§ 2. Простые числа Мерсенна
В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателем самого большого из известных простых чисел. Разумеется, можно было бы выбрать несколько очень больших чисел, не имеющих таких очевидных делителей, как 2, 3, 5, 7, и проверить, являются ли они простыми числами. Этот способ, как мы вскоре убедимся, не очень эффективен. Теперь эта погоня утихла, она идет только в одном направлении, оказавшемся удачным.
Простые числа Мерсенна являются простыми числами специального вида
где р — другое простое число. Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о совершенных числах, которые мы рассмотрим позже. Свое название они получили в честь французского монаха Мерена Мерсенна (1588–1648), который много занимался проблемой совершенных чисел.
Если начать вычислять числа (2.2.1) для различных простых чисел р, то видно, что не все они оказываются простыми. Например,
М 2 = 2 2 — 1 = 3 = простое,
М 3 = 2 3 — 1 = 7 = простое,
М 5 = 2 5 — 1 = 31 = простое,
М 7 = 2 7 — 1 = 127 = простое,
М 11 = 2 11 — 1 = 2047 = 23 89.
Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсенна состоит в проверке всех чисел М p для различных простых чисел р.
Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение. То, что с этой работой все-таки можно справиться уже для довольно больших чисел, объясняется существованием эффективных способов выяснения простоты для чисел такого вида.
В исследовании чисел Мерсенна можно выделить раннюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 году, когда Леонард Эйлер[5] установил, что число М 31 является простым. К этому времени было найдено восемь простых чисел Мерсенна, соответствующих значениям
Эйлерово число M 31 оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 году французский математик Лукас установил, что огромное число
М 127 = 170141183460469231731687303715884105727
является простым числом. Ну и число! С 39 цифрами. Простые числа Мерсенна, меньшие этого числа, задаются значениями р, указанными выше, а также значениями
Эти 12 простых чисел Мерсенна были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины. Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257. Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсенна.
Затем задача была переложена на плечи ЭВМ. Создание все более высокопроизводительных ЭВМ дало возможность продолжить поиск новых простых чисел Мерсенна. Д. X. Лемер установил, что значения
дают простые числа Мерсенна. Дальнейшие поиски также увенчались успехом. Ризель (1958) показал, что
дает простое число Мерсенна, а Гурвиц (1962) нашёл еще два таких значения:
Огромного успеха добился Гиллельс (1964), который нашел простые числа Мерсенна, соответствующие значениям
Итак, общий урожай составил 23 простых числа Мерсенна, и, так как мощности ЭВМ продолжают увеличиваться, мы надеемся на дальнейший успех. Простое число Лукаса М 127, как мы уже упоминали, имеет 39 цифр. Даже вычисление самого большого из известных простых чисел, числа M 11213, является довольно сложной задачей и, по-видимому, нет смысла воспроизводить здесь это число. Если же мы захотим узнать, сколько цифр содержит это число, то мы можем сделать это, не вычисляя самого числа.
Вместо нахождения количества цифр числа М р = 2 p — 1 рассмотрим эту задачу для числа М р + 1 = 2 р .
Эти два числа имеют одинаковое количество цифр, так как если бы число М р + 1 имело на одну цифру больше, то оно должно было бы оканчиваться на 0. Но это невозможно ни для какой степени числа 2, что видно из ряда
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 266….
в котором последняя цифра в каждом числе может быть только одним из чисел
Чтобы найти количество цифр числа 2 p , вспомним, что Ig 2 p = p lg 2. Из таблиц находим, что Ig 2 приближенно равняется 0,30103, откуда
lg 2 p = p lg 2 = р • 0,30103.
Для р = 11213 получаем
lg 2 11213 = 3375,449…,
и так как характеристика этого числа равна 3375, то мы приходим к выводу, что число 2 p имеет 3376 цифр.
Итак, мы можем сказать следующее.
Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. (Здесь слова «в настоящее время» имеют существенное значение.) Это число было найдено на ЭВМ Иллинойского университета (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своем почтовом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме, для всеобщего восхищения.
Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .
Описание презентации по отдельным слайдам:
Исследование совершенных, несовершенных и простых чисел Мерсенна. История их открытия преподаватель: Хамадьярова А.В.
6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 Числа, которые равны сумме всех своих делителей (исключая само число), древнегреческие математики называли совершенными.
Лев Николаевич Толстой 8.09.1828(по старому стилю 28.08.1828) – 20.11.1910
Третье совершенное число — 496. 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
Совершенные числа 6, 28, 496, 8128, 33550336
Четные совершенные числа изучались еще Евклидом
Леонард Эйлер 4.01.1707г.– 7.09.1783г.
Числами вида 2p-1 занимался французский монах Марен Мерсенн
М11=211-1=2047=23·89 множитель 23 имеет вид 23=2·11+1, а множитель 89=8·11+1 все простые делители числа Мерсенна Мp=2p-1 имеют видk=2rp+1, где r — натуральное число
М2 =22 -1=3 М7= 27 -1=127 Р2= 21(22 — 1) =6 Р7=26(27 – 1)= 8128
Совершенные числа 2p-1(2p-1)
Спасибо за внимание
Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .
- Хамадьярова Алена ВалентиновнаНаписать 1101 13.01.2017
Номер материала: ДБ-091635
Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .
-
13.01.2017 271
-
13.01.2017 655
-
13.01.2017 2281
-
13.01.2017 956
-
13.01.2017 696
-
13.01.2017 1216
-
13.01.2017 393
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Цель проекта: разработать комплекс контрольно-диагностических материалов для осуществления текущей и промежуточной оценки сформированности предметных и метапредметных результатов у учащихся 5 класса.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| prezentatsiya_proekta.ppt | 2.7 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) Федеральный университет» Приволжский межрегиональный центр повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования ПРОЕКТ « Разработка контрольно-диагностического материала по разделу математики «Натуральные числа» 5 класса » Выполнили: Махиянова Эльвира Ильдусовна МБОУ «СОШ№67» г. Казань I категории учитель математики Андреева Гульфия Илгизовна Чернышевская ООШ Высокогорского района учитель математики и информатики Корбанова Алина Фанисовна МБОУ «Гимназия №40» г. Казань учитель математики Научный руководитель проекта: Ахметшина Гульсия Хабриевна Казань — 2014
Цель проекта: разработать комплекс контрольно-диагностических материалов для осуществления текущей и промежуточной оценки сформированности предметных и метапредметных результатов у учащихся 5 класса.
Задачи проекта: Изучить основные подходы к системе оценивания образовательных достижений учащихся в соответствии с ФГОС ООО. Изучить содержание принципиально новых технологий, ориентированных на формирование личности школьника, овладение им универсальных учебных действий. Собрать рабочий материал для реализации проектной работы Подготовить комплекс контрольно-измерительных материалов для оценки сформированности предметных и метапредметных результатов учащихся 5 классов.
Ожидаемые результаты: Педагоги знают особенности оценки сформированности образовательных результатов учащихся в соответствии с требованиями ФГОС. Педагоги владеют навыками разработки учебно-познавательных и учебно-практических задач. Разработана система заданий для проведения промежуточной оценки предметных результатов по математике. Разработаны измерительные материалы комплексной проверочной работы на межпредметной основе для оценки сформированности метапредметных результатов.
Примеры на контрольно-диагностический материал по разделу математики «Натуральные числа» 5 класс »
Класс миллионов Класс тысяч Класс единиц сотни десятки единицы сотни десятки единицы сотни десятки единицы Задание 1 (базовый уровень) Запишите число в таблицу разрядов двенадцать миллионов триста пятьдесят тысяч шестьдесят четыре. Задание 2 (повышенный уровень) Используя все цифры от 0 до 9 по одному разу, запишите наибольшее и наименьшее из возможных чисел.
НА ЗАМЕТКУ или РАЗМИНКА ДЛЯ УМА . Космические числа Запишите цифрами числа, помещенные в тексте. Диаметр солнца приблизительно равен одному миллиону тремстам девяносто двум тысячам километров. Расстояние от Земли до Солнца составляет около ста сорока девяти миллионов шестисот тысяч километров. Самая дальняя планета Солнечной системы, Плутон, удалена от Солнца на расстояние примерно пять миллиардов восемьсот девяносто четыре миллиона двести сорок тысяч километров. Ближайшая к нам звезда, Проксима Центавра, отстоит от нас примерно на сорок триллионов четыреста двадцать шесть миллиардов километров.
Планируемый результат: понимать особенности десятичной системы счисления. Умения , характеризующие достижение этого результата; представлять натуральное число в виде суммы разрядных слагаемых
Самостоятельная работа ( 5-10 минут ) Задание 1 ( базовый уровень) Какую из цифр 1, 2 или 3 можно подставить вместо звездочки (*) в запись числа 97*04 чтобы полученное число делилось на 3? 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) любую цифру. Ответ: Задание 2 (базовый уровень) Какое из чисел делится на 3 и на 5? 1535; 2) 9051; 3) 1254; 4) 7740. Ответ: Задание 3 (повышенный уровень) Какое из утверждений неверно ? Сумма двух четных чисел – четное число. Произведение двух нечетных чисел – нечетное число. Произведение четного и нечетного чисел – нечетное число. Сумма четного и нечетного чисел – нечетное число. Ответ:
Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5. Признаки делимости на 3. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. пример: 345: 3= [3+4+5=12, 12:3=4] = 115 Ответ : число 7740 делится на 3, так как сумма его цифр равна: 7 + 7 + 4 + 0 = 18, а это число делится на 3. Данное число делится и на 5, так как его последняя цифра 0.
Планируемый результат: применять понятия, связанные с делимостью натуральных чисел. Умения , характеризующие достижение этого результата; находить делители и кратные числа, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное; применять указанные понятия в ходе решения задач; применять признаки и свойства делимости; понимать и использовать термины «простое число», «составное число», а также что число – это набор цифр.
Используют также : кроссворды, головоломки, шарады, разукрашки и многое другое для контроля учащихся.
Часто используют тесты на время Где видно сразу пробелы учащихся и какую тему необходимо ещё раз закрепить! Положительная сторона-это усвоение темы, быстрота реагирования, умение быстро читать задания и выбирать ответ из предложенных. Подготовка к тестовым заданиям психологически(ОГЭ и ЕГЭ), в последствии дети спокойно реагируют на временной промежуток в тестах.
Контрольная работа по теме : «Натуральные числа и их обозначения». Контрольная работа по теме «Натуральные числа» ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ 1. Проверяем умение записывать и читать натуральные числа в пределах 1 000 000 . Запишите числа: а) Двести тридцать три тысячи семьсот три. б) Семьсот двадцать тысяч пятьсот сорок девять. в) Девятьсот шесть тысяч сто девяносто шесть. г) Тридцать тысяч тридцать. 2. Проверяем умение сравнивать натуральные числа и сравнивать величины . Сравните (>, Мне нравится