=3r^2)

Следовательно, (n^2) кратно 3, значит, и (n) кратно 3. Мы получили, что (m) и (n) кратны 3, что противоречит несократимости дроби (frac). Значит, исходное предположение было неверным, и (sqrt<3>) — иррациональное число.