Содержание
Скорость груза пружинного маятника
Рассмотрим пружинный маятник, который представляет собой груз массой $m$, подвешенный на пружине, которую считают абсолютно упругой (ее коэффициент упругости равен $k$). Пусть груз движется вертикально, движения происходят под воздействием силы упругости пружины и силы тяжести, если система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза. Начало отсчета поместим на оси X (ось направлена вниз) в точке равновесия груза.
Пружинный маятник является примером гармонического осциллятора. Колебания гармонического осциллятора служат важным примером периодического движения и являются моделью во многих задачах физики. Колебания такого груза можно считать гармоническими и описывать при помощи уравнения:
где $xleft(t
ight)$ — смещение груза от положения равновесия в момент времени ($t$); $<omega >_0=sqrt<frac
Скорость колебаний груза при этом найдем как:
Амплитудой скорости колебаний груза при этом является величина равная:
Для пружинного маятника амплитуда колебаний скорости груза равна:
Амплитуда скорости колебаний математического и физического маятников
Будем считать математический маятник шариком (грузом), подвешенным на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник является примером гармонического осциллятора, совершающим колебания, которые описывает уравнение:
Решением уравнения (5) является выражение:
где $varphi $ — угол отклонения нити от положения равновесия, $alpha $ — начальная фаза колебаний; $<varphi >_0$ — амплитуда колебаний; $<omega >_0=sqrt<frac
Амплитудой скорости колебаний груза на нити в данном случае является величина равная:
Для математического маятника амплитуда скорости колебаний груза равна:
Примеры задач на амплитуду скорости груза
Задание. Колебательная система представляет собой груз, массы $m, $подвешенный на упругой пружине (рис.1). Смещение груза вдоль оси X изменяется по закону: $x(t)=2<cos (10 t)(м) >.$ Чему равно максимальное значение кинетической энергии груза ($E_$)?
Решение. Кинетическую энергию груза можно найти и определения:
Из уравнения колебаний груза найдем уравнение изменения его скорости:
Используя выражение (1.2) получим уравнение изменения кинетической энергии в виде:
Из выражения (1.3) следует, что максимальное значение кинетической энергии (ее амплитуда), учитывая, что $
ight)le 1$ равно:
Ответ. $E_=200cdot m$ Дж
Задание. Скорость колебаний груза на нити (математический маятник) изменяется в соответствии с гармоническим законом: $frac
ight) >$. Чему равны амплитуда скорости амплитуда угла отклонения $<varphi >_0$? Запишите уравнение $varphi (t)$ для этих колебаний. extit<>
Решение. Амплитуду скорости изменения угла отклонения мы видим непосредственно в уравнении:
Амплитуду угла отклонения найдем, используя соотношение:
где $<omega >_0=2pi $ исходя из уравнения (2.1). Получаем:
Уравнение $varphi (t)$, учитывая (2.3) будет иметь вид:
На гладком горизонтальном столе брусок массой М, прикреплённый к вертикальной стене пружиной жёсткостью k, совершает гармонические колебания с амплитудой А (см. рисунок). Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
| ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ | ФОРМУЛЫ |
А) период колебаний груза
Б) амплитуда скорости груза
1) 
2) 
3) 
4) 
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Период колебаний пружинного маятника равна 
(А — 1).
Максимальная потенциальная энергия пружины 
равна максимальной кинетической энергии 
Из равенства 
следует, что амплитуда скорости груза равна 
(Б — 4).
Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется шарик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, сантиметрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как максимальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четырем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющейся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармонических колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяющихся величин, например, для затухающих колебаний.
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
.
В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.