Содержание
Очень часто возникает необходимость вычисления модуля числа в Python. Рассмотрим, что такое модуль числа, какие есть способы его вычисления. Так же отдельно коснемся комплексных чисел.
Модуль числа
Часто в программировании требуется вычислить абсолютное значение числа. Иначе говоря, отбросить знак.
При вычислении модуля возможны 3 ситуации:
- Когда число больше 0. Если взять его по модулю — не изменится.
- Модуль нуля так же равен нулю.
- У отрицательного числа отбрасываем знак. То есть умножаем его на -1.
Но это все справедливо только для действительных чисел. Чему же тогда будет равен модуль комплексных?
Комплексное число состоит из действительной составляющей и мнимой. Геометрически это можно представить как 2 ортогональные оси: действительную и мнимую. Отмечаем на координатных осях требуемую точку. Модулем будет длина отрезка, проведенного из начала координат в эту точку.
Вычисление
Вычислять модуль можно следующими способами:
- Используя стандартную функцию abs.
- С помощью функции fabs библиотеки math.
- При помощи самостоятельно написанной функции.
Все эти функции работают как в Python 2, так и в Python 3.
Для вычисления в Python модуля числа используется функция abs. Результат функции того же типа, которого был аргумент.
Можно так же воспользоваться функцией fabs из библиотеки math. Библиотеку можно подключить с помощью from math import fabs .
Свое решение
Если по каким то причинам нет возможности или желания использовать стандартные функции, то можно написать свое решение.
Например, можно вычислить воспользоваться тернарным оператором.
На основе такого условия сделаем свою функцию.
Модуль комплексного числа
Мы разобрались как происходит вычисление с действительными числами. Теперь посмотрим, как в языке программирования Python можно получить модуль комплексного.
Функцией fabs мы не сможем воспользоваться. Если попытаемся это сделать, то получим ошибку приведения комплексного числа к действительному (TypeError).
А вот с помощью abs преобразование удается.
Или же напишем свою функцию:
Результаты получились одинаковыми. Но нам все равно пришлось подключить библиотеку math для вычисления квадратного корня.
Простая математика, Excel. Как минимум. Но не только.
Страницы
четверг, 7 апреля 2011 г.
Модуль числа
Пример .
Формула =ABS(55-62) вернет число 7
Для вычисления модуля комплексного числа используется инженерная функция МНИМ.ABS(комплексное число) . Комплексное число записывается в виде "x+yi" (кавычки обязательно).
Пример .
Формула =МНИМ.ABS("3+4i") вернет число 5
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Аглиуллин И.Н., Кирпичников А.П., Чони Ю.И.
Рассмотрена задача аппроксимации комплекснозначной функции с использованием минимаксного критерия . Для вычисления модуля комплексного числа предлагаются приближенные формулы, являющиеся кусочно-линейными зависимостями, которые облегчают вычисления коэффициентов аппроксимации . Предложен специальный алгоритм решения задачи.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Аглиуллин И.Н., Кирпичников А.П., Чони Ю.И.
Текст научной работы на тему «Аппроксимация комплекснозначных функций с использованием приближенных формул для вычисления модуля комплексного числа»
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
И. Н. Аглиуллин, А. П. Кирпичников, Ю. И. Чони
АППРОКСИМАЦИЯ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОДУЛЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Ключевые слова: аппроксимация, минимаксный критерий, кусочно-линейная функция.
Рассмотрена задача аппроксимации комплекснозначной функции с использованием минимаксного критерия. Для вычисления модуля комплексного числа предлагаются приближенные формулы, являющиеся кусочно-линейными зависимостями, которые облегчают вычисления коэффициентов аппроксимации. Предложен специальный алгоритм решения задачи.
Keywords: approximation, minimax criterion, a piecewise linear function.
The paper is devoted to the problem of complex-valued function approximation with using the minimax criterion. Several formulas for estimating the amplitude of a complex value on the base of piecewise linear relations have been analyzed. As a result, calculations of the approximation coefficients can be greatly facilitated. A specific algorithm is proposed for solving the problem under consideration.
В задачах аппроксимации функций по результатам наблюдений наиболее
распространенным и удобным с вычислительной точки зрения является метод наименьших квадратов [1]. Статистические методы обработки наблюдений используются в различных областях знаний [2,3]. В некоторых случаях, однако, оптимизация проектируемых устройств требует минимаксного подхода. Например, в интересах ограничения осцилляций переходного процесса в системах регулирования технологических процессов (в химической промышленности в том числе) или ограничения уровня побочного излучения в акустике и радиоэлектронике. Т.к. функционал, отражающий соответствующий критерий, не линеен и не дифференцируется, то при вычислении коэффициентов аппроксимации появляются определенные трудности. В ряде случаев эти трудности удается обойти, используя приближенные формулировки критерия, сводящиеся к системе линейных ограничений.
Рассмотрим следующую задачу. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что в некоторых точках (¿ = 1,т) интервала [0,Т] наблюдается комплекснозначная функция
действительного аргумента 1. По результатам наблюдений необходимо построить
аппроксимирующую зависимость по заданной системе функций
Гк (о = Гк (о +;/к (о, (к = ю (2)
Неизвестные коэффициенты аппроксимации ск =ск +Усй будем определять из выражения
Функция (3) не дифференцируема, поэтому для вычисления коэффициентов аппроксимации нельзя использовать градиентные методы поиска экстремума. Кроме того, чрезвычайно актуальной является проблема сокращения времени решения задачи с точки зрения принятия решений в реальном масштабе времени, например в технических (радиоэлектронных) системах обнаружения объекта. Поэтому, оправдан интерес к поиску приближенных алгоритмов решения поставленной задачи аппроксимации комплекснозначной функции. В частности, в формуле (3) модуль комплексного числа достаточно сложно зависит от неизвестных коэффициентов аппроксимации. Рассмотрим некоторые приближенные методы вычисления модуля комплексного числа.
Пусть г = х+ ]’у, комплексное число, тогда |г| = -Ух2 +у2 . Рассмотрим другую приближенную формулу вычисления модуля комплексного числа, например:
— Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Здесь ср — аргумент комплексного числа. Очевидно, что приведенная формула вычисления модуля комплексного числа является кусочно-линейной зависимостью. Если положить |z| = 1 и учесть, что х = cos Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Теперь при любом значении аргумента 1
В этом случае получаем следующую уточненную геометрическую иллюстрацию оценки модуля комплексного числа с использованием дуг четырех окружностей (рис. 1).
Множитель « в формуле (7) необходимо подобрать так, чтобы приближенная формула вычисления модуля давала как можно меньшую погрешность вычислений. При этом для определения « можно воспользоваться несколькими способами.
Определим« из условия, чтобы максимальная погрешность была как можно меньше. В этом случае для зависимости р = a cos Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Рис. 2 — Аппроксимация модуля комплексного числа четырьмя дугами
После некоторых преобразований получаем
Для вычисления « третьим способом можно использовать условие, что окружности р = 1 и р = a cos Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
ау, Т у = sin ц>) и при замене окружности восемью дугами необходимо а и р подобрать так, чтобы уменьшить погрешности вычислений модуля комплексного числа по приближенной формуле (10). Для определения а и р можно воспользоваться теми же тремя способами, которые использовались ранее.
Определим а и р из условия, чтобы отклонения окружностей р = acos
При графическом изображении формул (9) можно убедиться в том, что при значениях Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Использование формулы (10) для приближенного вычисления модуля комплексного числа в каждой точке ti (i = 1, rn) приводит к необходимости вычисления, например при «= 1,04 и р = 0,74 следующих величин
±а х = ±1,04(F1(ti) — I1nk=1(ckfk(ti) -Cfc/ft"(ti)))
±ку= ±1,04(F2(ti) — Ij?=1(4/k &) + c’kfk &)))
±P(-x + y) = ±0,74(-F1(ti) + ü=1(ckfk(ti) -ckfk(ti)) + F2(ti) — rk=1(ckf^ti) + c’kfk (td))
Из восьми соотношений линейно независимыми являются только два из них, например «х и Ру, остальные — линейная комбинация этих двух соотношений. Обозначим S = max; |Uj | и получаем следующую задачу
±1,04(F1(ti) — -ckfk(ti))) Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
следующую задачу линейного программирования: найти значения переменных х1,х2. х2п+ъ доставляющих минимум линейной форме
—0,96х2и+1 — + *п+г/к &))) — 0,96Х2п+1
—0,96Х2п+1 —0,96Х2п+1 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Определим величину шага Соотношение (13), которое характеризует наибольшее отклонение, назовем активным равенством. При изменении искомых коэффициентов аппроксимации от значения С[0] к значению к значению С[1] в направлении антиградиента все значения и^ придут в «движение». Некоторые будут возрастать, некоторые убывать, причем с разными
«скоростями». Для вычисления скоростей изменения ^¿,(1 = 1, т) в каждой точке найдем значение производной по направлению ^¿/^б^. Далее величина шага выбирается так, чтобы активное равенство иг уменьшилось, но в тоже время какое-то другое неравенство не стало активным. Поэтому должно быть таким, чтобы получилось два активных равенства, но с меньшими, чем иу значениями. Это будет выполнено, если шаг выбрать следующим
Для двух активных равенства иу± = и„2 вновь необходимо выбрать направление и шаг к2 изменения вектора С[1] . Таким образом, после первого шага имеем в общем виде два активных равенства АР±,АР2 , каждое из которых имеет свое направление наибольшего изменения функции. В качестве наиболее приемлемого направления изменения С[1] , выберем вектор С2, являющийся линейной комбинацией векторов АУх,АУ2 , т.е.
где К1,у2 определяются из равенств
К1ОЧ АУ1) + у2( АУ2 А„±) = 1 К1ОЧ 42) + 72( АР2 АУ2) = 1
После решения системы уравнений (16) и определения У1,У2 находится направление С2, для каждого из значений ^¿,(1 = 1, ттг) находится производная по направлению С2, т.е. и
Тогда С[2] = С[1] —й2С2, и появляется три активных равенства иу± = иУ2 = и„з, далее описанная выше процедура повторяется и имеет место следующий алгоритм решения задачи:
1. Задается нулевое приближение С[0].
2. В каждой точке вычисляются значения и¿,(1 = 1, т) максимальные из восьми возможных.
3. Вычисляется величина иг = шах; и¿.
4. Определяется вектор =дгай иу.
5. Вычисляются производные по направлению вектора бъ йи^/й бъ ¿ = 1,т.
6. Находится величина шага по формуле (15).
7. Определяется первое приближение С[1]по формуле (14). При значении С[1] получаются два активных равенства иг1,и„2 .
8. В каждой точке (I = 1,т) вычисляются значения максимальные из восьми возможных.
9. Определяется направление изменения коэффициентов аппроксимации б =
Й=1 уА , где А1 =дгай и1,1 = ЦТ.
10. Неизвестные коэффициенты уг определяются из решения системы уравнений
11. Вычисляются производные по направлению йи^/йб ,1 = 1,т.
12. Определяется величина шага
к = шах;((и„ -и^/^сш/а б -аиу/а б))
13. Вычисляется очередное приближение
14. Далее либо возврат к шагу 8, либо завершение вычислений.
Завершение вычислений происходит, когда все значения Ut достаточно малы или тогда, когда активными станут 2n неравенств и система уравнений на 10 м шаге будет несовместна.
1. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений, М., Физматгиз, 1958. — С. 340.
2. Исмагилов И.И., Кирпичников А.П., Костромин А.В., Хасанова С. Ф. Применение быстрого дискретного преобразования к фазовому сплайн-анализу макроэкономической динамики // Вестник Казанского технологического университета. — 2015. — Т. 18. № 7. -С. 228-231.
3. Емалетдинова Л.Ю., Катасёв А.С., Кирпичников А.П. Нейронечеткая модель аппроксимации сложных объектов с дискретным выходом// Вестник Казанского технологического университета. — 2014. — Т. 17. № 1. -С. 295-300.