Меню Закрыть

Что такое матан в школе

Автор оригинала: Kalid Azad, перевёл: Филипп Сорокин.

Это третий перевод из серии статей на тему математического анализа, хотя по хронологии статья является первой. В дальнейшем переводы статей будут идти в соответствии с оригинальной хронологией, с пропуском уже переведённых.

Статья рассчитана на студентов и всех интересующихся высшей математикой, и представляет из себя введение в математический анализ с рассуждениями и интересными примерами его применения. Подойдёт и для чайников.

Введение

Мои отношения с математическим анализом строятся на любви и ненависти: этот предмет демонстрирует красоту математики и агонию математического образования.

Математический анализ связывает темы в элегантной, ломающей мозг манере. Моя ближайшая аналогия – теория эволюции Дарвина: однажды поняв, вы начинаете видеть природу с точки зрения выживания. Вы начинаете понимать, почему употребление лекарств приводит к появлению микробов, устойчивых к ним (выживание сильнейших). Вы понимаете, почему сахар и жир настолько вкусны (вкус, как поощрение за потребление высококалорийных продуктов в период дефицита). Всё начинает сходиться.

Математический анализ даёт такое же прозрение. Не кажется ли вам, что эти формулы каким-то образом связаны между собой?

Да, они связаны. Но большинство из нас изучает эти формулы по отдельности. Математический анализ помогает нам разобраться с каждой, начиная с длины окружности, равной 2πr – греки оценили бы это.

К сожалению, математический анализ может стать олицетворением того, что с математическим образованием что-то не так. Большинство уроков строятся на надуманных примерах, скрытых доказательствах и запоминании, что отбивает нашу интуицию и энтузиазм.

Так не должно быть.

Математика, искусство и идеи

Я кое-чему научился в школе: в математике самое трудное – не математика, а мотивация. В частности, мотивация оставаться воодушевлённым несмотря на:

– Преподавателей, которых больше заботит издание своих научных трудов, чем преподавание.

– Бытующие мнения, что математика – это сложно, скучно, непопулярно или «не ваш предмет».

– Учебники и программы обучения, которые больше заточены на получение прибыли и результатов тестирования, чем на понимание предмета.

«Плач математика» [pdf] является отличным эссе по этому вопросу, вызвавшим общественный резонанс (здесь было 3 ссылки, 2 из которых оказались битые – прим. пер.):

«…если бы мне пришлось разрабатывать механизм, предназначенный специально для разрушения естественного любопытства и любви к построению закономерностей у детей, я бы никогда не справился с этой работой так же хорошо, как это делается сейчас – у меня бы просто не хватило воображения, чтобы придумать настолько бессмысленные, душераздирающие идеи, которые составляют современное математическое образование.»

Представьте себе такое изучение искусства: Дети, никакого рисования руками в детском саду. Вместо этого, давайте-ка изучим химию красок, физику света и анатомию глаза. По прошествии 12 лет эти дети (которые уже подростки), если ещё не ненавидят искусство, смогут начать рисовать самостоятельно. В конце концов, у них есть «строгие, проверяемые» основы для того, чтобы начать ценить искусство. Правильно?

С поэзией также. Представьте себе процесс изучения этой цитаты (формулировки):

«Но главное – будь верен самому себе, и, следственно, как дважды два – четыре, ни перед кем не будешь ты фальшив.» – Вильям Шекспир, Гамлет

Математика и поэзия – это пальцы, указывающие на Луну. Не путайте палец с Луной. Формулы – это средство достижения цели, способ выразить математическую истину.

Мы забываем, что математика – это идеи, а не рутинные манипуляции с формулами, которые их выражают.

Ладно, приятель, в чём твоя отличная идея?

Дерзкие, да? Ну, чего я точно не буду делать, так это воссоздавать учебники по подобию уже существующих. Если вам прямо сейчас нужны ответы для какого-то серьёзного экзамена, то есть множество веб-сайтов, видеозаписей уроков и 20-минутных спринтов, чтобы помочь вам (оригинальные ссылки на англоязычные ресурсы – прим. пер.).

Вместо этого, давайте обсудим основные идеи математического анализа. Уравнений недостаточно – я хочу делиться «ага!»-моментами, от которых что-то щёлкает внутри.

Формальный математический язык – это лишь один из способов общения. Диаграммы, анимации и просто разговоры зачастую могут дать больше понимания, чем страница книги, полная доказательств.

Но мат. анализ – это сложно!

Я думаю, что любой сможет понять основные идеи математического анализа. Нам не нужно быть писателями, чтобы наслаждаться Шекспиром.

Это в пределах вашей досягаемости, если вы знаете алгебру и имеете простой интерес к математике. Не так давно чтение и письмо были работой опытных писцов. Но сегодня с этим может справиться и 10-летний ребёнок. Почему?

Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в том, что нам кажется возможным. Поэтому ожидайте, что мат. анализ – это просто ещё один предмет. Для немногих из нас это становится повседневной работой (писатели, математики). Но остальные всё ещё могут восхищаться тем, что происходит, и расширять свой кругозор.

Дело в том, как далеко ты намерен зайти. Я бы хотел, чтобы все смогли понять основные идеи математического анализа и сказали «вау».

Так о чём же мат. анализ?

Некоторые называют математический анализ «отраслью математики, которая занимается нахождением пределов, дифференцированием и интегрированием функций одной или нескольких переменных». Это правильно, но не несёт пользы для начинающих.

Вот моё мнение: мат. анализ делает с алгеброй то, что алгебра сделала с арифметикой.

Арифметика – это манипулирование числами (сложение, умножение и т.д.).

Алгебра находит закономерности между числами: a 2 + b 2 = c 2 – известное соотношение, описывающее стороны прямоугольного треугольника. Алгебра находит целые множества чисел – если вы знаете a и b, то вы можете найти c.

Математический анализ находит закономерности между уравнениями: обратите внимание, как одно уравнение (длина окружности = 2πr) походит на другое (площадь окружности = πr 2 ).

При использовании мат. анализа у нас появляются новые вопросы:

– Как уравнение растёт и сжимается? Накапливается ли со временем?

– Когда оно достигает своего самого высокого/низкого значения?

– Как мы используем переменные, которые постоянно меняются? (тепло, движение, популяция, …).

– И множество других вопросов!

Алгебра и математический анализ – это дуэт для решения проблем: мат. анализ находит новые уравнения, а алгебра решает их. Как и эволюция, мат. анализ расширяет ваше понимание того, как работает природа.

Пример, пожалуйста

Давайте пройдёмся. Предположим, мы знаем уравнение для нахождения длины окружности (2πr) и хотим найти площадь круга. Что делать?

Представьте окружность в виде диска, который, как матрёшка, заполнен кольцами, идущими от краёв к центру.

Есть два способа изобразить диск:

– Нарисовать круг и закрасить его.

– Нарисовать множество колец толстым маркером.

Количество «пространства» (площади) должно быть одинаковым в обоих случаях, верно? Но как много пространства занимает одно кольцо?

Ну, самое большое кольцо имеет радиус «r» и длину окружности «2π», умноженную на текущий радиус. А последнее кольцо (самое маленькое – прим. пер.) больше похоже на точку без окружности.

Теперь всё выглядит совершенно необычно. Давайте развернём эти кольца и выстроим каждое из них в линию. Что произойдёт?

– Мы получим кучу линий, образующих неровный треугольник. Но чем тоньше и чаще будут расположены кольца, тем менее зубчатым будет треугольник (подробнее об этом в будущих статьях).

– С одной стороны будет наименьшее кольцо (0), а с другой наибольшее (2πr).

– У нас есть кольца, идущие от радиуса, равного 0, до равного «r». Для каждого возможного радиуса (от 0 до r) мы просто вставляем развёрнутое кольцо в соответствующее место.

Читайте также:  Win 10 добавить в автозапуск

– Общая площадь «кольцевого треугольника»: 1/2 основания * высоту = 1/2 (r) * (2πr) = πr 2 , что и является формулой для нахождения площади круга!

Вау! Площадь всех колец = Площадь треугольника = Площадь круга!

Это был быстрый пример, но вы ведь уловили основную мысль? Мы взяли диск, разделили его и сложили сегменты по-другому. Математический анализ показал нам, что диск и кольцо тесно связаны: диск на самом деле просто куча колец.

Это частая тема мат. анализа: Большие штуки складываются из маленьких частей. И иногда с маленькими частями проще работать.

Примечание о примерах

Многие примеры из математического анализа основаны на физике. Это здорово, но это же может быть трудно для понимания: ответьте честно, как часто вы вспоминаете уравнение для нахождения скорости объекта? Реже, чем раз в неделю.

Я предпочитаю начинать с физических, визуальных примеров, потому что так работает наш ум. Например, можем ли мы сделать такое же кольцо/круг, как в примере выше? Вы можете собрать такой круг из нескольких трубоочистителей, разделить на кольца и выпрямить их в грубый треугольник, чтобы проверить, действительно ли математика работает. С уравнением для вычисления скорости так не прокатит.

Примечание о соответствии канонам (для математических гиков)

Я чувствую, как математические педанты заводят свои клавиатуры. Несколько слов о «строгости».

Знаете ли вы, что мы изучаем не тот же самый мат. анализ, каким он был во времена открытия Ньютоном и Лейбницем? Они использовали интуитивные идеи «флюксий» и «бесконечных чисел», которые в последствии были вытеснены пределами, так как «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».

Мы создаём сложные механические конструкции, чтобы «в соответствии с канонами» доказывать математический анализ, но мы потеряли нашу интуитивное понимание в процессе.

Мы смотрим на сладость сахара, как на химическую реакцию в мозге вместо того, чтобы признать его способом природы сказать: «В этом много энергии. Ешь это.»

Я не хочу (и не могу) преподавать курсы анализа или обучать исследователей. Разве было бы плохо, если бы все понимали мат. анализ на «нестрогом» уровне, таким, каким его сделал Ньютон? Изменило ли бы это их взгляд на мир, как изменило у Ньютона?

Преждевременное внимание к «канонам» отталкивает студентов и затрудняет изучение математики. Пример: e технически определяется пределом, но интуитивное понимание экспоненциального роста в том, как он был открыт. Натуральный логарифм можно рассматривать, как интеграл, или как время, необходимое для роста. Какое из объяснений лучше подойдёт начинающим? (перевод двух статей из этого абзаца будет позже – прим. пер.)

Давайте немного порисуем руками и по ходу этого займёмся химией. Счастливой математики!

Нет вернее способа убить энтузиазм детей и их интерес к предмету, чем включив его в обязательную часть школьной программы 10 . Включите его в ЕГЭ, и вы наверняка увидите, как образовательная бюрократия высосет все его жизненные соки. В отделах образования не понимают, что такое математика — как не понимают этого ни директора школ, ни авторы учебников, ни их издатели, ни — печальнее всего — учителя. Проблема столь велика, что я едва понимаю, с какого конца начать ее излагать.

Начнем с поражения множества реформ математического образования. Уже долгие годы все большее внимание уделяется разладу в системе математического образования. Оплачиваются исследования, собираются конференции, формируются бессчетные комитеты учителей, авторов и издателей учебников, чтобы «исправить ситуацию». Не упустив ни капли собственной издательской выгоды (на любые флуктуации политики обучения они отвечают предложением новых редакций своих нечитабельных уродищ), все эти реформаторы упустили главное: математическая программа должна быть не исправлена — она должна быть выброшена вон.

Вся эта болтовня и показуха касательно того, какие «пункты программы» и в каком порядке следует учить, использовать эту нотацию вместо той нотации, какой модели калькулятор, Господи прости, нужен школьнику, — все это напоминает перестановку стульев на палубе тонущего «Титаника». Математика есть музыка разума. Заниматься математикой — значит совершать открытия и строить предположения; жить вдохновением и интуицией; значит оказываться в отчаянии — не потому, что предмет не имеет смысла, а потому, что вы придали ему смысл и все еще не понимаете, как ведет себя ваше создание; значит испытать и прорыв фонтана идей, и поражение художника; и в ужасе неметь от почти что физически невыносимого, переполняющего вас чувства прекрасного; да значит быть живым, черт побери! Уберите это из математики, и можете собирать сколько угодно умных конференций, и это ничего не изменит. Оперируйте, сколько хотите, дорогие доктора: пациент уже мертв.

Наипечальнейшая часть этих реформ — попытки «сделать математику интересной» и «важной в жизни детей». Вам не надо делать математику интересной — она уже более интересна, чем вы сможете вынести! И торжество ее в неважности для жизни — вот почему она так занимательна.

Попытки изобразить математику полезной и нужной для ежедневных дел всегда натужны и убоги: «Видите, дети, как просто, когда знаешь алгебру, высчитать, сколько Марии лет, если ей на два года больше, чем дважды ее возраст семь лет назад!» — как будто кто-то в жизни получит эту безумную информацию вместо настоящего возраста. Алгебра — не инструмент для жизни, это искусство симметрии и чисел, и потому достойно постижения само по себе.

Даны сумма и разность двух чисел. Каковы сами числа?

Вот простой, элегантный вопрос, и не надо лезть из кожи вон, чтобы придать ему привлекательности. Древние вавилоняне любили решать такие задачи, и наши ученики их тоже любят. (Да и вам, надеюсь, понравится!) Нам не надо заворачиваться в тройные узлы, чтобы придать математике важность для ежедневных дел. Ее важность, как и важность искусства вообще — в осмыслении человеческого опыта.

Или, может быть, вы думаете, что дети хотят чего-то, относящегося к их ежедневным делам? Может быть, их восхищает что-то практическое, например, сложный процент по кредиту? Людей восхищает фантазия, и это именно то, что математика может дать — убежище от ежедневного, волшебный бальзам от практических забот.

Другая проблема — когда авторы учебников начинают «сюсюкать», чтобы сделать математику «дружественной» и победить «страх перед математикой» (одна из множества болезней, на самом деле вызываемых школой). Чтобы ученики могли запомнить формулы, вы можете придумать целую историю о том, как Иван Демьянович едет на машине вокруг Елизаветы Макаровны и говорит ей, как хороши были ее два пирога (L=2πR), или что ее пироги квадратные (SR²), или еще какую-нибудь глупость. А как же настоящий рассказ о проблеме измерения кривых, о Евдоксе 11 и Архимеде и методе неделимых, о трансцендентности числа π? Что интереснее — измерять приблизительный размер кружка по клеточкам, а потом вычислять длину окружности по формуле, которую вам дали без объяснения, или услышать историю одной из самых прекрасных, захватывающих задач, и самых ярких и сильных идей всей человеческой истории? Мы убиваем в детях интерес к кругам, в конце концов!

Почему мы не даем ученикам услышать об этом, не то чтобы дать им возможность самим позаниматься математикой, прийти к собственным идеям и мнениям? Какой еще предмет изучают, даже не упоминая его истории, философии, основоположения, эстетических критериев и текущего положения вещей? Какой еще предмет отбрасывает первоисточники — чудесных произведений искусства, выполненных самыми творческими умами истории — в пользу убогих третьесортных учебников?

Читайте также:  Как в экселе заменить в формуле букву

Главная проблема школьной математики в том, что в ней нет задач. Да, я знаю, что выдается за задачи на уроках: эти безвкусные, скучные упражнения. «Вот задача. Вот как ее решить. Да, такие бывают на экзамене. На дом задачи 1—15». Что за тоскливый способ изучать математику: стать дрессированным шимпанзе.

Но задача — настоящий, честный до мозга костей естественный человеческий вопрос — это нечто другое. Какова длина диагонали куба? Закончатся ли простые числа? Бесконечность — число или нет? Сколькими способами можно симметрично покрыть поверхность плитками? История математики — это история решения этих вопросов, не бессмысленного пережевывания формул и алгоритмов, вместе с натянутыми упражнениями, чтобы их применять.

Хорошая задача — такая, решения которой вы не знаете. Вот где загадка, вот что дает настоящие возможности! Хорошая задача не стоит в отдельности, но служит стартовой площадкой для других интересных задач. Треугольник занимает половину описанного прямоугольника. А как насчет пирамиды в кубе? Можно ли эту задачу решить тем же способом?

Я принимаю идею обучения школьников технике решения, и я сам это делаю. Но это не цель. Техника в математике, как и в любом искусстве, должна изучаться в контексте. Великие задачи, их история, творческий процесс — вот этот контекст. Дайте ученикам хорошую задачу, пусть они поломают головы, пусть у них не получится ее решить. Посмотрите, что у них выйдет. Дождитесь до того момента, когда они страстно захотят свежую идею. Тогда научите их какой-то технике, только немного.

Отложите в сторону планы уроков и диапроекторы, мерзкие красочные учебники, компакт-диски и весь остальной парад уродов бродячего цирка, и займитесь с учениками математикой! Учителя живописи не тратят время на чтение учебников и зазубривание техники — они просто дают детям рисовать. Они ходят от мольберта к мольберту и подсказывают, направляют:

— Я думала о задаче с треугольником, и кое-что заметила. Смотрите, если треугольник наклонный, то он не занимает половины прямоугольника!

— Превосходное наблюдение! Наше рассуждение с рассечением треугольника было в предположении, что вершина находится над основанием. Теперь нам нужна новая идея.

— Попытаться рассечь его как-то иначе?

— Конечно. Перепробуй всевозможные идеи. Дай мне знать, что у тебя выйдет!

Как же нам учить детей математике? Выбирая занимательные и естественные задачи, в соответствии с их вкусами, интересами и опытом. Давая им время делать открытия и строить гипотезы. Помогая им выстраивать доказательства и создавая атмосферу здорового и живого математического критицизма. Улавливая, куда меняется их интерес. В общем, выстраивая честные и открытые интеллектуальные отношения с учениками. Это требует слишком большой ответственности и слишком большой открытости — короче, это слишком много работы!

Гораздо проще быть пассивным передатчиком готовых школьных «материалов» и следовать инструкции, как на бутылке шампуня — «лекция, экзамен, повторить» — чем глубоко мыслить о собственном предмете и передавать этот смысл честно и наилучшим образом своим ученикам. Нас просто уговаривают забросить сложную задачу принятия решений своим умом и совестью, и вместо этого «проходить программу». Это попросту путь наименьшего сопротивления:

Авторы учебников имеют такое же отношение к учителям, как:
а) фармацевтические компании к докторам;
б) компании звукозаписи к диск-жокеям;
в) корпорации к депутатам;
г) все вышеперечисленное.

Труд математики, как и живописи и поэзии, состоит в тяжелой творческой работе. Поэтому математику очень сложно преподавать. Математика — медленный созерцательный процесс. Изготовить произведение искусства занимает время, а, чтобы распознать его, нужен искусный учитель. Разумеется, легче вывесить список правил, чем вести за собой будущих художников, как легче написать инструкцию к телевизору, чем книгу с изложением своей точки зрения.

Математика — искусство, а искусство должно преподаваться действующими мастерами или по крайней мере педагогами, любящими искусство и способными его распознать. Не обязательно учиться музыке у профессионального композитора, но отдадите ли вы ребенка в обучение кому-то, кто не умеет играть сам и не слышал ни одного музыкального произведения за всю жизнь? Возьмете ли вы учителем рисования того, кто не держал в руке карандаша и никогда не был в музее? Как же тогда мы допускаем в учителя математики того, кто не создал ни одного математического произведения, не знает ни истории, ни философии предмета, ни последних достижений математики, ничего, в конце концов, из того, что он должен преподавать своим несчастным ученикам? Что же это за учитель? Как они могут учить то, чего сами не знают? Я не умею танцевать, но мне и в голову не придет, будто я могу вести танцевальный класс (хоть я мог бы и попробовать, но это выглядело бы ужасно). Разница в том, что я знаю, что я не умею танцевать. Мне никто не скажет, что я хорошо танцую, даже если я знаю кучу танцевальных терминов.

Я не пытаюсь даже сказать, что учителя математики должны быть профессиональными математиками — нет, я и не подхожу к этому. Но не должны ли они хотя бы понимать, что такое математика, знать ее, и любить?

Если учеба превращается в простую передачу информации, если в ней нет делимого с учеником восхищения и чуда, если учителя суть пассивные получатели информации, а не творцы новых идей — есть ли тогда надежда у наших школьников? Если сложение дробей для учителя является случайным набором правил, а не результатом творчества или результатом эстетически обоснованного выбора, тогда несомненно надежды у бедных учеников и быть не может.

Преподавание это не передача информации. Преподавание — это честные интеллектуальные отношения с учениками. Для этого не нужны ни методы, ни пособия , ни специальная подготовка. Для этого нужно только быть самим собой. Если вы не можете быть собой, то у вас нет никакого права причинять себя ни в чем неповинным детям.

В частности, вы не можете учить учить. Педагогические курсы — полная бессмыслица. Да, вы можете пройти курсы по раннему детскому развитию и еще чему-нибудь, обучиться «использовать доску эффективно», готовить организованный «план урока» (что, кстати, обеспечивает вашему уроку плановость, следовательно, лживость), но вы никогда не станете учителем, если не будете настоящим человеком. Преподавание — это открытость и честность, желание делиться радостью знания, любовь к учению. Без этого все педагогические дипломы мира не помогут вам — они совершенно бесполезны.

Это так просто. Ученики не пришельцы с Альфы Центавра. Они понимают прекрасное, они видят узор, они от природы любопытны, как и все мы. Просто расскажите им! И — еще важнее — слушайте их!

Симплицио. Ну ладно, мне ясно, что в математике есть элемент искусства и что мы могли бы лучше это объяснять. Но ведь это, наверное, слишком заумная штука, чтобы ожидать ее от школы? Мы же не философов там учим, нам же надо, чтобы они арифметику знали до той степени, чтобы нормально вписаться в общество.

Сальвиати. Это не так! Школьная математика занимается множеством вещей, не связанных с возможностью вписаться в общество — например, алгеброй и тригонометрией. Эти дисциплины совершенно бесполезны для ежедневных дел. Я просто предлагаю вот что: раз мы включаем эти вещи в план среднего образования, так уж делать это органично и естественно. К тому же, как я уже говорил, то, что из предмета можно получить практическую пользу, еще не говорит о том, чтобы на этой пользе обучение фокусировать. Конечно, следует научиться читать, чтобы заполнить бланк на почте, но ведь мы не для этого детей учим чтению. Мы учим их чтению для высшей цели — дать им доступ к прекрасным и значительным идеям. Не только было бы бесполезно учить третьеклассников писать, давая им заполнять бланки налоговых деклараций — это бы и не работало! Мы учимся, потому что нам интересно то, чему мы учимся, здесь и сейчас, не потому, что это будет полезно в дальнейшем. А ведь с математикой мы именно так и поступаем.

Читайте также:  Как восстановить гугл диск на андроид

Симплицио. Но разве третьеклассники не должны знать арифметики?

Сальвиати. Зачем? Ты хочешь научить их складывать 427 и 389? Это не из тех вопросов, что спрашивают восьмилетки. Да не все взрослые полностью понимают десятичную позиционную арифметику, а ты хочешь, чтобы у третьеклассников была полная ясность? Или тебе все равно, поймут они это или нет? Слишком рано это для такого механического обучения. Конечно, их можно научить, но, думаю, от этого вреда выйдет больше, чем пользы. Лучше дождаться, пока у них не появится естественный интерес к числам.

Симплицио. Так чем же дети должны заниматься на уроках математики?

Сальвиати. Играть! Научите их играть в шахматы и го, гекс и нарды, «ростки» и ним 12 , да чему угодно — выдумайте игру! Отгадывайте загадки. Создавайте для них ситуации, где необходимо дедуктивное мышление. Не думайте о нотации и технике, а помогайте их активному и творческому математическому мышлению.

Симплицио. Похоже, мы возьмем этим на себя слишком большой риск. Что же, нам не учить школьников арифметике — ведь они не будут уметь складывать и вычитать!

Сальвиати. Полагаю, что мы куда больше рискуем создать школу, лишенную творческого выражения, где функции ученика будут запоминать даты, формулы и списки слов, а затем выплевывать их на стандартных экзаменах, готовясь стать «строителем светлого будущего».

Симплицио. Но послушай, ведь должен быть какой-то минимум математических фактов, которые должен знать любой образованный человек!

Сальвиати. Да, и самый главный из этих фактов — то, что математикой люди занимаются для собственного удовольствия! Согласен, неплохо знать некоторые основные факты о числах и геометрических фигурах. Но это не придет от зубрежки, повторений, лекций и упражнений. Ты можешь конечно, заучить их. Мы видим миллионы взрослых людей, повторяющих «минус b плюс-минус корень из b в квадрате минус 4ac, деленное на 2a», и все это без малейшего понятия, что это значит. А причина в том, что им так и не дали возможности открыть или изобрести что-то самим. Они никогда не решали увлекательной задачи, не бились над ней, не искали способ решения. Им никто не рассказал об истории отношений человека и чисел — ни о вавилонских табличках с задачами, ни о папирусе Ахмеса, ни о Liber abaci, ни об Ars magna 13 . И — самое главное — у них не было возможности задаться вопросом, ибо на все их вопросы были даны ответы еще до того, как они их могли задать.

Симплицио. Но у нас нет столько времени, чтобы каждый ученик изобрел себе математику! У человечества ушли века на теорему Пифагора — как же ты хочешь, чтобы обычный школьник ее сам открыл?

Сальвиати. Я этого не хочу. Позволь мне ясно сказать: я сожалею о полном отсутствии в математической программе искусства и открытия, истории и философии, контекста и перспективы. Я не хочу сказать, что нотация, техника и накопление знаний не нужны. Нужны, конечно. У нас должно быть и то, и это. Если я возражаю против того, что маятник слишком далеко отклонился в одну сторону, это не значит, что я за то, чтобы он отклонился до конца в другую. Люди на самом деле лучше учатся, когда результат получается из процесса. Настоящая любовь к стихам приходит не от запоминания сотен поэм, а от написания собственных стихов.

Симплицио. Да, но прежде, чем писать стихи, ты должен выучить алфавит! Должно же все с чего-то начинаться. Сначала учатся ходить, потом — бегать.

Сальвиати. Да нет же, сначала тебе нужно знать, куда бежать. Дети учатся писать стихи и рассказы и одновременно письму и чтению. Рассказ шестилетнего — это чудесно, и орфографические и стилистические ошибки нисколько не умаляют этого чуда. Даже самые маленькие дети сочиняют песенки, хотя и не знают, в каком они размере и в какой тональности.

Симплицио. Но разве математика не отличается от музыки? Разве математика — не система символов, язык сам по себе, который надо выучить прежде, чем говорить на нем?

Сальвиати. Нет, это совершенно не так. Математика — не язык, а приключение. Разве музыканты «говорят на другом языке», сокращая свои идеи до маленьких черных нот? Если бы и так — это все равно не мешает карапузу и его песенке. Да, определенная система математической записи образовалась за века, но она не является самоважной. Математика частенько делается с друзьями за чашкой кофе на салфетках. Математика — это идеи, а идеи превосходят символы, которыми они записываются. Гаусс однажды заметил: «Нам нужны идеи, а не идиомы!»

Симплицио. Но разве не верно сказать, что одна из целей математического образования научить школьников думать логически точно, выработать «навыки математического мышления», как пишут в программе? Разве формулы и правила не оттачивают ума учеников?

Сальвиати. Нет, не «оттачивают». Если хочешь, система дает прямо противоположный эффект: она отупляет. Острота ума причиняется решением задач, а не заучиванием того, как это следует делать.

Симплицио. Ладно, согласен. А как быть с учениками, что идут в науку и в инженеры? Разве им не нужно обучение по стандартной программе? Не для того ли мы преподаем математику в школе?

Сальвиати. Много ли учеников станут писателями после уроков литературы? Мы учим литературе не для этого. Мы учим, чтобы просвещать, а не давать профтехобразование! Ведь самое важное умение и ученого, и инженера — умение мыслить творчески и независимо. А кому нужна эта дрессировка?!

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Основная цель обучения математике в школе – обеспечение учащихся прочными знаниями по школьному курсу математики. Порограмма по математике весьма обширна и соответствует различным направлениям современного образования. В последнее время возросла роль реальной математики особо выделяемой в нынешнем школьном курсе. Практическая значимость школьного курса математики обусловлена тем что её объектом являются пространственные формы и колличественные лотношения действительного мира. Математическая подготовка необходима для понимания принципов, устройства и использования современной техники. Математика важна для повседневной практической деятнельности человека. В современных условиях математика является языком науки и техники. с её помощью моделируются, изучаются и прогнозируются многие явления и процессы, происходящие в природе и обществе.

В силу этого математическая подготовка учащихся является необходимым условием ускорения научно=технического прогресса, от её качества непосредственно зависит научный, производственный, экономический потенциал. Математика имеет большие возможности для развития логического мышления учащихся, для применения логических приёмов мышления на практике. Изучая математику учащиеся овладевают умениями анализировать рассматриваемые воприсы, обобщать. выделять необходимые и достаточные условия, находить пути решения поставленной задачи. Изучение математики фомирует мышление учащихся, способствует развитию их речи. Особая направленность современного школьного курса математики – реальная математика, позволяет решать задачи возникающие в повседневной жизни.

Рекомендуем к прочтению

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code

Adblock detector