Меню Закрыть

Деление многочлена на многочлен столбиком с остатком

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=sumlimits_^a_x^=a_<0>x^+a_<1>x^+a_<2>x^+ldots+a_x+a_n$. Например, выражение $4x^<14>+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_<14>(x)=4x^<14>+87x^2+4x-11$.

Коэффициент $a_0$ называют старшим коэффициентом многочлена $P_n(x)$. Например, для многочлена $4x^<14>+87x^2+4x-11$ старший коэффициент равен $4$ (число перед $x^<14>$). Число $a_n$ называют свободным членом многочлена $P_n(x)$. Например, для $4x^<14>+87x^2+4x-11$ свободный член равен $(-11)$. Теперь обратимся к теореме, на которой, собственно говоря, и будет основано изложение материала на данной странице.

Для любых двух многочленов $P_n(x)$ и $G_m(x)$ можно найти такие многочлены $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, что будет выполнено равенство

egin P_n(x)=G_m(x)cdot Q_p(x)+R_k(x) end

причём $k 3$) разложение вида (1) возможно лишь в такой форме:

Ответ: частное есть 0, остаток – многочлен $7x^3+9x^2-5x+9$.

Вспомним для начала о рациональных дробях и о выделении целой части из неправильных дробей.

Рациональная дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, в противном случае – неправильной.

Примеры правильных рациональных дробей: , неправильных — .

Будем работать только с несократимыми дробями, то есть — это , а — это .

Как происходит процесс выделения целой части из неправильной дроби: мы делим числитель на знаменатель столбиком (уголком) и дробь представляется в виде суммы целой части и дробной части. Дробная часть – это отношение остатка от деления и знаменателя.

Покажем это на примере.

Найти остаток от деления 27 на 4.

Разделим натуральные числа столбиком:

Следовательно,

остаток равен 3.

Выделить целые части из дробей и .

Разделим числитель первой дроби на знаменатель уголком:

Делим дальше:

Поэтому, .

Вторая дробь – правильная, следовательно, ее целая часть равна нулю.

целая часть первой дроби равна 27, второй — .

Читайте также:  Можно ли брать неделю отпуска

Теперь перейдем к отношению многочленов, то есть к дробно рациональной функции (смотрите классификацию элементарных функций).

Дробно рациональная функция называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае – неправильной.

Деление многочлена на многочлен производится по тому же принципу – столбиком (уголком) и функция представляется в виде суммы «целой части» и дробной части.

Для деления многочлена на линейный двучлен очень удобно использовать схему Горнера.

Рассмотрим примеры деления многочленов.

Разделить многочлен на одночлен .

Запишем в виде дроби и воспользуемся свойством деления:

Очень часть такие преобразования приходится делать при взятии интегралов.

Выполнить деление многочлена на многочлен столбиком (уголком).

Отношение многочленов можно записать в виде дроби , у которой степень числителя равна степени знаменателя, то есть, дробь неправильная и «целую часть» можно выделить выполнив деление уголком.

Следовательно, целая часть равна двум, остаток от деления многочленов есть двучлен , то есть .

Найти остаток от деления многочлена на многочлен

Запишем дробь

Степень числителя больше степени знаменателя, то есть, дробь неправильная. Выделим «целую часть» дробно рациональной функции, выполнив деление столбиком (уголком).

Продолжаем деление.

Таким образом, остаток от деления многочленов равен , следовательно,

Иногда бывает достаточно выполнить преобразование дроби, чтобы выявить остаток от деления числителя на знаменатель:

Следовательно, остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Иногда очень быстро прийти к результату позволяет использование формул сокращенного умножения.

Выполнить деление многочлена на двучлен .

Запишем отношение в виде дроби:

В числителе находится выражение, представляющее собой куб суммы, поэтому

Вывод: исходный многочлен делится на двучлен без остатка.

Так что выбирайте для себя наиболее удобный вариант решения, но помните – деление многочлена на многочлен столбиком является универсальным способом.

Читайте также:  Apple ipod touch 128gb

В данной статье будут рассмотрены рациональные дроби, ее выделения целых частей. Дроби бывают правильными и неправильными. Когда в дроби числитель меньше знаменателя – это правильная дробь, а неправильная наоборот.

Рассмотрим примеры правильных дробей: 1 2 , 9 29 , 8 17 , неправильных: 16 3 , 21 20 , 301 24 .

Будем вычислять дроби, которые могут сократиться, то есть 12 16 — это 3 4 , 21 14 — это 3 2 .

При выделении целой части производится процесс деления числителя на знаменатель. Тогда такая дробь может быть представлена как сумма целой и дробной части, где дробная считается отношением остатка от деления и знаменателя.

Найти остаток при делении 27 на 4 .

Необходимо произвести деление столбиком, тогда получим, что

Значит, 27 4 = ц е л а я ч а с т ь + о с т а т о к з н а м е н а т е л ь = 6 + 3 4

Ответ: остаток 3 .

Произвести выделение целых частей 331 12 и 41 57 .

Производим деление знаменателя на числитель при помощи уголка:

Производим деление далее и получаем, что

Поэтому имеем, что 331 12 = 27 + 7 12 .

Вторая дробь является правильной, значит, целая часть равняется нулю.

Ответ: целые части 27 и 0 .

Рассмотрим классификацию многочленов, иначе говоря, дробно-рациональную функцию. Ее считают правильной, когда степень числителя меньше степени знаменателя, иначе ее считают неправильной.

Деление многочлена на многочлен происходит по принципу деления углом, а представление функции как сумма целой и дробной частей.

Чтобы разделить многочлен на линейный двучлен, используется схема Горнера.

Произвести деление x 9 + 7 x 7 — 3 2 x 3 — 2 на одночлен 2 x 2 .

Воспользовавшись свойством деления, запишем, что

x 9 + 7 x 7 — 3 2 x 3 — 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 — 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 — 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 — 3 4 x + 1 2 — 2 2 x — 2 .

Зачастую такого вида преобразования выполняются при взятии интегралов.

Читайте также:  Чем отличается android от windows

Произвести деление многочлена на многочлен: 2 x 3 + 3 на x 3 + x .

Знак деления можно записать в виде дроби вида 2 x 3 + 3 x 3 + x . Теперь необходимо выделить целую часть. Производим это при помощи деления столбиком. Получаем, что

Значит, получаем, что целая часть имеет значение — 2 x + 3 , тогда все выражение записывается как 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + — 2 x + 3 x 3 + x

Разделить и найти остаток от деления 2 x 6 — x 5 + 12 x 3 — 72 x 2 + 3 на x 3 + 2 x 2 — 1 .

Зафиксируем дробь вида 2 x 6 — x 5 + 12 x 3 — 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 — 1 .

Степень числителя больше, чем у знаменателя, значит, что у нас имеется неправильная дробь. При помощи деления столбиком выдели целую часть. Получаем, что

Произведем деление еще раз и получим:

Отсюда имеем, что остаток равняется — 65 x 2 + 10 x — 3 , отсюда следует:

2 x 6 — x 5 + 12 x 3 — 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 — 1 = 2 x 3 — 5 x 2 + 10 x — 6 + — 65 x 2 + 10 x — 3 x 3 + 2 x 2 — 1

Существуют случаи, где необходимо дополнительно выполнять преобразование дроби для того, чтобы можно было выявить остаток при делении. Это выглядит следующим образом:

3 x 5 + 2 x 4 — 12 x 2 — 4 x 3 — 3 = 3 x 2 x 3 — 3 — 3 x 2 x 3 — 3 + 3 x 5 + 2 x 4 — 12 x 2 — 4 x 3 — 3 = = 3 x 2 x 3 — 3 + 2 x 4 — 3 x 2 — 4 x 3 — 3 = 3 x 2 + 2 x 4 — 3 x 2 — 4 x 3 — 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 — 3 — 2 x x 3 — 3 + 2 x 4 — 3 x 2 — 4 x 3 — 3 = = 3 x 2 + 2 x ( x 3 — 3 ) — 3 x 2 + 6 x — 4 x 3 — 3 = 3 x 2 + 2 x + — 3 x 2 + 6 x — 4 x 3 — 3

Значит, что остаток при делении 3 x 5 + 2 x 4 — 12 x 2 — 4 на x 3 — 3 дает значение — 3 x 2 + 6 x — 4 . Для быстрого нахождения результата применяют формулы сокращенного умножения.

Произвести деление 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 на 2 x + 3 .

Запишем деление в виде дроби. Получим, что 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Заметим, что в числителе выражение можно сложить по формуле куба суммы. Имеем, что

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = ( 2 x + 3 ) 3 2 x + 3 = ( 2 x + 3 ) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Заданный многочлен делится без остатка.

Для решения используется более удобный метод решения, причем деление многочлена на многочлен считается максимально универсальным, поэтому часто используемым при выделении целой части. Итоговая запись должна содержать полученный многочлен от деления.

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.